变分数阶扩散方程的新隐式差分法（可编辑）

变分数阶扩散方程的新隐式差分法（可编辑）变分数阶扩散方程的新隐式差分法（可编辑）变分数阶扩散方程的新隐式差分法 2 0 1 4 年 1 月安徽大学学报自然科学版 J a n u a r y 2 0 1 4 第 3 8 卷第 1 期 J o u r n a l o f A n h u i U n i v e r s i t y N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l3 8 N o1 摇摇 d o i : 1 03 9 6 9 / ji s s n1 0 0 0 -...

变分数阶扩散方程的新隐式差分法（可编辑）变分数阶扩散方程的新隐式差分法 2 0 1 4 年 1 月安徽大学学报自然科学版 J a n u a r y 2 0 1 4 第 3 8 卷第 1 期 J o u r n a l o f A n h u i U n i v e r s i t y N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l3 8 N o1 摇摇 d o i : 1 03 9 6 9 / ji s s n1 0 0 0 - 2 1 6 22 0 1 40 10 0 2 变分数阶扩散方程的新隐式差分法于春肖 , 苑润浩 , 魏国勇 , 崔摇栋燕山大学理学院 , 河北秦皇岛摇 0 6 6 0 0 4 摘摇要 : 针对变分数阶扩散方程 , 提出新隐式差分法首先 , 对二阶空间导数和 R i e m a n n - L i o u v i l l e 型变时间分数阶导数算子进行离散化处理 , 将变分数阶扩散方程转化为代数方程组求解 ; 然后 , 借助 F o u r i e r 级数技术给出了新隐式差分法的收敛性分析 ; 最后 , 通过数值算例检验该方法 , 计算结果表明了新隐式差分法的可行性和有效性关键词 : 变分数阶扩散方程 ; 新隐式差分法 ; 变时间分数阶导数算子 ; 收敛性分析中图分类号 : O 2 4 2 摇摇摇摇摇文献标志码 : A 摇摇摇摇文章编号 : 1 0 0 0 - 2 1 6 2 2 0 1 4 0 1 - 0 0 1 2 - 0 7 A n e w i m p l i c i t d i f f e r e n c e m e t h o d f o r t h e v a r i a b l e o r d e r f r a c t i o n a l d i f f u s i o n e q u a t i o n Y U C hu n 鄄 x i a o , Y U A N R un 鄄 ha o , W E I G u o 鄄 y o ng , C U I D o ng S c h o o l o f S c i e n c e , Y a n s h a n U n i v e r s i t y , Q i n h u a n g d a o 摇 0 6 6 0 0 4 , C h i n a A b s t r a c t : A ne w i m pl i c i t num e r i c a l di f f e r e nc e m e t ho d w a s pr o po s e d f o r t he v a r i a b l e o r de r f r a c t i o na l d i f f us i o n e qu a t i o nF i r s t l y , t he s e c o n d 鄄 o r de r s p a c e de r i v a t i v e a n d t h e f r a c t i o na l 鄄 o r d e r t i m e d e r i v a t i v e c o ul d be di s c r e t i z e d a nd u s e d t o t r a n s f o r m t h e v a r i a b l e o r de r f r a c t i o na l di f f us i o n e q ua t i o n i n t o a s y s t e m o f a l g e b r a i c e qua t i o nsT h e n , t h e c o nv e r g e n c e o f t he num e r i c a l m e t h o d w a s di s c us s e d b y F o u r i e r a na l y s i sF i na l l y , s o m e nu m e r i c a l e x a m pl e s