同济第六版高等数学课后答案_0

同济第六版高等数学课后 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 _0 同济第六版高等数学课后答案 习题 设写出\B及A\(A\B)的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式 解 A\ A\(A\ 设A、B是任意两个集合证明对偶律 证明 因为 或或所以 设映射证明 证明 因为 使 因为或或 所以 f (2)因为 使因为且且 所以 设映射若存在一个映射使其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个有对于每一个有证明是双射且g是f的逆映射 证明 因为对于任意的有且即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射 又因为对于任意的必有否则若 因此f既是单射又是满射即f是双射 对于映射因为对每个有且满足按逆映射的定义是f的逆映射 设映射证明 (2)当f是单射时有 证明 (1)因为 所以 (2)由(1)知 另一方面对于任意的存在使因为且f是单射所以这就证明了 因此求下列函数的自 然定义域 解 由得函数的定义域为 解 由得函数的定义域为 解 由且得函数的定义域 解 由得 函数的定义域为 解 由得函数的定义 解 由得函数的定义域为 解 由得函数的定义域 解 由且得函数的定义域 解 由得函数的定义域 (10)y1 解 由得函数的定义域 下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同,为什么, 解 (1)不同因为定义域不同 (2)不同因为对应法则不同时 (3)相同因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同因为定义域不同 求并作出函数设 的图形 解 试 证下列函数在指定区间 证明 (1)对于任意的有因为当时 所以函数在区间 (2)对于任意的当时有 所以函数在区间 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇 函数 证明 (1)设如果f(x)和g(x)都是偶函数则 所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数 如果f(x)和g(x)都是奇函数则 所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数 (2)设如果f(x)和g(x)都是偶函数则 所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数 如果f(x)和g(x)都是奇函数则 所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数 如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则 所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数 下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数, 解 (1)因为所以f(x)是偶函数 (2)由可见f(x)既非奇函数又非偶函数 (3)因为 所以f(x)是偶函数 (4)因为所以f(x)是奇函数 (5)由可见f(x)既非奇函数又非偶函数 (6)因为所以f(x)是偶函数 下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数指出其周期 解 是周期函数周期为 解 是周期函数周期为 解 是周期函数周期为 解 不是周期函数 解 是周期函数周期为 求下列函数的反函数 解 由得所以的反函数为 解 由得所以的反函数为 解 由得所以的反函数为 解 由in 3x得所以的反函数为 解 由得所以的反函数为 (6) 解 所以的反函数为由得 设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界 证明 先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数使即这就证明了f(x)在X上有下界和上界 再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界即取 则 即 这就证明了f(x)在X上有界 在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值 解 解 解 解 解 设f(x)的定义域求下列各函数的定义域 解 由得所以函数f(x2)的定义域为 解 由得所以函数f(sin x)的定义域为 解 由得所以函数的定义域为 解 由且得当时当时无解因此22 当时函数的定义域为当时函数无意义 求 设 形和并作出这两个函数的图 解 即 即 已知水渠的横断面为等腰梯形斜角图当过水断面ABCD的面积为定值S0时求湿周与水深h之间的函数关系式并指明其定义域 图 解 又从sin40 得 所以 自变量h的取值范围应由不等式组 确定定义域为 收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元 (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数 (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数 (3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少, 解 (1)当时 令得因此当时 当时 综合上述结果得到 元 习题 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 解 当时 解 当时 解 当时 解 当时 解 当时没有极限 问求出使当时与其 设数列{xn}的一般项 极限之差的绝对值小于正数当时求出数解 要使只要也就是取 则有 当时 根据数列极限的定义证明 (1)lim1 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 要使|1 只须即 证明 因为当时有|1 所以lim1 分析 要使只须即 证明 因为当时有所以 分析 要使 只须证明 因为当时有 所以 个 分析 要使只须即 证明 因为当时有所以 n个 证明并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数列未必有极限证明 因为所以当时有从而 这就证明了 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如但不存在 设数列{xn}有界又证明证明 因为数列{xn}有界所以存在使有又所以当时有 从而当时有 M所以 对于数列若证明 证明 因为所以当时有| 当时有取只要就有因此 习题 根据函数极限的定义证明 分析 因为 所以要使只须证明 因为当时有 所以 分析 因为 所以要使只须 证明 因为所以当 时有 分析 因为 只须所以要使 证明 因为当时有 所以 分析 因为 只须所以要使证明 因为当 时有 22 所以 根据函数极限的定义证明 分析 因为 所以要使 只须1 即 证明 因为当时有 所以 分析 因为 所以要使只须即 证明 因为 当时有 所以 当时问等于多少使当时, 解 由于当 时故可设即 要使 只要 取则当时就有 当时问等于多少使当时 故解 要使只要 证明函数当时极限为零 证明 因为 所以要使只须 因为对使当时有 所以 求当时的左)右极限并说明它们在时的极xx 限是否存在 证明 因为 所以极限limf(x)存在 因为 所以极限不存在 证明若及时函数f(x)的极限都存在且都等于则 证明 因为所以 使当X1时有 使当时有 取则当时有即 根据极限的定义证明函数f(x)当时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 证明 先证明必要性设则使当时 有 因此当和时都有 这说明f(x)当时左右极限都存在并且都等于 再证明充分性设则 使当时有 使当时有 取则当 时有及从而有 即 试给出时函数极限的局部有界性的定理并加以证明 解 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当时的极限存在则存在及使当时 证明 设则对于当时有所以 这就是说存在及使当时其中 习题 两个无穷小的商是否一定是无穷小,举例说明之 解 不一定 例如当时都是无穷小但lim 穷小 根据定义证明 不是无当时为无穷小; 当时为无穷小 证明 (1)当时因为当时有 所以当时 为无穷小 x (2)当时因为当时有 所以当时为无穷小 x 根据定义证明函数为当时的无穷大问x应满足什么条件 x 能使, 证明 分析要使只须即 x x |x| |x| 1 1 使当时有 证明 因为 所以当时函数是无穷大取则 114 当时 求下列极限并说明理由 x (2)lim x x x 解 (1)因为而当时1是无穷小所以 x 因为 而当时 为无穷小所以lim 函数在内是否有界,这个函数是否为当时的无穷大,为什么, 解 函数在内无界 这是因为在内总能找到这样的使得例如 当k充分大时就有 当时函数不是无穷大 这是因为找不到这样一个时刻使对一切大于N的都有例如 对任何大的当k充分大时总有但 2 证明函数在区间上无界但这函数不是当时的无穷 x x 大 证明 函数在区间上无界这是因为 x x 在中总可以找到点使例如当 时有 当k充分大时 当时函数不是无穷大这是因为 xx 对所有的总可以找到这样的点使但例如可取 当k充分大时但 习题 计算下列极限 解 (2)lim 解 解 解 (5 解 解 解 解 分子次数低于分母次数极限为零 或 2 (9)limx 解 解 解 解 (13)lim 解 分子与分母的次数相同极限为 5 最高次项系数之比或 解 x2) 计算下列极限 因为解 所以 解 (因为分子次数高于分母次数 解 因为分子次数高于分母次数 计算下列极限 解 当时是无穷小而sin1是有界变量 解 当时是无穷小而arctan x是有 界变量 证明本节定理3中的 习题 计算下列极限 解 lim (2)lim x 解 解 解 h 解 解 解 分子次数低于分母次数极限为零解 或 2 (9)limx 解 解 lim(1 解 解 (13)lim 解 分子与分母的次数相同极限为 最高次项系数之比 或 解 计算下列极限 解 因为所以 解 (因为分子次数高于分母次数 解 因为分子次数高于分母次数 计算下列极限 解 当时是无穷小而sin1是有界变量 解 当时是无穷小而arctan x是有界变量 证明本节定理3中的 习题 当时与相比哪一个是高阶无穷小, 解 因为 所以当时是高阶无穷小即当时无穷小和 是否同阶,是否等价, 2 解 因为 所以当时和是同阶的无穷小但不是等价无穷小 (2)因为 所以当时和是同阶的无穷小而且是等价无穷小 证明当时有 y 提示令则当时证明 (1)因为 所以当时 cosx (2)因为 所以当时 利用等价无穷小的性质求下列极限 (2)limsin(xn) 为正整数 解 x2 (2)limsin(xn) (4)因为 所以 证明无穷小的等价关系具有下列性质 自反性 (2) 若则对称性 (3)若则传递性 证明 所以 若则lim从而因此 若因此 习题 研究下列函数的连续性并画出函数的图形 解 已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在和在处因为并且 所以从而函数f(x)在处是连续的 综上所述，函数f(x)在上是连续函数 解 只需考察函数在和处的连续性 在处因为并且 所以函数在处间断但右连续 在处因为并且 所以函数在处连续 综合上述讨论函数在和下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续 解 因为函数在和处无定义所以和 是函数的间断点 因为所以是函数的第二类间断点 因为所以是函数的第一类间断点并且是可去间断 点在处令则函数在处成为连续的 2 解 函数在点和处无定义因而这些点都是函数的 间断点 因故是第二类间断点 lim 因为 所以和是第一2 类间断点且是可去间断点 令则函数在处成为连续的令时则函数在处成为连续的 解 因为函数在处无定义所以是函数的间断点又因为limcos21不存在所以是函数的第二类间断点 解 因为所以是函数的第一类不可去间断点 讨论函数 2nx的连续性若有间断点 判别其类型 解 在分段点处因为所以 为函数的第一类不可去间断点 在分段点处因为所以 为函数的第一类不可去间断点 证明若函数f(x)在点x0连续且则存在x0的某一邻域当时 证明 不妨设因为f(x)在x0连续所以由极限的局 部保号性定理存在x0的某一去心邻域使当时从而当时这就是说则存在x0的某一邻域当时试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 是f(x)的所有间断点且它们都是无穷间 断点 解 函数 x在点处是间断的 2n 且这些点是函数的无穷间断点 (2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续解 函数 在 上处处不连续但在R上处处连续 (3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续 解 函数 习题 求函数 在R上处处有定义它只在处连续 的连续区间并求极限及 解 函数在在函数的连续点处 在函数的间断点和处 设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数 在点x0也连续 证明 已知 可以验证 因此 因为 所以在点x0也连续 同理可证明在点x0也连续 求下列极限 4 6 (4)lim (6) 解 (1)因为函数是初等函数在点有定义所以 lim 4 (2)因为函数是初等函数在点有定义所以 44 (3)因为函数x)是初等函数在点有定义所以 6 66 (4)lim 1 2 x) x) x 1 4 x) x 2cos 2 2 2 2 xx 2 2x 2 2 求下列极限 1 解 1 x 因为 所以 02xsinxx 应当如何选择数使得f(x)成为在设函数 的连续函数, 解 要使函数f(x)在 因为所以只须取 习题 1证明方程至少有一个根介于1和2之间 证明 设则f(x)是闭区间上的连续函数 因为所以由零点定理在证明 设则f(x)是上的连续函数 若则说明就是方程的一个不超过的根 若则由零点定理至少存在一点使这说明也是方程的一个不超过的根 总之方程至少有一个正根并且它不超过 设函数f(x)对于闭区间上的任意两点x、恒有其中L为正常数且 证明至少有一点使得 证明 设x0为 所以 即 因此f(x)在因为f(x)在上连续且由零点定理至少有一点使得 若f(x)在上连续则在上至少有一点使 xn) 证明 显然f(x)在上也连续设M和m分别是f(x)在上的最大值和最小值 因为所以有从而有 由介值定理推论在上至少有一点使 证明若f(x)在在什么条件下内的连续函数f(x)为一致连续, 总习题一 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 (1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件 (2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件 (3) f(x)在x0的某一去心邻域 (4)f(x)当时的右极限及左极限都存在且相 等是limf(x)存在 的________条件 解 (1) 必要充分 (2) 必要充分 (3) 必要充分 (4) 充分必要 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论 设则当时有 (A)f(x)与x是等价无穷小与x同阶但非等价无穷小 (C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小 解 因为 令 所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选 设f(x)的定义域是求下列函数的定义域 (4) f(cos 解 (1)由得即函数f(ex)的定义域为 (2) 由得即函数f(ln x)的定义域为 (3) 由得即函数f(arctan x)的定义域为 (4) 由得 即函数f(cos x)的定义域为 设 求 解 因为所以 因为所以 因为所以 因为所以 利用的图形作出下列函数的图形 把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将 