江苏省数学数列高考题

江苏省数学数列 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 题 2011年 {a}Sa,1nn120、(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任 S，S,2(S，S)n，kn,knk意整数k属于M，当n>k时，都成立。 a{a}a,25n2(1)设M=,1,，，求的值;(2)设M=,3，4,，求数列的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。 knSSSSSSSS,？,,，,，？，,，1,1,2(),2()nnnnnn，,，，111211解析:(1)即:aaa，,2nnn，，21 aSSSSSaa,,，,,？,？,3,2()7,4,8;,,a,2n23211352所以，n>1时，成等差，而， ,,，,，,,，,，nSSSSnSSSS3,2(),(1);4,2(),(2)nnnnnn，,，,333444， (2)由题意: ,,，,，,,，,，nSSSSnSSSS4,2(),(3);5,2(),(4);nnnnnn，,，，,，42135314 aaa,,2,(5)n,5nn，,434当时，由(1)(2)得: aaa,,2,(6)nn，,524由(3)(4)得: aaa，,2,(7);nnn，,，421由(1)(3)得: aaa，,2,(8);nnn，,，531由(2)(4)得: aaa,,,aaa,,,dd,,nnn，，,412nnn，，,51312由(7)(8)知:成等差，成等差;设公差分别为: 由(5)(6)得: aadaadaadaad,，,,，,，,,，222,(9);222,(10);nnnnnn，,，，,，532442421541 ？,a(2)naaddaddaadd,,,,，,,,,2,;,,nnnnn，，,,54214122321由(9)(10)得:成等差，设公差为d, 2+6a152(255),452;adaadad，,，，,,,即12122在(1)(2)中分别取n=4,n=5得: 28282(279),351aadaadad，，,，，,,,即12122 ？,,？,,adan3,2,21.2n 2010年 第19题( ,,S,,aS2a,a，andnn213设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列 是公差为的等差数列. ,,an,dn?求数列的通项公式(用表示) S，S,cSm,n,km，n,3k且m,nmnkc?设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。 9 2c求证:的最大值为 ,,？S2S,S，Sn213解:(1)是等差数列，， y 2a,a，a？2a，a,a，3a2131212 又，，平方得 T B2 2M 3a，a,23aa(a,3a),0121221 ，即， ？a,3a21， O AAx 1 2 d,S,S,2a,a,aS,d211111？ ，即， 22S,S，(n,1)d,ndS,ndn1n？ ， 22222a,S,S,nd,(n,1)d,(2n,1)dn,2nnn,1 时， n,1 且对成立， 2？a,(2n,1)dn 22m，n 2222S，ScSm，nckmnkck(2)由>得>即< 222222m，n9(m，n)9(m，n)？,,222222k(m，n)m，n，2mnm，n(m,n)？2mn ，< 222222m，n9(m，n)9(m，n)9？,,2222k(m，n)m，n，2mn2 > 99？c,22c ，的最大值为。 2009年第14题( ab,,,,q||1q,ban,，,1(1,2,)nnnn是公比为的等比数列，，令若数列有连续设 ,,53,23,19,37,82,,6q,四项在集合中，则 . 17((本小题满分14分) 2222a,,aaaa,S，,，,7Sn23457nn设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足 a,,Snnn(1)求数列的通项公式及前项和; aamm，1 aSmm，2n(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项. 2008年第19题 aaa,,(4)n,d,012n.(I)设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: a1 n,4dn当时，求的数值;?求的所有可能值; bbb,(4)n,12n(II)求证:对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。 aaaa,,,n,4d,01234(I)?当时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。 