w e r e pr o v i d e d t o t e s t t hi s m e t h o d a n d t h e r e s ul t s d e m o n s t r a t e d t h e f e a s i bi l i t y a n d t he e f f i c i e n c y o f t he pr o po s e d m e t ho dK e y w or d s : v a r i a bl e o r de r f r a c t i o na l di f f us i o n e qua t i o n ; ne w i m pl i c i t di f f e r e nc e m e t ho d ; v a r i a bl e o r d e r t i m e f r a c t i o na l de r i v a t i v e o pe r a t o r ; c o n v e r g e nc e a na l y s i s 近年来 , 随着人们对微积分学的认识研究 , 物理、生物、化学等领域中出现的变分数阶扩散方程已经 [ 1 - 2 ] 成为数学、应用软件及工程科学研究的焦点这些方程在空间、时间或时空上含有分数阶导数 , 它们 [ 3 - 6 ] 被有效地应用于物理、化学、工程建模 , 因此吸引了大量学者对这些分数阶扩散方程进行研究、求 [ 6 ] 解L o r e n z o 和 H a r t l e y 首次给出分数阶导数算子的定义 , 而后相继提出了变分数阶导数算子的概念[ 5 , 1 4 ] 咬目前应用最多的主要有 R i e m a n n - L i o uv i l l e 、 C a put o 、 C o i m b r a 、 R i e s z 以及 G r u nw a l d 鄄 L e t n i k o v 定义的这几类算子同时 , 由于变分数阶算子的存在导致求解 ? 分数阶扩散方程解析解变得很难 , 故大部分学者都专注于变分数阶扩散方程的数值方法与数值分析的研究收稿日期 : 2 0 1 3 - 0 5 - 2 4 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 1 1 3 0 1 4 5 9 ; 河北省自然科学基金资助项目 A 2 0 1 1 2 0 3 0 2 0 ; 河北省高等学校科学技术研究基金重点资助项目 Z D 2 0 1 0 1 1 6 作者简介 : 于春肖 1 9 7 7 ? , 女 , 河北秦皇岛人 , 燕山大学教授 , 硕士生导师 , 博士 .第 1 期于春肖 , 等 : 变分数阶扩散方程的新隐式差分法 1 3 摇摇当应用不同类型的变分数阶导数算子解决变分数阶扩散方程时 , 就诞生了各种各样的数值方法 , 如 [ 7 , 1 0 , 1 3 ] [ 8 ] C he n 等提出的求解分数阶反常次扩散方程的 F o ur i e r 方法、分离变量法、数值近似方案 , L i u 等 [ 9 , 1 2 ] 给出的求解变时空分数阶对流扩散方程的数值差分方法及其稳定性和收敛性分析 , Z hu a ng 等给出 [ 1 1 ] 的求解变分数阶非线性异常子扩散方程的显式、隐式 E ul e r 近似方法 , Y u 等提出的求解线性和非线性时空分步反应扩散方程的 A do m i a n 分解法等论文研究下面类型的变分数阶扩散方程 2 鄣 u x , t D u x , t + f x , t , 1 0 2 鄣 x 其中 x , t 沂赘 [ 0 , L ] 伊 [ 0 , T ] , 且初值和边界条件分别为 u x , 0 渍 x , 0 臆 x 臆 L , 2 u 0 , t u L , t 0 , 0 t T , 3 [ 5 , 1 4 ] 而 D 表示 R i e m a nn - L i o u v i l l e 定义的变分数阶导数算子 0 t 鄣 1 鄣 u x , 子 1 - 琢 x , t D u x , t I u x , t [ d 子 ] , 4 0 0 t 乙鄣 t 祝 1 - 琢 x , t 鄣 t t - 子琢 x , t 0 其中 - 0 琢臆琢 x , t 臆琢 1- 摇摇论文针对此类方程 , 介绍一种新隐式差分法 , 并参考文献 [ 1 5 - 17 ] 给出该算法的收敛性分析 , 最后通过数值算例验证该算法的可行性与有效性1 摇数值逼近和新隐式差分法 11 摇变分数阶扩散方程的数值逼近现将空间区域 [ 0 , L ] 均分为 M 个步长为 h 的空间网格 , 把时间区域 [ 0 , T ] 均分为 N 个步长为子的时间网格 , 并将网格节点分别记作 x i h , i 