这圆锥的体积表为的函数 解 设围成的圆锥的底半径为高为依题意有 圆锥的体积为 根据函数极限的定义证明 只需取 证明 对于任意给定的要使 所以时就有即当 求下列极限 所以lim 解 (1)因为 (2)limx(x 1 (4) 提示用等价无穷小换 因为 所以 提示求极限过程中作了变换 (6)lim(sinx) 因为 所以 lim(sin 2 设 要使f(x)在 所以当时在处连续因此选取时在设 求f(x)的间断点并说明间断点所属类形 解 因为函数f(x)在处无定义所以是函数的一个间断点因为 提示 提示 所以是函数的第二类间断点 又因为 所以也是函数的间断点且为第一类间断点证明lim 证明 因为 lim n 2 2 22 2 2 2 2 且 2 n 2 1n2 所以lim 2 2 2 2 2 证明方程在开区间证明 设则函数f(x)在上连续 2 2 因为 2 2 2 2 2 2 2 2 所以由零点定理在区间 lim f(x)x lim (2)求曲线 1 的斜渐近线 证明 (1) 仅就的情况进行证明 按渐近线的定义是曲线的渐近线的充要条件是 必要性设是曲线的渐近线则 于是有 同时有 充分性如果im 则 因此是曲线的渐近线 因为 1 所以曲线 习题的斜渐近线为 设物体绕定轴旋转在时间间隔 故t0时刻的角速度为 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度T与时间t的函数关系为应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度, 解 物体在时间间隔 故物体在时刻t的冷却速度为 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元此函数f(x)称为成本函数成本函数f(x) 的导数在经济学中称为边际成本试说明边际成本的实际意义 解 表示当产量由x改变到时成本的改变量 表示当产量由x改变到时单位产量的成本 表示当产量为x时单位产量的成本 设试按定义求解 证明 解 2 下列各题中均假定存在按照导数定义观察下列极限指出A表示什么 解 其中且存在 解 h 解 h 求下列函数的导数 解 (4) 已知物体的运动规律为求这物体在秒(s)时的速度解 米/秒 如果f(x)为偶函数且f(0)存在 证明 证明 当f(x)为偶函数时所以 从而有即 求曲线在具有下列横坐标的各点处切线的斜率解 因为所 以斜率分别为 求曲线y上点处的切线方程和法线方程式 解 故在点处切线方程为 法线方程为 求曲线在点处的切线方程 解故在处的切线方程为 即 在抛物线上取横坐标为及的两点作过这两点的割线问该抛物线 上哪一点的切线平行于这条割线, 解 割线斜率为 令得 因此抛物线上点处的切线平行于这条割线 讨论下列函数在处的连续性与可导性 解 (1)因为 所以函数在处连续 又因为 而所以函数在处不可导 1 解 因为又所以函数在处连续 又因为 所以函数在点处可导且 设函数为了使函数f(x)在处连续且可导应取什 么值, 解 因为 所以要使函数在 处连续必须又因为当时 所以要使函数在处可导必须此时 已知求及又是否存在, 解 因为 而所以不存在 已知求 解 当x<0时 当x>0时 因为 所以从而 证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 a2a2 解 由得设为曲线上任一点则过该点的切线方程为 令并注意解得 令并注意为切线在x轴上的距解得为切线在y轴上的距 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 习题 推导余切函数及余割函数的导数公式 解 求下列函数的导数 x 解 (7) 求下列函数在给定点处的导数 求 求和 求和 解 以初速v0竖直上抛的物体其上升高度s与时间t的关系是求 (1)该物体的速度 (2)该物体达到最高点的时刻 解 (2)令v(t即得 这就是物体达到最高点的时刻 求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程解 因为 又当时所以所求的切线方程为 所求的法线方程为 即 求下列函数的导数 解 11221 求下列函数的导数 解 2 2 2 2 1 x x 2 x2 x2 x x x 22 x 1 x |x|1 11 x x 2 2 12x 2 2 2 2 2 2 2 nx 求下列函数的导数 解 2 1 tanx 2 1 9. 设函数f(x)和g(x)可导且f试求函数的导数解 1 dy 设f(x)可导求下列函数y的导数 解 求下列函数的导数 解 1 sh2x 求下列函数的导数 解 ( 1 习题 求函数的二阶导数 解 (10) x x2x2 x 3 x 2 2 4 2 2 2 2 2 2x 2 2 2 2 2 设 解 若存在求下列函数y的二阶导数 解 f(x) d2ydx 2 [f(x)] 2 (x)]2 [f(x)] 2 试从导出 dy 2 d2xd 解 dy 已知物体的运动规律为、是常数求物体运动的加速度并验证 解 2dt d2s dt2就是物体运动的加速度 验证函数是常数)满足关系式 解 验证函数满足关系式 解 求下列函数的n阶导数的一般表达式 都是常数 解 (1) 求下列函数所指定的阶的导数 求 求 求y(50) . 