a1,,422a(2)(3)adaad，,，aaa,2d314111若删去，则有，即，化简得; a1,122aaaa,()(3)adaad，,，d3214111若删去，则有，即，化简得。 a1,,41或d综上可知。 aaaaa,,,,n,512345当时， 中同样不可能删去首项或末项。 a1,,6aaaaa,aadadad(4)(2)(3)，,，，215341111d若删去，则有，即，化简得; aaaaa,aadadad(4)()(3)，,，，30d,315241111若删去，则有，即，化简得，舍去; a1,2aaaaa,aadadad(4)()(2)，,，，415231111d，则有，即，化简得。 若删去 aaaaaa,,,,n,612321nnn,,当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末 aaaaa,aaaaa,d,0d,02132nn,n,1132nn,项，若删去，则必有，这与矛盾;同样若删去，也有，这与 n,4,5aaaaaa,,,d,032n,121nn,矛盾;若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。 2007年 {}a{}bSqababa,,,,nnn1122120((本小题满分16分)已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记{}bnn为数列的前项和， bamk,(,Sma,,(1))kmk,112(1)若是大于的正整数，求证:;(4分) bai,({}b{}aq)n3in(2)若是某一正整数，求证:是整数，且数列中每一项都是数列中的项;(8分) 2007年 {}a{}bSqababa,,,,nnn1122120((本小题满分16分)已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记 {}bnn为数列的前项和， bamk,(,Sma,,(1))kmk,112(1)若是大于的正整数，求证:;(4分) bai,({}bq)n3i(2)若是某个正整数，求证:是整数，且数列中每一项 {}an都是数列中的项;(8分) {}bqn(3)是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列,若存在， q写出一个的值，并加以说明;若不存在，请说明理由;(4分) 本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法 进行分析、探索及论证问题的能力(满分16分( daq,,1{}aa,0，，dq,,0,1ababa,,,,dn1112211解:设的公差为，由，知，() k,1aqamaq,，,,11ba,，，，，111km(1)因为，所以， k,1qmqmmq,，,,,,，,11121，，，，，，， k,1aq1,ammq,,,11，，，，，，11Sma,,,,1，，k,111,qq所以 2baqaaiaq,,，,,,11ba,，，，，i31113i(2)，由， 22qiqqiqi,，,,,,，,,111,120,，，，，，，，，q,1qi,,2所以解得，或， qq,1qi,,2ii,2但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数， n,，1baqnN,,，，{}bn1n设数列中任意一项为， ，mN,，，amaq，,,11{}aa，，，，11nm设数列中的某一项= n,1aqamaq,，,,11ba,，，，，111mnm现在只要证明存在正整数，使得，即在方程 n,1q,1nn,,122qmqmqqq,，,,,,,，，，111,11，，，，q,1m中有正整数解即可，， 22n,bbabba,,,,q,,1mqqq,，，，22111,222nn,i,1所以，若，则，那么， abab,,,ba,i,3n,3i,311223i当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以， {}bqnm因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为 n,，122n,baqnN,,，，{}an12，，，qqqn与数列的第项相等，从而结论成立。 ，bbbmnpmnpN,,,,,,,,，，{}bmnpn(3)设数列中有三项成等差数列，则有 1y,，q，nmp,,,111xnmxpnyxyN,,,,,,,,，，aqaqaq,，,q1112设，所以2， 23qqq,，,,110，，，，xy,,1,2q,1qq,，,210,令，则，因为， 51,51,q,q,舍去负值，，2{}bqq，,,10n22所以，所以，即存在使得 ，bbbmN,,,，，mmm13，，中有三项成等差数列。 