0 , 1 , 2 , … , M , 5 i t k 子 , k 0 , 1 , 2 , … , N , 6 k 其中 : 子 T / N , h L / M在网格点 x , t 处方程 1 可写作 i k 2 鄣 u x , t i k D u x , t + f x , t 7 0 i k 2 i k 鄣 x 摇摇为研究方便 , 对式 7 的各项进行如下的离散化处理在文献 [ 6 ] 中 , L o r e n z o 和 H a r t l e y 给出了式 4 的离散化结构为 [ t / 子 ] 祝 j - 琢 x , t - 琢 x , t D u x , t l i m 子 u x , t - j 子 , 8 移 0 t 寅 0 祝 - 琢 x , t ? 祝 j + 1 j 0 同时 , 应用文献 [ 14 ] 中给出的 G a m m a 函数的相关性质 , 可得琢 x , t 祝 j - 琢 x , t j? - 1 , 9 祝 - 琢 x , t ? 祝 j + 1 èj 从而由式 8 ~ 9 可得式 4 的等价变时间分数阶导数式为 [ t / 子 ] 琢 x , t ? - 琢 x , t j? D u x , t l i m 子 - 1 u x , t - j 子 , 0 琢 x , t 1 , 10 移 0 t 寅 0 j 0 èj 由式 1 0 易知式 7 的左端项可离散为 [ t / 子 ] k 琢 x , t ? - 琢 x , t j i k i k D u x , t l i m 子 - 1 ? u x , t - j 子 , 11 移 0 i k i k 子 0 寅 j 0 èj安徽大学学报自然科学版第 3 8 卷 1 4 再根据文献 [ 9 ] 中的处理方式 , 式 11 的右端项可写作 [ t / 子 ] k 琢 x , t ? - 琢 x , t j i k i k l i m 子 - 1 ? u x , t - j 子移 i k 子 0 寅 j 0 èj [ t / 子 ] k 琢 x , t ? - 琢 x , t j i k p i k 子 - 1 ? u x , t - j 子 + 0 子 , 12 移 i k j 0 èj 其中 : p 为正整数 , 为研究方便 , 取 p 1 , 进而由式 1 1 ~ 1 2 可得 k 琢 x , t ? - 琢 x , t j i k i k? D u x , t 子 - 1 u x , t + 0 子 13 移 0 i k i k - j j 0 èj 摇摇此外 , 方程 7 的二阶空间导数项可离散为 2 鄣 u x , t u x , t - 2 u x , t + u x , t i k i + 1 k i k i - 1 k 2 + 0 h 14 2 2 鄣 x h 12 摇新隐式差分方法为了得到新隐式差分方法 , 给出如下约定 , 令 k k k 琢 x , t 琢 , u x , t u , f x , t f , i k i i k i i k i 琢 x , t ? k - j j i k j ? u x , t u , - 1 姿 , 15 i k - j i i , k èj 从而将式 1 3 ~ 15 代入式 7 , 得 k k k k u - 2 u + u k i + 1 i i - 1 - 琢 j k - j 2 k i 子姿 u + 0 子 + 0 h + f , 16 移 i , k i i 2 h j 0 2 上式两边同乘以 h , 则式 1 6 可写作 k k 2 - 琢 j k - j k k k 2 k k i h 子姿 u [ u - 2 u + u + h f ] + R , 17 移 i , k i i + 1 i i - 1 i i j 0 其中 k 2 2 R h [ 0 子 + 0 h ]i 摇摇进而得到新隐式差分法 k k 2 - 琢 j k - j k k k 2 k i h 子姿 u u - 2 u + u + h f , i 1 , 2 , … , M - 1 ; k 1 , 2 , … , N 18 移 i , k i i + 1 i i - 1 i j 0 摇摇与此同时 , 初值和边界条件分别等价地记作 0 u 渍 x , i 0 , 1 , 2 , … , M , 19 i i k k u u 0 , k 1 , 2 , … , N , 20 0 M 其中 0 k k u u x , 0 , u u 0 , t , u u x , t u L , t i i 0 k M M k k 琢 x , k ? j i k j 摇摇引理 1 摇当 0 琢 x , t 1 , j 0 , 1 , … 时 , 则系数 - 1 ? 