简介数学黑洞问题
甘志国(已发
表
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于 数学通讯，2014(10上)：43-44)
高考题 (2014湖北·理·13)设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为(例如，则，).阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.
图1
本题的答案是495(由以下定理1(3)的
证明
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可给出其简洁解答).这道高考题的背景是数学黑洞问题，本文对此作以简单介绍.
变换黑洞的定义 以下各定义中的记号在全文中通用.
(1)把叫做一个N*)位数码，定义其大小为，把位数码的集合组成的集合记作；
(2)设把位数码的各位数字重排得到的最大位数码是(即)，定义(所得结果一定要改写成位数码，比如(也可记作01→09)，所以是的一个变换)；
(3)对任意一个位数码连续作变换一定会出现循环(因为变换可不断进行下去，但变换的结果最多只有个，所以必定会出现两个结果相同的情形，这样就会出现循环了)，比如对01作变换就会出现周期为5的循环：
01→09→81→63→27→45→09→…
这时，把“09→81→63→27→45”叫做对01作变换产生的黑洞(写出黑洞时，数据的个数一般要最少，即一般不把此黑洞写成“09→81→63→27→45→09→81→63→27→45”或更长的形式；当然，09→81→63→27→45，81→63→27→45→09，63→27→45→09→81，27→45→09→81→63，45→09→81→63→27这五种写法都叫做对01作变换产生的黑洞，且对它们不加区别，此黑洞中数据的个数5叫做此黑洞的长度；因为由01开始经过一步变换就开始进入黑洞，所以就把1叫做01到黑洞的路程，简称黑程)；
(4)把集合中所有元素的变换的黑洞组成的集合记作，显然；
(5)把集合中所有元素的变换的黑洞的黑程的最大值记作.
定理1 (1)；
(2)
；
(3)；
(4).
证明 (1)可直接验证.
(2)可不妨设2位数码是.
当时，得
因为，所以.再由变换黑洞的定义(3)中的举例，可得此时欲证成立.
当时，也可得欲证成立.
(3)可不妨设3位数码是.
当时，得
因为，所以
.对于这个集合中的数，除495经过0步变换进入黑洞(且黑洞是495)外，其余的8个数都是经过1步变换进入黑洞(且黑洞是495)，所以此时欲证成立.
当时，也可得欲证成立.
(4)可不妨设4位数码是.
当时，得
因为，又，所以
(这个集合是54个元素)，接下来可验证这54种情形均成立(比如，由9600经过7步变换进入黑洞)，所以此时欲证成立.
当时，也可得欲证成立.
下面再介绍几种数学黑洞问题.
1.变换黑洞
设是已知的正整数，是已知的位正整数，定义，则是N*的一个变换，把这种变换就叫做变换，也叫做正整数的各位数字次幂之和变换.
文献[1]已证：对于任意已知的正整数，由任意已知的正整数，均可得到变换黑洞，水仙花数153就是有名的例子.
2.变换黑洞
设是已知的正整数，是已知的位正整数，设中被除余的数分别为个(有)，把依序写成一个新数(数前面的0不写)，定义(比如)，则是N*的一个变换，把这种变换就叫做变换.
文献[1]已证：对于任意已知的正整数，由任意已知的正整数，均可得到变换黑洞，比如(N*)={22}，(N*)={123}.
3.一个著名猜想——问题
问题也称克拉茨问题、叙拉古问题、角谷猜想，是尚未解决的著名数学难题之一.这个问题人人都会演算，但要证明它却像对付坚硬的磐石，它似乎能轻易地挫去你智慧的锋芒.
该问题是这样的：对于任意给定的正整数，连续进行如下运算：如果它是偶数，就除以2，如果还是偶数，就再除以2，……，直至得到一个奇数；再把这个奇数乘以3再加上1，这样就得到了偶数，把这个偶数就再除以2，……这样一直运算下去，比如
17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→…
人们由此提出了这样的问题(猜想)：对于任意的正整数，进行上述运算，是不是都能得到黑洞“4→2→1”呢？
题意如此清晰明了，连小学生都能看懂、讲清楚的问题，却难倒了20世纪及新千年的许多大数学家.当时，有许多专家、学者都对这个问题陷入了狂热的迷恋，在东方对这个问题进行传播的日本数学家角谷静夫(1911-2004)曾撰文描写过人们对这个问题狂热迷恋的情景：“据说，耶鲁大学有长达一个月之久，人人都在研究这个问题，但却没有任何结果.”经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家爱尔希特的说法：数学家还没有成熟到足以解决这样的问题.
早在20世纪80年代，数学家们已经借助电子计算机验证了以内的正整数对问题是成立的，究竟何时才能完全解决这个难题，我们将拭目以待.
参考文献
1 甘志国.缩小变换黑洞[J].高等函授学报(自然科学版)，1997(4)：56-59
2 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.436
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