2006年 21)(本小题满分14分) {a}{b}{c}b,a,ac,a，2a，3annnnnn，2nnn，1n，2 设数列、、满足:，(n=1,2,3,…)， {a}{c}b,bnnnn，1 证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…) {a}n证明:必要性. 设是公差为d的等差数列，则 1 b,b,(a,a),(a,a),(a,a),(a,a),d,d,0n，1nn，1n，3nn，2n，1nn，3n，211 b,b(n,1,2,3,？nn，1所以)成立. c,c,(a,a)，2(a,a)，3(a,a)n，1nn，1nn，2n，1n，3n，2又 ,d，2d，3d,6d1111 (常数)(n=1，2，3，…)， {c}n所以数列为等差数列. {c}b,bnn1充分性，设数列是公差d的等差数列，且(n=1，2，3，…). 2 证法一: ？c,a，2a，3a,nnn，1n，2? ？c,a，2a，3a.? n，2n，2n，3n，4 c,c,(a,a)，2(a,a)，3(a,a)nn，2nn，2n，1n，3n，2n，4?,?得 ,b，2b，3b,nn，1n，2 ， ？c,c,(c,c)，(c,c),,2dnn，2nn，1n，1n，22 ？b，2b，3b,,2dnn，1n，22， ? 从而有 b，2b，3b,,2d.n，1n，2n，32 ? ?,?得 (b,b)，2(b,b)，3(b,b),0.n，1nn，2n，1n，3n，2 ? ？b,b,0,b,b,0,b,b,0n，1nn，2n，1n，3n，2， b,b,0(n,1,2,3,？).n，1n?由?得 b,d(n,1,2,3,？),则a,a,dn3nn，23由此 不妨设(常数). c,a，2a，3a,4a，2a,3dnnn，1n，2nn，13由此， c,4a，2a,3d,4a，2a,5dn，1n，1n，23n，1n3从而， a,c,2(a,a),2dn，1nn，1n3两式相减得， 11a,a,(c,c),d,d，d(常数)(n,1,2,3,？)n，1nn，1n32322因此， {a}n所以数列是等差数列. A,a,a,由b,b知a,a,a,a,nn，1nnn，1nn，2n，1n，3证法二:令 a,a,a,a,即A,A(n,1,2,3,？).n，1nn，3n，2nn，2 从而 c,a，2a，3a,c,a，2a，3annn，1n，2n，1n，1n，2n，3由 c,c,(a,a)，2(a,a)，3(a,a)n，1nn，1nn，2n，1n，3n，2得，即 A，2A，3A,dnn，1n，22. ? A，2A，3A,dn，2n，3n，42由此得. ? (A,A)，2(A,A)，3(A,A),0nn，2n，1n，3n，2n，4?,?得. ? A,A,0,A,A,0,A,A,0nn，2n，1n，3n，2n，4因为， A,A,0(n,1,2,3,？).nn，2所以由?得 于是由?得， 4A，2A,A，2A，3A,dnn，1nn，1n，22 ? 从而 2A，4A,4A，2A,d.nn，1n，1n，22 ? 4A，2A,2A，4A,故A,A,nn，1nn，1n，1n由?和?得即 a,a,a,a(n,1,2,3,？),n，2n，1n，1n {a}n所以数列是等差数列. 2005年 3(在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则{a}a,3a，a，a,1n345 ( C ) A(33 B(72 C(84 D(189 23( (本小题满分14分，第一小问满分2分, 第二、第三小问满分各6分) 设数列,,的前n项和为,已知=1,=6,=11,且 aa a aS(5n,8)S,(5n，2)Sn123nn，1n 其中A，B为常数. ,An，B,n,1,2,3,？, (?)求A与B的值; (?)证明数列,,为等差数列; an 5a,aa,1(?)证明不等式对任何正整数m、n都成立. mnmn 解:(?)由已知，得 S,a,1,S,a，a,7,S,a，a，a,18.112123123由知 (5n,8)S,(5n，2)S,An，Bn，1n ,3,7,，,SSAB，,,28,AB,,21即 解得A=,20，B=,8. ,,2S,12S,2A，B,AB2，,,48.,32, 解得 (?)方法1 由(?)得， ? 5(n,8)S,(5n，2)S,,20n,8,n，1n 所以 ? (5n,3)S,(5n，7)S,,20n,28.n，2n，1 ?,?，得 ? (5n,3)S,(10n,1)S，(5n，2)S,,20.n，2n，1n 所以 ? (5n，2)S,(10n，9)S，(5n，7)S,,20.n，3n，2n，1 ?,?