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高中数学《合情推理与演绎推理》素材苏教版选修.doc

高中数学《合情推理与演绎推理》素材苏教版选修

Nancy翠翠
2017-10-19 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高中数学《合情推理与演绎推理》素材苏教版选修doc》,可适用于初中教育领域

高中数学《合情推理与演绎推理》素材苏教版选修图形归纳推理的乐园归纳推理是从个别事实推演出一般性结论的推理(由于归纳推的特点导致了归纳推理问题的产生情境也比较特别很多情况下归纳推理总是与图形联系在一起(请看:(分辨图形出现的归纳推理ABBCCDDA,,,,例定义的运算分别对应下图中的()、()、()、()(那么上图中()、()可能是下列中运算的结果()AC,BD,AD,BD,(A)(B)BC,CD,AD,AD,(C)(D)分析:根据()、()、()、()可知:CABD对应对应对应|对应(由此可知选(B)(点评:善于观察是处理此类问题的重要一环(本题中第一个图是哪两个几何图形构成,第二个图又是哪两个几何图形构成,„(于是很快便发现A,,,可能对应的图形从而使问题获解((运动图形出现的归纳推理()例如图:一个粒子在第一象限及边界运动在第一秒内它从原点运动到然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向向右、向上来回运动且每秒移动一个单位长度求秒时这个粒子所处的位置()()()分析:第一层有三个整点(除原点)共用秒第二层有五个整点()()()()()共用秒第三层有七个整点()()()()()()()nn共用秒„第n层共有个整点共用()nn,n秒假设第秒时粒子运动在第层(那么前n层共用秒数由()nn,n,n,此得最大且当时(于是第秒时粒子在第层且在第个出现根据规律我们知道第层将从点()开始那么()()„()()()()()„()共个(因此第秒时这个粒子所处的位置为()(点评:要发现规律必须认真研究问题的初始阶段它是“退一步”思考问题策略的具体体用心爱心专心现(本题就是通过认真分析前三层才发现规律并利用规律促使问题获解的((图形游戏出现的归纳推理例用火柴棒按下图的方法搭三角形:ann按图示的规律搭下去则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是(分析:第一个图有三根火柴以后每一个图总比前一个图多一个三角形其实就多了两根,ann,,()Nn火柴于是答案为:(点评:善于从游戏中抓住本质是解决问题的关键(本题求火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系只要细心一点获解就没问题((打印图形出现的归纳推理例一同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆表示实心圆)若将此若干个圆依此规律继续下去得到一系列的圆那么前个圆中实心圆的个数为(分析:将这些圆分段处理第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆、„可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆由于本题是求前个圆中有多少个实心圆因此找到第,,,个圆所在的段数很重要(由而,,,…因此共有,,个实心圆(点评:发现规律是解决此题的关键所在(而“分段”正中下怀它使规律很清楚的显现出来让我们操作“轻松”求解“愉快”(《推理与证明》中的数学思想方法数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓是将知识转化为能力的桥梁也是解决问题的思维策略有着广泛的应用(有关《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想方法若根据题设特点灵活地运用相应的数学思想方法往往能迅速找到解题思路从而使问题简捷、准确地获解(一、类比思想所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似从而推断出这两个对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式(“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线(,RtABCACb,BCa,hhabAB例在中两直角边斜边上的高为则(该结论的证明很简单(类比它在立体几何中有何发现,用心爱心专心我们猜想在立体几何中也有类似的一个公式:VABC,VAVBVCabc在三棱锥中若三条侧棱、、两两垂直且长度分别为顶点,VABCVHh,habc到底面的距离则(注意:这只是由类比得到的一个猜想是否成立还须证明(BCVDDAH证明:如右图延长交于连结VAVB,VAVC,VA,VBC平面VABC,VAVD,(VH,ABCVHBC,平面BC,VADBCVD,平面(VBVC,,RtVBCVDVBVC在中,RtVADVHVAVD在中,VHVAVBVC,habc即(结论中的三条侧棱两两垂直可等价变为三个侧面两两垂直(点评:在本题求解中我们根据平面几何中的一个结论运用类比思想在四面体中猜想出具有类似数学特点的结论并用演绎推理的方法给出了简要证明(作为一种创新题型类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景(二、转化思想转化思想就是在解决数学问题时将