解 (1)令有 所以 (2)令则有 所以 129899y(100 (3)令则有 所 以 习题 求函数的二阶导数 ( 解 3x2 (10) x x2x2 x3 x4 2 2 2 2 2 2 2 2x 2 2 2 2 设 解 若存在求下列函数y的二阶导数 解 f(x) d2ydx2 试从导出 y d dy d dxd2xd 解 dy 已知物体的运动规律为、是常数求物体运动的加速度并验证 2dt 解 d2s 就是物体运动的加速度 验证函数是常数)满足关系式 解 验证函数满足关系 式 解 求下列函数的n阶导数的一般表达式 都是常数 解 22 求下列函数所指定的阶的导数 求 求 求y(50) . 解 (1)令有 所以 (2)令则有 所以 (3)令则有 所 以 习题 求由下列方程所确定的隐函数y的导数 解 (1)方程两边求导数得 于是 (2)方程两边求导数得 于是 (3)方程两边求导数得 于是 (4)方程两边求导数得 于是 2 求曲线 y3在点(a, 2a)处的切线方程和法线方程 解 方程两边求导数得 于是 3 在点(2a, 2a)处 所求切线方程为 即 所求法线方程为 即 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数 解 (1)方程两边求导数得 (2)方程两边求导数得 (3)方程两边求导数得 (4)方程两边求导数得 用对数求导法求下列函数的导数 解 (1)两边取对数得 ， 两边求导得 于是 (2)两边取对数得 两边求导得 于是 (3)两边取对数得 两边求导得 于是 (4)两边取对数得 两边求导得 于是 求下列参数方程所确定的函数的导数 解 (2) 已知求当时的值 int解 当时 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程 在处 在t=2处解 当 4时 所求切线方程为 即 所求法线方程为 即 dy dy 当时 所求切线方程为 即 所求法线方程为 即 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2y 设存在且不为零 解 (2) dy dx (4) d3y 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 解 dy 1 落在平静水面上的石头产生同心波纹若最外一圈波半径的增大率总是问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少, 解 设波的半径为r对应圆面积为则两边同时对t求导得 S 当时 故米秒 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中其速率为当水深为5m时其表面上升的速度为多少, 解 水深为h时水面半径为水面面积为 水的体积为 已知，因此 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中开始时漏斗中盛满了溶液已知当溶液在漏斗中深为12cm时其表面下降的速率为问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少, 解 设在t时刻漏斗在的水深为圆柱形筒中水深为于是有 由得 代入上式得 即 两边对t求导得 当时代入上式得 已知计算在处当分别等于时的及 解 设函数的图形如图所示试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、及并说明其正负 解 求下列函数的微分 是常数 解 (1)因为 所以 (2)因为所以 因为所以 将适当的函数填入下列括号 解 如图所示的电缆的长为跨度为电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为则电缆长可按下面公式计算 当f变化了时电缆长的变化约为多少, 解 设扇形的圆心角半径如图如果R不变减少问扇形面积大约改变了多少,又如果不变增加问扇形面积大约改变了多少, 解 (1)扇形面积 将代入上式得 3360 将代入上式得 3 计算下列三角函数值的近似值 解 (1)已知当时有所以 (2)已知当时有所以 计算下列反三角函数值的近似值 解 (1)已知当时有 所以 (2)已知当时有 所以 当x较小时证明下列近似公式 是角的弧度值 并计算和的近似值 (1)已知当较小时取则有 (2)已知当较小时取则有 (3)已知当较小时取则有 x 计算下列各根式的的近似值 解 (1)设则当|x|较小时有 (2)设则当|x|较小时有于是 n 计算球体体积时要求精确度在2%以 6 3所以 也就是测量直径的相对误差不能超过 某厂生产如图所示的扇形板半径要求中心角为产品检验时一般用测量弦长l 的办法来间接测量中心角如果测量弦长l 时的误差问此而引起的中心角测量误差是多少, 解 由得 当时 当时 弧度 总 习 题 二 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格 存在 存在 2存在存在 解 正确结论是 提示 设有一根细棒取棒的一端作为原点棒上任一点的做标x为于是分布在区间上细 棒的质量m是x的函数应怎样确定细棒在点x0处的线密度(对于均匀细棒来说单 位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度, 解 在区间[x0上的平均线密度为 于是在点x0处的线密度为 根据导数的定义求 1 x 的导数 解 11 求下列函数f(x)的及又是否存在 解 (1)因为 1 而且所以存在且 x x 1 x 1 (2)因为 1 x 1 而所以f 不存在 讨论函数 在处的连续性与可导性 解 因为所以f(x)在处连续 因为极限lim 可导不存在所以f(x)在处不 求下列函数的导数 解 1 tanx 求下列函数的二阶导数 解 求下列函数的n阶导数 解 mmmmmm y 设函数由方程所确定求解 方程两边求导得 —— (1) 于是 ——(2) 当时由原方程得由(1)式得由(2)式得 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 解 d2y 1 1 求曲线在t=0相的点处的切线方程及法线方程 解 dy 2当时所求切线的方程为即 所求法线的方程为 甲船以6km/h的速率向东行驶乙船以8km/h的速率向南行驶在中午十二点正乙船位于甲船之北16km处问下午一点正两船相离的速率为多少? 