姿满足 i k i , k èj j j 1 姿 1 , j 0 ; 姿 0 , j 1 , 2 , … ; i , k i , kn j j 2 姿 0 ; - 1 姿 0 , n 1 , 2 , …移移 i , k i , k j 0 j 1 k琢 0 0 i 证明摇 1 当 j 0 时 , 易得姿 - 1 ? 1 ; i , k è0 k 当 j 1 , 2 , … 时 , 因为 0 琢 x , t 琢 1 , 所以 i k i k k k k k k k 琢琢 ? 琢 - 1 … 琢 - j + 1 - 琢 1 - 琢 j - 1 - 琢? j j j i i i i i i i 姿 - 1 ? - 1 ? … 0i , k j ! 1 2 j èj k 摇摇 2 借助函数 1 - x 琢的麦克劳林公式 , 可得 i第 1 期于春肖 , 等 : 变分数阶扩散方程的新隐式差分法 1 5kk? 琢? 琢k j i j i j j j 1 - x 琢 - x ? - 1 ? ? x 姿 ? x移移移 i i , k j 0 èj 0 èj 0 j j j k 摇摇令 x 1 , 则有姿 1 - 1 琢 0 , 且当 n 1 , 2 , … 时 , 结合引理 1 1 , 有移 i , k i j 0 n j 0 j 0 姿 - 姿 - 姿 - 1移移 i , k i , k i , k j 1 j n + 1 k k k k T 摇摇当 k 1 , 2 , … , N 时 , 取 U [ u , u , … , u ] , 此时 , 由式 18 ~ 20 可得矩阵表达式 1 2 M - 1 k A ? U b , k k k 其中 : A 为 M - 1 伊 M - 1 阶矩阵 , U , b 为 M - 1 伊 1 阶矩阵k k k k 2 - 琢 i 若记棕 h 子并结合引理 1 , 则 A , b 可由如下形式表示 i k k k é 2 + 棕 - 1 ù 1 ê ú k ê ú - 1 2 + 棕 - 1 2 ê ú A , 埙埙埙 ê ú k ê ú k - 1 2 + 棕 - 1 M - 2 ê ú ê k ú - 1 2 + 棕? M - 1 k k k T 2 k k j k - j 2 k k j k - j 2 k k j k - j b [ h f - 棕姿 u , h f - 棕姿 u , … , h f - 棕姿 u ] , 移移移 k 1 1 1 , k 1 2 2 2 , k 2 M - 1 M - 1 M - 1 , k M - 1 j 1 j 1 j 1 其中 : k 1 , 2 , … , N , 且 A 是非奇异的 , 这样就将方程组 1 8 等价表示为矩阵形式 21 , 下面只需依次 k 计算 k 1 , 2 , … , N , 即可得到方程 1 的数值解2 摇算法收敛性分析为了讨论新隐式差分法 18 ~ 20 的收敛性 , 根据式 17 , 可以得到如下误差函数式 k - 1 k k 2 - 琢 j k - j k 2 - 琢 k k k i i h 子姿 E E - 2 + h 子 E + E + R , i 1 , 2 , … , M - 1 ; k 1 , 2 , … , N , 移 i , k i i + 1 i i - 1 i j 1 其中 k k E E x , t u x , t - u , i i k i k i k u u x , t , i 子 , h i k k 且 u x , t , u x , t , E 分别表示方程 1 在网格点 x , t 处的精确解、数值解以及误差i k 子 , h i k j i k [ 1 5 - 1 6 ] 现对于 k 1 , 2 , … , N , 定义如下函数 k E , x 沂 x , x , i 1 , 2 , … , M - 1 , k i i - 05 i + 05 E x 0 , x 沂 [ 0 , h / 2 ] 胰 L - h / 2 , L ] , k R , x 沂 x , x , i 1 , 2 , … , M - 1 , k i i - 05 i + 05 R x 0 , x 沂 [ 0 , h / 2 ] 胰 L - h / 2 , L ]k k [ 7 ] 摇摇将 E x , R x F o ur i e r 级数展开? k i 2 仔 x l / L k i 2 仔 x l / L E x 琢 l e , R x 茁 l e , k 0 , 1 , … , N , 移移 k k l -? l -? 