，得 (5n，2)S,(15n，6)S，(15n，6)S,(5n，2)S,0.n，3n，2n，1n因为 所以 a,S,S(5n，2)a,(10n，4)a，(5n，2)a,0.n，1n，1nn，3n，2n，1又因为 即 5n，2,0,所以a,2a，a,0,a,a,a,a.n,1n，3n，2n，1n，3n，2n，2n，1又 所以数列为等差数列. a,a,a,a,5{a}3221n 方法2 由已知， S,a,1,又(5n,8)S,(5n，2)S,,20n,8.且5n,8,0,11n，1n 所以数列是惟一确定的，因而数列是惟一确定的. {S}{a}nn n(5n,3)T,.设则数列为等差数列，前n项和 b,5n,4,{b}nnn2 (1)(52)(53)n，n，nn,(58)(52)(58)(52)于是 n,T,n，T,n,,n，n，1n22 ，即数列为等差数列. 由惟一性得 b,a{a}nnn (?)由(?)可知 a,1，5(n,1),5n,4.n 5a,na,1,5a,1，aa，2aa要证 只要证 mnmnmnmnmn因为 a,5mn,4,aa,(5m,4)(5n,4),25mn,20(m，n)，16,mnmn 5(5mn,4),1，25mn,20(m，n)，16，2aa,故只要证 mn 20m，20n,37,2aa.即只要证 mn 2aa,a，a,5m，5n,8,5m，5n,8，(15m，15n,29)因为 mnmn ,20m，20n,37. 所以命题得证. 2004年 na(31),1n,115(设数列的前项和为，(对于所有)，且，则的S,{}aSa,54annn41n2 数值是______2______. 20(设无穷等差数列的前n项和为. {}aSnn 32d,1a,(?)若首项 ，公差，求满足的正整数k; S,(S)12k2k 2(?)求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有成立 {}aS,(S)2knk 3a,,d,1解:(I)当时， 12 (1)3(1)1nn,nn,2S,na，d,n，,n，n n12222 1142222 由，得kkkk，,，()， SS,()2kk22 13k(k,1),0k,0k,4 即 又，所以. 4 2d (II)设数列的公差为，则在中分别取k=1,2,得 {}aS,(S)2nnn 2,aa,,211(1) ,SS,(),,11 ，即 ,,4321，，22SS,()4(2)adad，,，(2) ,,4211,,22 由(1)得 或 a,0a,1.11 当时，代入(2)得d,0或 d,6,a,01 2 若，则，从而成立 ad,,0,0aS,,0,0SS,()1nnkk 2 若，则，由知 ad,,0,6an,,6(1)SSS,,,18,()324,2161nn33 2 故所得数列不符合题意. SS,(),93 2 当时，代入(2)得，解得d,0或d,2 a,146(2)，,，dd1 2 若，则，从而成立; ad,,1,0aSn,,1,SS,()21nnkk 22 若，则，从而成立. ad,,1,2anSnn,,,，，，,,21,13(21)SS,()1nnn 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列: ?{a} : a=0，即0，0，0，…; nn ?{a} : a=1，即1，1，1，…; nn ?{a} : a=2n,1，即1，3，5，…， nn 2003年 (22)(本小题满分14分) 2a,0设，如图，已知直线lyax:,及曲线上的点的横坐标为QCyxC:,,1 作直线平行于轴，交直线作直lPP于点，再从点aaaCQn(0).(1),,,从上的点xnn，，1111n y线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列 CQQn于点 …).(1,2,3,,a,,nn，1n (?)试求的关系，并求的通项公式; aa与a,,nn，1nc y l n11raa,,1,(?)当时，证明 2 aaa,,()1Q,，，123 kkk232,1kr1 Q2 nQ1 1a,1(?)当时，证明 aaa,,(),，，12kkkx O aaa3231,1k aaa2 3 1 2002年 (18)(本小题满分12分) 设为等差数列，为等比数列，，分别求出{a}{b}a,b,1,a，a,b,bb,a11243243nn P 及的前10项的和及。 {a}{b}ST1010nn 2解:因为为等差数列，为等比数列。 {a}{b}？a，a,2a,bb,bnn 243243 22 已知 得: a，a,b,bb,a？b,2a,a,bb,2bB A 243243333333 11,？b,a, 因为 b,0333 C D 24 131,d,,a,a, 由知的公差为 {a}13n48 10955，10？S,a，d,, 10128 1221,b,b,q,或q,, 由知的公比为 {b}13n222 10b(1,q)2311q, 当时， T,,(2，2)1021,q32 10b(1,q)2311 当时， q,,T,,(2,2)1021,q32