解 设从中午十二点开始经过t小时两船之间的距离为则有 当时 dS 即下午一点正两船相离的速度为 利用函数的微分代替函数的增量求3.02的近似值 解 设则有或于是 已知单摆的振动周期 其中为摆长(单位为 设原摆长为为使周期T增大摆长约需加长多少, 解 因为 所以 即摆长约需加长 习题 验证罗尔定理对函数在区间上的正确性 解 因为在区间上连续在 由得 因此确有使 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性解 因为 在区间上连续在由得 因此确有使 对函数及x在区间上验证柯西中值定理的正确2 性 解 因为及在区间上连续在可导且在 令即 化简得 易证所以在(0, 内有解即确实存在 使得 22 试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间 证明 因为函数在闭区间上连续在开区间 化间上式得 故 不用求出函数的导数，说明方程有几个实根并指出它们所在的区间 解 由于f(x)在上连续在 证明 设因为 所以其中C是一常数 因此即 若方程有一个正根证明方程 必有一个小于x0的正根 证明 设由于F(x)在上连续在内可 导且根据罗尔定理至少存在一点使即方程 必有一个小于x0的正根 若函数f(x)在又由于在上连续在 所以 设证明 证明 设则f(x)在区间上连续在区间 因为所以 即 证明下列不等式 (2)当时 证明 (1)设则f(x)在上连续在使 即 所以即 (2)设则f(x)在区间上连续在区间 则在上连续在解 设 值定理存在使 即 因此 证明若函数在证明 令 则在内有 所以在 证明 根据柯西中值定理 f(x) 介于0与x之间 介于0与之间 间介于0与之 依次下去可得 之间所以f(x) 介于0与 f(x) 由于可以表示为所以 习题 用洛必达法则求下列极限 (1)lim (5)limlnsinx 2 1 (13) 解 2 1 (注 x2 (注当时 因为 1 而 xl所以 (15)因为而 所以 (16)因为 而 所以 验证极限存在但不能用洛必达法则得出 解 极限是存在的但 不存在不能用洛必达法则验证极限lim 存在但不能用洛必达法则得出 解 极限是存在的但 不存在不能用洛必达法则 讨论函数在点处的连续性解 因为 而 所以 因此f(x)在点处连续 习题 按的幂展开多项式 解 设因为 f ( 所以 应用麦克劳林公式按x幂展开函数 解 因为 所以 求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式解 因为 2 16 2 3 8 5 3 7 (4) 所以 3 f (4) 4! 4 64 512 15 求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式解 因为 所以 2 (n) 2k xn (k) 3 f (n) (2) n! 求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式 x 解 因为 (n) (k) 所以 x 2! 3! 求函数的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式解 因为 所以 求函数的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式解 因为 所以 验证当时按公式计算ex的近似值时所产生的误262 差小于并求e的近似值使误差小于 解 x2x3因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式其余项为 x2x31x所以当时，按公式计算ex的误差 262 e1 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差 解 (1)设则f(x)在点展开成三阶泰勒公式为 介于27与x之间 于是 93!27258 其误差为 (2) 已知 介于0与x之间 所以 其误差为 10 sin 利用泰勒公式求下列极限 (2)lim x22 12 解 x 因为所以 2 t 1 (2)lim x22 1214111 1 x)x] o(x4)1 11312 2!4!2! 3o(x)343 2242224x2 4 习题 判定函数单调性 解 因为 且仅当时等号成立所以f(x)在 解 令得驻点列表得 可见函数在和 因为当时当时所以函数在内单调减少在内单调 增加 令得驻点 不可导点为 2 列表得 2 2 可见函数在因为加 因为当时当时 2 2 2 2 2 2 所以函数在 是以为周期的函数在当时 2 (2)当时当时 22 (4)当时 3 (5)当时 证明 (1)设则f (x)在 2 也就是 2 (2)设则f (x)在 所以f (x)在 也就是 (3)设则f(x)在 因为在 (4)设则f(x)在 因为当时所以在 也就是 (5)设则f (x)在 所以当时即f(x)内单调增加 因此当时即也就是 讨论方程其中有几个实根, 解 设则f(x)在因为当时所以f(x)在(0, 1 单调函数的导函数是否必为单调函数,研究下面这个例子 解 