高考数学一轮复习必备：第90课时：第十章 排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差

第90课时：第十章  排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差 课题：随机变量的分布列、期望和方差 教学目的： 1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。 2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。 教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力． 教学过程： 1．通览基础知识 项目 内容 随机变量   离散型随机变量   连续型随机变量   离散型随机变量的分布列   离散型随机变量的分布列的性质   二项分布   离散型随机变量的期望及其 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式   离散型随机变量的方差及其计算公式       2.提出随机变量ξ的分布列的概念， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质 在分析和研究上述例子的基础上，概括出： 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1, x2, …，xi,…, ξ取每一个值xi (I=1，2，…)的概率为P(ξ= xi)=Pi，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi …             为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。 离散型随机变量的分布列的两个简单性质： (1) Pi≥0，I=1，2，…； (2) P1 +P2 +…=1． 3．讲参考例题 例1  一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。 解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中球的总数为7n。 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为 ξ 1 -1 0 P         例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。设分裂n次终止的概率是 。记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。求P(ξ≤10)。 解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为 ξ 2 3 8 16 … … P … …                 所以  P(ξ≤10)= P(ξ=2)+ P(ξ=4) +P(ξ=8) = + + = 例3((2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。 解：依题意，随机变量ξ~B（2，5%）。所以， 因此，次品数ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025         例4．重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)。 解：依题意，随机变量ξ~B（5， ） 例5涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件． 例5  一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望． 解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P（ξ=0）= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（ξ=1）= 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P（ξ=2）= 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P（ξ=3）= 所以，Eξ= 例6涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算。 例7  有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ。 解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B（200，1%）。因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以， Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98 例8是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ=是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论。 例8  设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4。 证明： 因为ξ所有可能取的值为0，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以， Eξ=0×(1-p)+1×p=p 。则 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 例9中的两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性。 例9有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： ξA 110 120 125 130 135   ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2   P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2                           其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好。 解：先比较ξA与ξB的期望值，因为 EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125. 所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为 DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50， DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165. 所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好。 例10学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用。 例10 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？ 解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100。依题 意，可得ξ的分布列为 ξ 0 5 25 100 P           答：一张彩票的合理价格是0．2元． 3．课堂练习 (1)公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，一乘客到达该站的任一时刻是等可能的．求 ①该乘客候车不超过3分钟的概率；(答案：0.6) ②该乘客候车时间的平均值．(答案：3分钟) (2)设篮球队A与B进行比赛，若有一队先胜4场则宣告比赛结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都为0.5。试求需要比赛场数的平均值．(答案：Eξ ) 4．归纳总结 由于本课前面部分就是小结，所以这里着重对几个例题的解题思路进行总结。 高考资源网(www.ks5u.com) www.ks5u.com 来源：高考资源网 版权所有：高考资源网(www.k s 5 u.com) 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)