数学竞赛模拟
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1解答
一、填空题
1. 若
，则
____-4________。
=2
2. 若
，且当
时，
；当
，则
_______。
3.
___________。
4. 设幂级数
的收敛域为
，则幂级数
的收敛区间为____。
5.
_______。
6. 设
都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方程为_
7.设数列
满足：
，则
_______。
STOLZ(施托尔茨定理)：
推论：
8. 设
在点
可导，且
，则
_______。
9. 设
满足
且有一阶导数，则当
时，
_______。
10. 设C是从球面
上任一点到球面
上任一点的任一条光滑曲线
，则
_______，其中
。
二、设
是
上递减的连续函数，且
，证明数列
收敛，其中
。
欧拉常数，其近似值约为0.60651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数有许多应用，如求某些数列的极限。
三、设S为椭球面
的上半部（
），点
，
为S在P点的切平面，
为原点到平面
的距离，求
。
四、设一元函数
当
时有连续的二阶导数，且
，又
满足方程
，试求
的
表
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达式。
注
，称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围。本题是讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题。
补充题1设
补充题2
五、设
，
是可微函数，若
，证明
仅为r的函数，其中
。
六、设函数
在
上有定义，在
的某个邻域内有一阶连续导数，且
，证明
收敛，而
发散。
七、一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下，一台扫雪机，从上午8点开始在公路上扫雪，到9点前进了2公里，到10点前进了3公里，假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？
设x(t)：表示扫雪机从开始下雪起到时刻t走过的距离，
T:开始下雪到机器开动的时间间隔，则有
则由扫雪体积为常数，有：
由下雪速度恒定，
八、设
在闭区间
有连续的二阶导数，且
，当
时，
，证明：
。
九、设
是实系数多项式，
，且某个
及当
时，
，证明：若
有
个相异的实根，则
。
另证：
浙公网安备 33021202002483