有待解决的问题通过某种转化过程归结为一个已经解决或比较容易解决的问题并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答(分析法是证明命题的一种方法当问题直接证明思路不明显时常常考虑运用分析法(而运用分析法解题的关键是将结论适当转化(xyaalog()logaaxyyx,,,a例设实数满足若求证:(用心爱心专心,,a分析:直接证明思路不明显因此可以先结合条件将结论适当转化(由只需转化xyxyxyxyyx,,aaaaaa,为证(又因此只需转化为证明(再由xx,转化为证明(因此运用分析法即可简捷得证(xyaalog()logaa证明:要证xy,,aaaa,因为所以只需证xyxyxyaaaaa又因此只需证xyxx,只需证即证(式显然成立(故原不等式成立(点评:本题在寻找使结论成立的条件时是先根据函数的单调性将对数不等式、指数不等式逐步转化为式从而把问题化难为易(三、正难则反思想有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时可从其反面进行思考通过否定结论的反面来肯定结论正确这就是正难则反的思想(运用这一数学思想解决问题往往能收到化难为易、化繁为简的奇效(反证法就是“正难则反”的一种证明方法它不是直接证明命题结论正确而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性(因而对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题则适宜用反证法来证(,xx,xx,fx()ff()(),例设函数的定义域是区间且对、均fxfxf()()(),,fxfx()(),,,xx,xx,有求证:对、均有(分析:若直接证明需分类讨论于是考虑使用反证法(fxfx()(),xx,xx,证明:假设、使得(xx,不妨设()()()()()()fxfxfxfffx,,,,则fxfffxxxxxxx()()()()(),,,,,,,,,,(所以,,,xx(用心爱心专心fxfxxxx()(),,,,,故由条件可得(这与假设矛盾故原命题成立(点评:运用反证法证题时须注意三点:()必须周密考察原结论防止否定有所遗漏()推理过程必须完全正确否则不能肯定非命题是错误的()在推理过程中可以使用已知条件推出的矛盾必须很明确、毫不含糊(四、归纳递推思想归纳递推思想就是在解决问题时从特殊情况入手通过观察、分析、概括猜想出一般性结论然后用数学归纳法予以证明(文科学生不作要求)(这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用(其思维模式是“观察归纳猜想证明”解题的关键在于正确的归纳猜想(*Ax()x,xaa,,()AAAn,Nnn例已知点的序列其中是线段的中点AAAAAAnnn,,??是线段的中点是线段的中点(xxx()nnn,n,()写出与、之间的关系式aaxx,,aaa,,nnnn()设计算由此推测数列的通项公式(分析:利用递推公式及归纳猜想是解题的关键(xxnn,,,xn解:()当时xxaxxxxxa,,,,,,,,,()axxa,,,()xx,,,axxxxxaa,,,,,,,,,,,(),,,,n,,,*aan,,,N(),,n,,由此推测:(五、综合法综合法是从已知出发经过逐步推理最后导出所要达到的结论(可以看出若使用综合法求解问题一定要将条件与结论结合起来看看条件再看看结论如何架好从条件通往结论的桥梁(x例设xxx,,,求证:(用心爱心专心abab,,,,abab()ab,R,,证明:由于时得()xxxxx,,,,,,,那么()xxxxx,,,,(xxx,,,,,,,,上述第一个不等式中等号成立的条件为:(故原不等式成立(点评:在证明题中产生证明方法的思维过程很重要(你知道本题的证明方法是怎么产生的吗,是综合法的“功劳”(请看:欲从左边证到右边必须消去x如何消,只有经过平方才能将x从根号中“解救”出来“解救”出来后才有消去的可能(于是在基本不等式中abab,,,,,,开始“搜索”与平方有关的不等式慢慢地就“浮出水面”解法自然也就产生了(六、分析法分析法是从结论出发逐步寻找使结论成立的充分条件直到找到一个明显成立的条件这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等(可以看出若使用分析法求解问题对结论的简化与转化很重要它是向条件靠拢的重要措施(abcIabc,Sabbcca,例设为任意三角形的三边长试证:SIS,(IabcabcabbccaabcS,,,()证明:由于(SIS,SabcSS,欲证只需证SabcS,abbccaabcabbcca,只需证即(abcabbccaabcabbcca,只需证且(abcabbccaabcabbcca先看只需证即()()()abbcca,,,显然此式成立(abcabbcca,再看aabacbabbccbcca,,,,,,,只需证aabcbbacccba()()(),,,,,,,只需证用心爱心专心abc,bca,cab,abc只需证且且由于为三角形边长显然结论成立(SIS,故(点评:本题从表面上看不易“征服”但通过分析法将结论逐步转化由看上去很难“接SIS,abbccaabcabbcca,受”的转化为较为亲切的显然这比原题的结论看上去要“舒服”多了当然求解也就顺畅了很多(用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心

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