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矩阵秩的性质及矩阵秩与矩阵运算之间的联系

矩阵秩的性质及矩阵秩与矩阵运算之间的联系矩阵秩的性质及矩阵秩与矩阵运算之间的联系【定理1】 . 证明令，由矩阵的乘积不超过各因子的秩可知但是由又有所以同理 █ 【定理2】矩阵的初等行变换不改变行向量的秩. 证明 1 任意一行元素同乘非零常数加到另一行上不改变行向量的秩设矩阵A的行向量组是 . 设A经过如上初等行变换后变成矩阵B，则B的行向量组是显然，可由线性表出. 由于因此也可由线性表出. 于是他们等价. 而等价的向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩. 2 任意两行交换不改变行向量的秩 ...

矩阵秩的性质及矩阵秩与矩阵运算之间的联系【定理1】 . 证明令，由矩阵的乘积不超过各因子的秩可知但是由又有所以同理 █ 【定理2】矩阵的初等行变换不改变行向量的秩. 证明 1 任意一行元素同乘非零常数加到另一行上不改变行向量的秩设矩阵A的行向量组是 . 设A经过如上初等行变换后变成矩阵B，则B的行向量组是显然，可由线性表出. 由于因此也可由线性表出. 于是他们等价. 而等价的向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩. 2 任意两行交换不改变行向量的秩由于行向量之间顺序交换不改变线性相关性，任意两行交换不改变行向量的秩 3 任意一行元素同乘非零常数不改变行向量的秩设矩阵A的行向量组是 . 设A经过如上初等行变换后变成矩阵B，则B的行向量组是可由线性表出. 由于因此也可由线性表出. 于是他们等价. 而等价的向量组有相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩. 【定理3】矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩，即 1 设矩阵C经过初等行变换变成矩阵D，则C的列向量组线性相关当且仅当D的列向量组线性相关 2 设矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，并且设B的第列构成B的列向量组的一个极大无关组，则A的第列构成A的列向量组的一个极大无关组；从而 . 证明设C的列向量组是 ;D的列向量组是，则齐次线性方程组的系数矩阵为C；齐次方程组的系数矩阵为D.由于C经过初等行变换变成D，因此上述两个方程组同解.从而当A经过一系列初等行变换变成B时，A的第列组成的矩阵变成了B的第列组成的矩阵 . 由已知条件，的列向量组线性无关，于是据①的结论得，的列向量组也线性无关. 在A的其余列中任取一列，不妨设为第l列. 在上述初等行变换下，A的第列组成的矩阵变成了B的第列组成的矩阵 . 由已知条件得，的列向量组线性相关，于是据①的结论得，的列向量组也线性相关. 因此A的第列构成A的列向量组的一个极大无关组. 从而 . █ 【定理4】任意矩阵的行秩等于它的列秩. 证明任取矩阵A，把它经过初等行变换化成阶梯型矩阵J.据（2）、（3）得出：【定理5】任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数. 证明设矩阵A的秩为r，则A的行向量组中有r个向量线性无关.设A的第行线性无关，它们组成一个矩阵 .由于的行秩为r.从而的列秩也为r.于是有r列线性无关.设的第列线性无关，它们组成的一个子矩阵 .由于r级方阵的列向量组线性无关，因此 . 设，并且 .任取A的一个m阶子式设A的列向量组的一个极大无关组为，则A的第列可由线性表出.由于，因此A的第列线性相关.由于的列向量组是A的第列的缩短组，从而也线性相关.于是综上述得，A的不等于零的子式的最高阶数为r. █ 【定理6】一个n级矩阵A的秩等于n当且仅当 . 证明 █ 【定理7】设矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大无关组. 证明设A的秩为r，且于是这个r阶子式的列向量组线性无关.从而它的延伸组，即A的第列线性无关.由于A的列秩为r，因此A的第列构成A的列向量组的一个极大无关组. 类似地可证明A的行向量的极大无关组的结论. █ 【定理8】非零矩阵A不等于0的子式的最高阶数称为A的行列式秩，A的行列式秩与A的秩相等证明设的矩阵的秩为r，则A的行向量组的秩为r，有r个行向量线性无关，设为，，…， . 取此r个向量组成的子矩阵，则 .于是列向量组秩也为r.同理组成的r级子矩阵，则的列向量组线性无关.故 .而即是矩阵的一个r阶子式所以A存在一个r阶不等于0的子式. 另一方面，当时，任取A的一个k阶子式设A的列向量组为，其一个极大无关组为 .则A的列向量组可由其线性表出.因，故相性相关. ∵子式M恰在此列向量组上 ∴M的列向量组即其缩短组. 所以由相性相关可得M列向量组也线性相关.因此 █ 【定理9】矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即证明设设 . 设A的列向量组的极大无关组为，B的列向量组的极大无关组为对于向量组，则向量组A+B中任意个向量线性相关，极大无关组所含向量个数小于，即因此 █ 【定理10】矩阵A与数k的乘积kA的秩当时，，当时，；矩阵A与其转置矩阵的秩相同. 证明设（1）当时则 . 当时设，A的列向量组的极大无关组为则对于向量组，由那么向量组是kA的列向量组的极大无关组因此（2）设，A的行向量组为 …… 行向量组的极大无关组为 A的列向量组为列向量组的极大无关组为而的行向量组为 …… 行向量组的极大无关组为的列向量组为 …… 列向量组的极大无关组为因此 █ 【定理11】矩阵乘积的秩不超过各因子的秩,即证明设要证即证设A的列向量组为 AB的列向量组为经直接计算可得故AB列向量组可由A的列向量组线性表出，从而同理，设B的行向量组为 AB的行向量组为经直接计算可得故AB的行向量组可由B的行向量组线性表出，从而因此， █ 【定理12】 m×n矩阵A与n×s矩阵B的乘积AB的秩不小于A与B的秩的和减去n，即 . 证明 ∵ ∴ 又∵ ∴ 即: █ 【定理13】设A、B都是n级矩阵，则证明设，则由Laplace展开定理可得另一方面，反复上述过程，最后得将上述行列式按前n行展开得 █

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