中心极限定理在商场管理中的应用

中心极限定理在商场管理中的应用 中心极限定理在商场管理中的应用 宋庆龙 唐山师范学院 [摘 要] 文章通过实例介绍了中心极限定理在商品订购、电力供应、抽样检验、获利问题等方面的应用,说明了中心极限定理在 商场管理中的作用。 [关键词] 中心极限定理 商场管理 应用 断描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布。所以如果中心极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基 石之一。它确立了正态分布在各种分布中的首要地位。对其可 要求随机变量之和 X 落在某一区间上的概率，只要把这个和标k 解释为:概率论中一切论述“一系列相互独立的随机变量的和 的 准化，然后用正态分布做近似计算即可。下面阐述一下中心极限 ”的定理统称为中心极限定理。具体来 说，极限分布为正态分布 定理在商场管理中的应用。 的分有些即使原来并不服从正态分布的一些随机变量，其总和 1. 商品订购问题 其中布也收敛于正态分布。这些随机变量是大量独立的因素， 例 1 某商店负责供应某地这 人的商品，某种商品在一段时 别突每项因素的影响是微小的、均匀的，没有一项因素具有特 间内每人需用一件的概率为 ，假定在这段时间每个人购买与 出的影响，则这些变量和的分布，可用中心极限定理来解 否彼此独立 ，问商店应备多少件这种商品才能以 99.7% 的概率 的和的极限分布为正态分布，但在应 随机变量 X ,X ，Λ，X ,Λ决。虽然中心极限定理反映的是当 n ??时，一系列相互独立的 1 2 n 用中心极限定理解决问题时，只要 n 充分大(一般 n ? 30，n 越大 保证不脱销,解:设每个人购买与否为随机变量ξ ，则 k 越好)我们就可以用中心极限定理作近似计算。它为解决实际问 题提供理论基础。 则随机变量序列ξ , ξ , Λ, ξ 相互独立，设商店应预备 m 一、常用的中心极限定理1 2 1000 件这种商品，根据不同的假设条件，有许多个中心极限定理，限于篇幅，这 里只介绍De Moivre-Laplace极限定理和独立同分布中心极限定则 服从参数 n=1000，p=0.6 的二项分布，依题意 他们的内容简述如下: 理( 1.Lindeberg-Levy极限定理 (独立同分布中心极限定理) p{ξ =1}=0.6p{ξ =0}=0.4若ξ , ξ , Λ, ξ , ξ是一列独立同分布的随机变量，且数学 kk 1 2 n 2所以，X 数学期望和 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方差为 期望 Eξ =a，方差 D ξ = σ ( σ>0),k=1 ，2 ，??(则有 k K E(x)=np=1000 × 0.6 , 600， 由中心极限定理得 这个定理说明，在当 n 很大时，随机变量 近似服从 查标准正态分布 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 得 标准正态分布 N(0,1)。 2.De Moivre-Laplace极限定理 设随机变量ξ 服从二项分布 B(n,p)，对任意的实数 x，都有 n 故 m=643 件 因此商店应至少预备 643 件这种产品才能以 99.7% 的概率保 证不脱销。 2. 电力供应问题 这个定理说明二项分布的极限分布是正态分布，因此 充分 例 2 商店某部有 10 台同型号的电器，每台电器开动时需用电 大时， 力 1 千瓦。每台电器开停可理解为处于随机状态，且相互独立，如 果每台电器开着的概率为四分之一。问至少应供应这批电器多少 电力，才能有 99% 的把握保证这批电器都能正常工作, 二、中心极限定理的应用 中心极限定理指出:如果一个随机现象由众多的随机因素所引 : 10 解将一台电器是否工作视为一次试验，则台电器中工作X 服从 B(10, )。假设供电 m 千瓦才能以 99% 的概率 着的电器数 起，其中每一因素在总的变化里起着不大显著的作用，就可以推 保证用电，也就是 P(X ? m) ? 0.99。 则 { ξ } 是独立且同分布的随机变量序列 , 其分布律为 i 而随机变量 X 的数学期望 ,方差 ， 所以由中心极限定理知:X 近似服从正态分布 E(ξ × 0.3 1.2 × 0.2 1.5 × 0.5 1.29 )=1，，,i 2 2 2 D( ξ)=1 × 0.3+1.2 × 0.2 ， 1.52× 0.5 , 1.713 i 设 Y 为全天蛋糕的收入,则 Y ,ξ ξ ，Λ，ξ 1 ， 2 300 由中心极限定理知 近似服从 N(0,1) 查正态分布表得 从而 P(Y ? 400), 1-P(Y , 400) 所以 m=5.69 千瓦。 0.23835 , 这说明只要给这个部门供电 5.69 千瓦，那么由于供电而影响 i=1.2,Λ ，(2)设 X 为“售出价格为 1.2(元)的蛋糕的个数”i 工作的概率就小于 0.01 。 300。则{X 是独立且同分布的随机变量序列, }i 3. 抽样检验问题 例 3 抽样检验产品质量时，如果发现次品个数多于 10 个，则 X 的分布律为 i 拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为 10%，问至少应该抽 E(X )=0 × 0.8+1 × 0.2 , 0.2 i 取多少只检查，才能保证拒绝该产品的概率达到 0.9, 2 2 D(X )=0 × 0.8+1 × 0.2 , 0.2 i 解:设至少应该抽取 m 件产品，ξ为其中的次品数，又设 设 Z 为当天售出价格为 1.2 元的蛋糕数 则 Z , X +X + Λ， X 1 2 300 由中心极限定理知 ,由于随机变量ξ 则的数学期望和方差为i 近似服从 N(0,1) Eξ =10%， D ξ , p(1-p)=0.1 × 0.9=0.09 i i 所以ξ的数学期望 E(ξ)=nE ξ=0.1n; 方差 D( ξ)=0.09n 从而 P(Z , 60), 1-P(Z ? 60)i i 由中心极限定理得 , 0.5 中心极限定理在商业中的应用是很广 泛的，以上实例只说明 ，充分大时 由于 n 了其在四个方面的应用。一般地,如果一个随机变量能够分解为相 所以 ， 互独立且同分布的随机变量序列之和的问题，则可以直接利用中 心极限定理进行分析;此外，在大样本的情况下，求未知非正态 即 分布的置信区间也同样可用中心极限定理解决。总之，在正确理 解中心极限定理的含义的同时，恰当的使用中心极限定理解决实 查标准正态分布表得 际问题有着极其重要的意义。 参考文献: [1]刘嘉琨等: 应用概率统计.北京.科学出版社,2004,195- 163 解得 n ? 147，所以至少应检验 147 件产品，才能保证拒绝该 [2]周少强:大数定律与中心极限定理及其在实际中的应用.广 产品的概率达到 0.9 。 西大学梧州分校学报,1994(1),39-434. 获利问题 [3]陈永庆 杨桂元:经济数学基础学习指导与题解.北京.中国 例,商场中的食品摊位有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋 物资出版社,1999,220-222 糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取, [4]华天瑞:关于中心极限定理的数学建模.苏州职业大学学报,(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为 0.3、0.2、0.5(若 2002(3),22-24 [5]魏宗舒等:概率论与数理统计教程,高等教育出售出300只蛋糕(求收入至少400(元的概率;求售出价格为 (1))(2)版社,1983 1.2(元) 的蛋糕多于 60 只的概率。 年 10 月第一版,208-224解:(1)设ξ 为售出的第 i 只蛋糕的价格,i=1,2,?300 。 i 《商场现代化》2006 年 10 月(中旬刊)总第 482 期 71