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【word】 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律.doc

【word】 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律

吞噬玉瑞
2017-11-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《【word】 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律doc》,可适用于综合领域

【word】矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律第卷第期上海理工大学JUniversityofShanghaiforScienceandTechnologyVoNo文章编号:()矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律李莹,高(上海理工大学管理学院,上海岩,郭文彬聊城大学数学科学学院,聊城)摘要:定义了两个矩阵乘积关于广义逆的交换律与广义交换律的概念,利用矩阵秩方法及奇异值分解分别研究了两个矩阵乘积关于{)一逆,{,)一逆,{,)一逆与{,)一逆的交换律与广义交换律成立的充要条件,并对其进行了比较关键词:{i,J,)一逆群逆广义Schur补秩方法奇异值分解交换律中图分类号:文献标志码:ACommutativelawandgdizede,,mmutativelawofommutativegeneralZecoutaelaWOll』lmatrixmultipllCatlnngeneralZetllnVerSeLIYinGAOYanGUOWenbin(BusinessSchool,UniversityofShanghaifoScienceandTechnology,Shanghai,ChinaCollegeofMathematicsScience,LiaochengUniversity,Liaocheng,China)Abstract:TheconceptsofthecommutativelawsandgeneralizedcommutativelawsofmatrixmultiplicationongeneralizedinverseweredefinedUsingthematrixrankmethodandSVD,necessaryandsurficientconditionsaboutthecommutativelawsandgeneralizedcommutativelawsofmatrixmultiplicationon{}一inverse,(,}inverse,{,)一inverseand{,卜inversewereestablishedrespectively,andtheseconditionswerecomparedbetweenthemselvesKeywords:{i,J,)一inversegroupinversegeneralizedSchurcomplementmatrixrankmethodsingularvaluedecompositioncommutativelaws预备知识以C”表示所有m×n复矩阵的集合A,r(A),R(A),N(A)分别表示矩阵A的共轭转置,秩,值域与零空间对于AC”,ind(A)表示A的指标,它是指满足(A)=(A)的最小正整数给定矩阵AC”,其广义逆G卜是满足下列个方程中某些方程的矩阵()AGA:A()GAG=G()(AG)=AG()(GA)=G收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目()作者简介:李莹(一),女,博士研究生研究方向:系统分析,矩阵理论Email:liyingldcorn高岩(联系人),男,教授研究方向:混杂系统分析Email:gaoyanussteducn上海理工大学年第卷令={i,J,){l,,,),用A叩表示满足以上个方程中的(),,),(k)方程的矩阵G的集合,却中的任何一个矩阵G称之为矩阵A的一个{,)一逆,记为A”lfJ若={,,,),则称G为A的MP逆,记为AEA=IAA,FA=JAA分别为A,A的零空间上的正交投影AC”的群逆L是指满足下列方程的矩阵G,记为A#()AGA=A()GG=G()AG=CA矩阵的各种类型的广义逆在实际中都有广泛的应用它们在概率统计,数学规划,控制论,测量学,博弈论和网络理论等领域都有极其重要的作用l同时在研究最小二乘问题,长方及病态线性方程问题,马尔可夫链等统计问题中也是一种基本的工具广义逆应用的广泛性要求它自身理论发展不断地充实完善设AC”非奇异,则必有AA=AA当AC”为奇异矩阵时,若A存在,也有AA#=AA但对于{i,J,k}一逆,却未必有A”flJA{,J,k}使得AA”,m=A”,A,然而有时交换律的成立会使得某些问题得以简化,因而有必要研究关于{,J,k}一逆的交换律成立的条件文中将明确给出矩阵乘法关于广义逆的交换律及广义交换律的概念,利用矩阵秩方法与奇异值分解,分别建立了矩阵乘法关于(},逆,{l,}一逆,{,)一逆与{l,)一逆的交换律及广义交换律成立的充要条件首先,给出矩阵乘法关于广义逆的交换律及广义交换律的定义定义设AC”,={,k){,,,)对于xA,如果AX=XA,则称矩阵乘法关于x满足交换律定义设AC”,叩={,,k){,,,}对于x,yA叩,xy,如果AX=YA,则称矩阵乘法关于x与y满足广义交换律为推导需要,给出下列引理引理|设AC,则下列各条等价:()ind(A)=()R(A)nN(A)={)()R(A)N(A)=C”()A存在引理一设AC,BC,CC”,DC则彻一r设A,Bl,B,C,C与x,使得ABlxlC一BxC有意义则minr(A一XC一C)=rA,llIcr(A,B,B)max{,}()lCj其中fAl=J【Cs=BfAJJJICBfA【一rlJlCfABBBIIClj,ljfABBlBIoj一I【CJ引理E设ACC”,BC,cC”,DC则min(DCA,B)=(AA二B一I三Jc)min(DCAnB)=IIA”„IDjfAAAB,rABI()【CDjl矩阵乘法关于A(及A(,』的交换律成立的充要条件定理设AC”,则下列各条等价:a存在AA{),使得AAnAnAb存在An,A{,},使得AAn)A卫Ac(A)=(A)dind(A)=eR(A)nN(A)={}第期李莹,等:矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律fR(A)N(A)C昏A存在证明ac若存在AnEA{}使得AAn)AnA,则在上式两端分别左乘A得AAn=A,因而(A)(A)同时(A)(A)因此(A)=(A)ca(A)=(A)即ind(A)=由引理知存在A且AA=AA显然AA{)即存在AEA{}使得AA=AnAbc类似于accdef甘g可由引理直接推得定理设AC则存在AA{,)使得AnA=AAn)AA当且仅当fAll=(A)j证明由于AAn门=AA对任意AnA{,)成立,关于{,)一逆的交换律转化为是否存在An使得AA=AA后者等价于rainr(aAAA)=现计算这一极小秩由式A(,)()和式(),得minr(A,AA(,)fIAn,A)一cA=lnJAn,A)一A=AAOAAA一JAAAOOAAA一IAAOAAAAAAAO(A)=i(A)(AJ定理设AEC”则存在AnEA{,),使得AAn=AA=AA当且仅当(A,A)=(A)证明由于AnA=AA对任意A,A(,}成立,关于{,}一逆的交换律等价于是否存在Aq,使得AAn=AA而后者又等价于minr(AAn一AA)=现计算这一极小秩由式Atl,,()和式(),得min(AA,一AA)=r(A):rAAf,llfAu(o,I)}一jlAJAAIAAAAAAAAAAAAAAJAIAAAAA一AAO一r(A)=(A,A)一(A)文中考虑的是对某一个Af,J,等式AAnJ=AJA是否成立现研究对于X,YEA{l,J}且xY,AX=YA成立的条件矩阵乘法关于广义逆的广义交换律成立的充要条件定理设AC则存在A一,AEA{)使得AA=AA当且仅当(A)(A)证明存在A一,AA{)使得AA一=AA当且仅当min(AA一一AA)=因而将计算AAAA一一AA的极小秩假设A的奇异值分解为A:Uf(A)v,lJ其中,U=(U,U),V=(V,V)是两个nxn的酉矩阵且【,C”,VlC”“,(A)=diag(口,,…,M)),…)为A的奇异值则A:vf)B【,,其中,B,c,D为具【CDJ有适当阶数的任意矩阵设A一,AA{),并且f(A)一Bl}lCDlJ三蓦AnmAmm=ooo上海理工大学年第卷则』r(A)A=V【cr(A一一AA)=rU((BIU*一lJfJr(A)V{,V【CJr(:l=讣:u)=f一UfUi,(vujlvuJB,I”一r)一CUUI)ll(,)Iln,l(A)J因而,由式(),得苷rai,nmlnrc(u卜Ill十,,lJ(u,BUc,一c一ljll(,州A))一lIlVJA)J其中,C(y【,,VU)=f一VUrI【Umax{S,S}S=rOUVVUVUO【,OVU一OI”一r(A)VUVUllUJnr(A)jVUlviULVUviUOI一r(A则Ov,V【,一„厂U一IHr(A)VUyU【,r(A)一r(VU)S,=r【,Olnr(A)一VUOIr(A)一VU一J一rfA)Jnr(A)nr(A)一r(VU)=S经过计算,得一VUVU一I一r(A)„厂【,VUzf,U=一(A)I=【UJ竹一(A)r(VU)=一A)r(U)f一VUVUl=lUlOuJ一)J一r(A)r(„,】U,U)=一(A)(V)现计算r(VU)由A:u)得【JA==Vfr()I,,A:=Vfc一oI,=ll【,,=llU【IJ…,r(y=f,lo:r(Uv):ILl,二JcJ(UV)=r(VU)因而,由式(),得U,』啪啪,,JooooooVVVUUowo一V一第期李莹,等:矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律rainr(AA一一AA)=A一Ar(【,)r()一r(„厂U)=(A)一(AA)=fAAAA,r(A)一IIAAJA)IAAJfA(A)一rff=l(A)J(A)一(A)在定理l中,已经说明选择AA{)可以使AAn=AnA事实上,作为一般性的证明方法,只需在定理的证明过程中令B=Bz,C=c,D=D即为定理的证明定理设AC”则存在X,YEA{,}使得AX=YA当且仅当(A)=(A)证明由A:Uo得A(I:lJvf(A),一B*其中,B,c为具有适当阶Vlf其中,B,C为具有适当阶【CC)BJ数的任意矩阵令x,YEA{,),且f(A)B【CCr(A)BJ则fr(A)Y=VllCminr(AXyA)XYBlU*一JfIr(A),VIra一inA)因而关于{l,)一逆的广义交换律与关于{}一逆的广义交换律相同对于{,)一逆,设,YEA(,),不论X与l,是否相等,总有AX=AY=AA,因而关于{,)一逆的广义交换律等同于关于{,)一逆的交换律{,}一逆的情形与{,}一逆相同定理设AC则存在X,YEA{l,)使fA得AX=yA当且仅当l=(A)AJ定理设AC则存在x,YEA(,)使得AX=YA当且仅当(A,A):(A)结论已经建立了矩阵乘法关于广义逆的交换律及广义交换律成立的等价条件,接下来要研究满足AAnkAnJA的AJ的结构与性质这是一个矩阵方程的问题例如,寻找满足AA:AnA的fA=AAn,即为寻找或Ax=A的解这是作IAXXA者下一步将要研究的课题参考文献:EliBENISRAELAGREVILETNEGeneralizedInverses:TheoryandApplicationsFMNewYork:JohnWileySons郭文彬,魏木生奇异值分解及其在广义逆理论中的应用M北京:科学出版社,王松桂,杨振海广义逆矩阵及其应用M北京:北京工业大学出版社,rTIANYGMoreonmaximalandminimalranksofSchurcomplementswithapplicationsJApplMathComput,,:rsTIANYGUpperandlowerboundsforranksofmatrixexpressionsusinggeneralizedinverseIJLinearAlgebraAppl,,:UmOU一

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