递归数列通项公式的求法
确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义：对于任意的
，由递推关系
确定的关系称为
阶递归关系或称为
阶递归方程，由
阶递归关系及给定的前
项
的值(称为初始值)所确定的数列称为
阶递归数列。若
是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：
一．公式法
(1)设
是等差数列，首项为
，公差为
，则其通项为
；
(2)设
是等比数列，首项为
，公比为
，则其通项为
；
(3)已知数列的前
项和为
，则
。
二．迭代法
迭代恒等式：
；
迭乘恒等式：
，(
)
迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：
类型一：已知
，求通项
；
类型二：已知
，求通项
；
三．待定系数法
类型三：已知
，求通项
；
四．特征根法
类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为
（
），其特征方程为
，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根
，则其通项公式为
（
），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根
，则其通项公式为
（
），其中A、B由初始值确定。
证明：设特征根为
，则
所以
=
=
=
=
即
是以
为公比，首项为
的等比数列。
所以
，所以
(1)当
时，则其通项公式为
，其中
，
；
(2)当
时，则其通项公式为
，其中
4.（改编）已知数列
且
则数列
的通项公式 。
命题意图：
本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。
参考答案：
解法一：由
得
得
∴
故数列
是以
为首项以5为公比的等比数列
∴
=
故
解法二：由
得
得
∴
故数列
是以
为首项以
为公比的等比数列
∴
=
故
解法三 由
得到该数列的一个特征方程
即
，解得
或
①
②
两式相除可得
,而
故数列
是以
为首项以
为公比的等比数列
∴
,故
。
五．代换法
代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下
类型五：已知
，
，求通项
。
六．不动点法
若
，则称
为
的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。
类型六：(1)已知
，且
，求通项
；
(2)已知
，求通项
；
七．数学归纳法
八．构造法
典例
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且
成立，求
。
例2．已知数列{an}满足：
，求
。
例3．数列
满足
，求
。
专题 求递推数列通项的特征根法
一、形如
是常数）的数列
形如
是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项
，其特征方程为
…①
若①有二异根
，则可令
是待定常数）
若①有二重根
，则可令
是待定常数）
再利用
可求得
，进而求得
例1 已知数列
满足
，求数列
的通项
例2已知数列
满足
，求数列
的通项
二、形如
的数列
对于数列
，
是常数且
）
其特征方程为
，变形为
…②
若②有二异根
，则可令
（其中
是待定常数），代入
的值可求得
值。
这样数列
是首项为
，公比为
的等比数列，于是这样可求得
若②有二重根
，则可令
（其中
是待定常数），代入
的值可求得
值。
这样数列
是首项为
，公差为
的等差数列，于是这样可求得
例3已知数列
满足
，求数列
的通项
例4已知数列
满足
，求数列
的通项
浙公网安备 33021202002483