其中 L 1 k - i 2 仔 x l / L 琢 l E x e d x , k 乙 L 0 L 1 k - i 2 仔 x l / L 茁 l R x e d xk 乙 L 0 摇摇为说明新隐式差分方法的收敛性 , 给出引理 2 、 3 及定理[ 1 7 ] - 2 引理 2 摇当 k 0 , 1 , … , N 时 , 系数琢 , 茁满足 | 琢 | 臆 C h | 茁 | C 为一正常数 k k k 0 1 0安徽大学学报自然科学版第 3 8 卷 1 6 [ 8 ] k 引理 3 摇当 k 0 , 1 , … , N 时 , 上述定义的剩余函数 R x 满足 k k 2 2 | | R x | | m a x | R | 臆 C h 子 + h ,i 1 1 臆 i 臆 M - 1 其中 : C 为正常数1 定理摇若 u x , t 为方程 1 的连续可导数值解 , 则新隐式差分法收敛证明摇由式 1 6 ~ 1 7 可得 k i 2 仔 l x / L k i 2 仔 l x / L j j E 琢 e , R 茁 e , x j h , j k j k j 从而借助欧拉公式 , 有 k k | E | | 琢 | , | R | | 茁 | , j k j k 再根据引理 2 、 3 , 有 k k - 2 - 2 1 | | E x | | m a x | E | m a x | 琢 | 臆 C h | 茁 | C h | R | 臆 j k 0 1 0 j 1 臆 j 臆 M - 1 1 臆 j 臆 M - 1 - 2 k - 2 2 2 2 C h | | R x | | 臆 C h C h 子 + h C 子 + h , 00 1 其中 : C C C 为一正常数 , 故新隐式差分方法收敛0 1 3 摇数值算例 [ 1 7 ] 算例摇考虑如下变分数阶扩散方程 2 鄣 u x , t ëD u x , t + f x , t , x , t 沂赘 [ 0 , 1 ] 伊 [ 0 , 1 ] , 0 2 鄣 xì 2 u x , 0 10 x 1 - x , 0 臆 x 臆 1 u 0 , t u 1 , t 0 , 0 t 1 , 其中 2 + s i n x t 琢 x , t , 0 琢 x , t 1 , 4 1 - 琢 x , t 2 - 琢 x , t t t 2 2 f x , t 2 0 x 1 - x [ + ] - 20 1 + t 1 - 3 x 祝 2 - 琢 x , t 祝 3 - 琢 x , t 摇摇此外 , 取 p 1 且方程 1 8 的精确解为 2 2 u x , t 10 x 1 - x 1 + t 摇摇下面将通过表 1 和图 1 提供的数据信息 , 验证文中新隐式差分方法的可行性和有效性 ; 图 2 则给出 2 + c o s x t 当琢 x , t 时 , 对任意的 x , t 沂 [ 0 , 1 ] 伊 [ 0 , 1 ] , 新隐式差分方法数值解与精确解的逼 4 近效果2 表 1 摇不同方法所得数值解与精确解的比较 t 1 , h 1 / 1 0 , 子 h 2 T a b1 摇 T h e c o m p a r i s o n b e t w e e n n u m e r i c a l a n d e x a c t r e s u l t s f o r t 1 , h 1 / 1 0 , 子 h x 文献 [ 1 7 ] 新隐式差分方法精确解 i 01 0 0 0 03 6 0 0 2 9 9 6 03 6 0 0 2 8 7 6 03 6 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 12 8 0 0 5 9 7 2 12 8 0 0 5 7 8 3 12 8 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 25 2 0 0 8 8 0 3 25 2 0 0 8 5 1 2 25 2 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 38 4 0 1 1 2 5 1 38 4 0 0 9 0 5 5 38 4 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 50 0 0 1 2 9 8 1 50 0 0 1 2 2 3 6 50 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 57 6 0 1 3 5 9 5 57 6 0 1 2 9 7 4 57 6 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 58 8 0 1 2 7 0 5 58 8 0 1 1 4 5 7 58 8 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 51 2 0 1 0 0 4 8 51 2 0 0 8 7 8 6 51 2 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 32 4 0 0 5 6 4 3 32 4 0 0 4 8 2 1 32 4 0 0 0 0 0 0空间x 第 1 期于春肖 , 等 : 变分数阶扩散方程的新隐式差分法 1 7 14 文献[17]方法 12 新隐式数值差分方法 10 8 6 4 2 0.1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 xt1 2 图 1 摇当 t 1 , 子 h 1 / 1 0 0 时 , 文献 [ 1 7 ] 、新隐式数值差分方法数值解与精确解绝对误差的比较 2 F i g1 摇 A b s o l u t e e r r o r s o f n u m e r i c a l a n d e x a c t r e s u l t s w i t h c o m p a r i s o n t o R e f[ 1 7 ] f o r t 1 , 子 h 1 / 1 0 0 2 从表 1 和图 1 易得 , 当取 t 1 , 子 h 1 / 10 0 时 , 由新隐式差分方法所得数值解可以与精确解很好地吻合 , 且较之文献 [ 1 7 ] 给出的数值解精确 , 从而表明了该方法的可行性和有效性0.000 2 0 0.000 1 5 0.000 1 0 1.0 0.000 0 5 0.000 0 0 0.0 0.5 0.5 0.0 1.0 2 图 2 摇当取子 h 1 / 1 4 4 时 , 新隐式数值差分方法数值解与精确解的绝对误差 2 F i g2 摇 A b s o l u t e e r r o r s o f n u m e r i c a l a n d e x a c t s o l u t i o n s o f e x a m p l e f o r 子 h 1 / 1 4 4 2 从图 2 易得 , 当取子 h 1 / 144 时 , 对于任意的 x , t 沂 [ 0 , 1 ] 伊 [ 0 , 1 ] , 新隐式数值差分法所得数值解都可很好地逼近方程的精确解 , 从而表明了该方法求解变分数阶导数方程问题的精确性与有效性4 摇结束语论文主要研究对象为变分数阶扩散方程 , 通过对变分数阶导数算子的离散化处理提出了求解该类问题的新隐式差分法 ; 而后 , 利用 F o ur i e r 级数技术给出该方法的收敛性分析 ; 最后 , 数值试验结果表明该方法对于求解变分数阶扩散方程比较适合 , 同时也验证了新隐式差分方法求解变分数阶扩散方程的可行性与有效性参考文献 : [ 1 ] 摇 G l ? c k l e W G , N o n n e n m a c h e r T FA f r a c t i o n a l c a l c u l u s a p p r o a c h t o s e l f 鄄 s i m i l a r p r o t e i n d y n a m i c s [ J ]B i o p h y s J , 1 9 9 5 , 6 8 1 : 4 6 - 5 3[ 2 ] 摇 L o r e n z o C F , H a r t l e y T TI n i t i a l i z a t i o n , c o n c e p t u a l i z a t i o n a n d a p p l i c a t i o n i n t h e g e n e r a l i z e d f r a c t i o n a l c a l c u l u s [ J ]C r i t i c a l R e v i e w s i n B i o m e d i c a l E n g i n e e r i n g , 1 9 9 9 , 3 5 6 : 4 4 7 - 5 5 3[ 3 ] 摇 H e n r y B I , W e a r n e S LF r a c t i o n a l r e a c t i o n - d i f f u s i o n [ J ]P h y s i c a A : S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s , 时间t 绝对误差|Ex,t|

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变分数阶扩散方程的新隐式差分法（可编辑）

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