单调函数的导函数不一定为单调函数 例如在 因为当时所以曲线在内是凹的 因为在 因为当时当时所以曲线在 令得 因为当时当时所以曲线在令得 列表得 可见曲线在和因为当时当时所以曲线 在 证明 (1)设则因为当时所以曲 线在区间 即 (2)设则因为所以曲线在 即 (3)设则 因为当时 所以函数的图形在22 即 试证明曲线 证明 有三个拐点位于同一直线上 令得 例表得 因为 可见拐点为 所以这三个拐点在一条直线上 问a、b为何值时点为曲线的拐点, 解 要使成为曲线的拐点必须且 即且解此方程组得 试决定曲线中的a、b、c、使得处曲线有水平切线为拐点且点在曲线上 解 依条件有 即 解之得 试决定中k的值使曲线的拐点处的法线通过原点解 令得因为在的两侧是异号的又当时所以点是拐点因为所以过拐点的法线方程为要使法线8k过原点则应满足法线方程即 同理因为在的两侧是异号的又当时所以点也是拐点 因为所以过拐点的法线方程为要使法线8k过原点则应满足法线方程即 因此当时该曲线的拐点处的法线通过原点 设在的某邻域 因为当时当时所以是拐点 习题 求函数的极值 1 1 解 (1)函数的定义为驻点为 列表 1 可见函数在处取得极大值在处取得极小值函数的定 义为驻点为因为当时当 时所以函数在处取得极小值极小值为 (3)函数的定义为 令得 因为所以是函数的极小值 和是函数的极大值 (4)函数的定义域为 令得驻点 因为当 34 时当时所以 4 125 2 354 为函数的极大值 3 (5)函数的定义为驻点为 125 因为当 20510 125 时当 125 时所以函数在 125 处取得极大值极大值为 2 2 (6)函数的定义为列表 驻点为 可见函数在处取得极小值在处取得极大值 3 8 (7)函数的定义域为令 得驻点 22 4 因为所以 4 4 是函数的极大值 因为所以 4 4 22 是函数的极小值 1 (8)函数的定义域为 1 1x 2 令得驻点 1 因为当x<e时当x>e时所以为函数f(x)的极大值 (9)函数的定义域为减少的无极值 (10)函数的定义域为 21 2/3 因为所以函数在是单调 因为所以函数f(x)无极值 试证明如果函数满足条件那么这函数没有极值 证明由知于是配方得到 2 2 2b3a c3a 2 b3a 2 2 因所以当时当时因此是单调函数 没有极值 试问a为何值时函数在 31 处取得极值,它是极大值还是极小 值,并求此极值 解 要使函数f(x)在 处取得极值必有即 3 2 当时 3 因此当时函数f (x)在 处取得极值而且取得 极大值极大值为f( 32 求下列函数的最大值、最小值 解 令得计算函数值得 经比较得出函数的最小值为最大值为 令得舍去计算函数值得 经比较得出函数的最小值为最大值为 令得 34 54 34 计算函数值得 经比较得出函数的最小值为最大值为 问函数在何处取得最大值,并求出它的最大值解 函数f(x)在 函数f(x)在处取得最大值最大值为 问函数 解 在何处取得最小值, 在的驻点为因为 3 所以函数在处取得极小值又因为驻点只有一个所以这个极小值也就是最小值即函数在处取得最小值最小值为 问函数 在何处取得最大值, 解 函数在 令得驻点 因为 所以S在驻点处取得极小值也就是最小值这时相应的高为 底直径与高的比为 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图截面的面积为问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省, 解 设矩形高为截面的周长则于是 40 令得唯一驻点 因为 所以为极小值点同时也是最小值点 因此底宽为 时所用的材料最省 设有重量为5kg的物体置于水平面上受力F的作用而开始移动(如图设摩擦系数 问力F与水平线的交角为多少时才可使力F的大小为最小, 解 由得 驻点为 因为F 的最小值一定在 驻点为由问题的实际意义知的最小值一定在 ，驻点为 由问题的实际意义一定在内取得最大值而V 在内只有一个驻点所以该驻点一定也是最大值点因此当 时漏斗的容积最大 某吊车的车身高为吊臂长现在要把一个 6m宽、2m高的屋架水平地吊到6m高的柱子上去(如图问 能否吊得上去, 解 设吊臂对地面的倾角为时屋架能够吊到的最大高度为在直角三角形中 故 1 令得唯一驻点 因为 所以为极大值点同时这也是最大值点 1 当时 所以把此屋最高能水平地吊至高现只要求水平地吊到6m处当然能吊上去 一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时公寓会全部租出去当月租金每增加50元时就会多一套公寓租不出去而租出去的公寓每月需花费100元的维修费试问房租定为多少可获最大收入, 解 房租定为x元纯收入为R元 当时且当时得最大纯收入45000元当 时 1 令得 解 (1)定义域为 5 5 5 5 令得令得 列表 (4)作图 2 解 (1)定义域为 (2)奇函数图形关于原点对称故可选讨论时函数的图形 2 2 2 3 ) 当时令得令得 (4)列表 (5)有水平渐近线作图 2 2222 解 (1)定义域为 2 2 2222 )] 令得令得列表 (4)有水平渐近线作图 2 1x 解 (1)定义域为令得 (3)列表 1x 32 2 3 2x 3 3 3 12 令得 (4)有铅直渐近线作图 cosxcos2x 2 4 解 (1)定义域为 (2)是偶函数周期为可先作上的图形再根据对称性作出 cos 2 2 x) 2x cos 3 2 4 x) 2x 2 在上令得令y得列表 (5)有铅直渐近线及 4 4 (6)作图 习题 求椭圆4x2+y2=4在点处的曲率解 两边对x求导数得 所求曲率为 求曲线y=lnsec x在点处的曲率及曲率半径解 所求曲率为 曲率半径为 求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径 解 令得顶点的横坐标为 所求曲率为 曲率半径为 求曲线在处的曲率 解 所求曲率为 对数曲线上哪一点处的曲率半径最小,求出该点处的曲率半径解 x 1 3 x x 2 2 2 令得因为当时当 2时所以 2是的极小值点同时也最小值 点当 332 22 时 22 因此在曲线上点( 22 , ln 22 ) 处曲率半径最小最小曲率半径为 xa 证明曲线解 xa 在点处的曲率半径为 xa y 2 a a 1 在点处的曲率半径为 2 3/2 |1a 2 x chx 2 axa )| 3/2 |1a 2 xa ) 3/2 ch xa 2 xa y 2 a 一飞机沿抛物线路径 10000 (y轴铅直向上单位为m)作俯冲飞行在坐标原点O处 飞机的速度为飞行员体重求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对 飞行员的反力解 2x10000 2 x5000 15000 2 15000 15000 3/23/2 向心力 mV 2 2 牛顿 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 牛顿 汽车连同载重共在抛物线拱桥上行驶速度为桥的跨度为拱的矢高为 求汽车越过桥顶时对桥的压力 解 如图取直角坐标系设抛物线拱桥方程为由于抛物线过点代入方程得 0.2525 于是抛物线方程为 2 3/2 23/2 向心力为( 牛顿 因为汽车重为5吨所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 牛顿 求曲线在与x轴交点处的曲率圆方程 求曲线在点(, 1)处的曲率圆方程 求抛物线的渐屈线方程 总习题三 1. 填空: 设常数函数在 解 应填写2. 提示 在 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在[0, 1]上则或几个数的大小顺序为( ). 解 选择B . 提示: 因为所以在[0, 1]上单调增加, 从而 又由拉格朗日中值定理, 有所以 3. 列举一个函数f(x)满足: f(x)在上连续在因此在内不存在点使 4. 设求li 解 根据拉格朗日中值公式介于与x之间. 当时于是 5. 证明多项式在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 因为当时所以f (x)在[0, 1]上单调减少. 因此, f(x) 在[0, 1]上至多有一个零点. 6. 设 a1 证明多项式在证明 设 则F(x)在[0, 1]上连续, 在 9. 设f(x)、g(x)都是可导函数, 且证明: 当x>a时证明 由条件得知 且有是单调增加的, 当x>a时, g(x)>g(a). 因为f (x)、g (x)都是可导函数, 所以f (x)、g (x) 在[a, x]上连续, 在(a, x)因此 10. 求下列极限: (1)lim x ; (2)lim[ (3)lim(arctanx)x. 1 11 其中解 x x x nx 1 x 1x . (2)lim[ 1x 12 x 2) 2 , 因为 2 2 1 x 1 2x 1 , 所以 2 x 2 2 . 1 1 1 111 nx (4)令则因为 111 1x 1 1 1 11 1 a2x 1 1 1 x 1 1 即从而 11. 证明下列不等式当 时 tanx2tanx1 x2x1 ; 当x>0时证明 (1)令因为 xsec 2 arctanx . tanxx 2 2 2 所以在(0, ) 设则f(x)在上连续因为 当x>0时 2 2 . , 所以在上单调增加. 因此, 当x>0时, f(x)>f(0), 而从而f(x)>0, 即 12. 设 , 求f(x)的极值. 解 是函数的间断点. 当x<0时当x>0时令得函数的驻点 e1 列表: 1e 函数的极大值为极小值为 13. 求椭圆上纵坐标最大和最小的点. 解 将 12y . 当 2 12 y 2 时 代入椭圆方程, 得 14 12 2 于是得驻点因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当时当时所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和 14. 求数列{n}的最大项. 1 解 令则 x1 1f(x) 1x 2 1x 2 1x 2 , 令得唯一驻点 因为当时当时所以唯一驻点为最大值点. 因此所求最大项为max{ . 15. 曲线弧上哪一点处的曲率半径最小,求出该点处的曲率半径. 解 23/2 2 2 x) 3/2 sinx 1 32 sin 2 x)2cosx x 1 在时0, 所以 2时当 是的极小值点, 同时也是的最 2)3/2 小值点, 最小值为 16. 证明方程只有一个正根. 并求此正根的近似值使精确到本世纪末解 设则 当时所以在 h 18. 设f (n)(x0)存在, 且证明 证明 因为 limf(x) 所以 设f(x)在 于是有 即 所以 20. 试确定常数a和b, 使为当时关于x的5阶无穷小. 解 f(x)是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为 要使为当时关于x的5阶无穷小, 就是要使极限 limf(x) 存在且不为0. 为此令 4 3, 解之得 4 3 513. 13 因为当时 所以当时为当时关于x的5阶无穷小.