延期支付条件下基于EOQ模型的零售商补货策略

延期支付条件下基于EOQ模型的零售商补货策略 第13卷第4期Vol. 13 No.4 工业工程2010年8月August 2010 Industrial Engineering Joumal 延期支付条件下基于EOQ模型的零售商补货策略王道平1， 李明芳1，2(北京科技大学1.经济管理学院，北京1删83;2.管庄校区，北京1 侧24)摘要:以由供应商、零售商和顾客组成的三阶段供应链为研究对象，在供 应商给零售商全部延期支付期限，而零售商只给顾客部分延期支付期限的基础 上，考虑了变质产品的情形，建立了相应的零售商库存决策模型。通过模型的分 析求解，可以得出零售商在上述情况下的最优补货周期的简单判定方法。通过算 例说明了模型的有效性。关键词:EOQ模型;库存;延期支付中图分类号:C931文献 标识码:A文章编号:1?7-7375(2010)04α泊8-05Optimal Replenishment Policies in the EOQ Model under Trade Credit Policy Warlg Da0??pingl,Li fangl,2 ( 1. School of Economics and Management, University of Ming- Science and Technology Beiji吨，Beijing1仪汩汩，China;2. Cuanzhuang Campus, University of Science and Technology Beijing, Beijing 1(削24， China)Abstract: A supply chain composed of a supplier, a retailer and customers is considered in this paper. In this supply chain, it assumes that the supplier offers a full trade credit to the retailer, but the retailer offers ωits customers just a partial trade credit with exponentially deteriorating. An economic order quantity ( EOQ) model is developed for this problem. With this model, optimal replenishment cycle time is derived for the retailer. A numerical example is presented to illustrate the application of the proposed method. Key words: economic order quantity (EOQ) ; inventory; trade credit 传统的经济订货批量模型 (economicorder quan??发性的液体等这些产品的变质率是很高的，是我们tity， EOQ)假设零售商的资金没有限制，而且收到供不得不考虑的一个成本因素。Chu 等[3]通过考虑变质产品的情形扩展了Goyal[2]模型。Aggarwal等[4]应商的货 物就立即支付全额货款。然而，在现实生活中，供应商为了激励零售商的购买行 为，通常会采则进一步考虑了具有指数形式变质率的变质产品的取延期支付的策 略，即给零售商提供一个延期支付情形。Jamal等[5]和Chang等[6]进一步研究了延期的期限。在延期支付期限到达之前，零售商可以通支付情况下，变质产品在允许缺货条件下的订货策过合理利用所积累的销售收入获得额外的利息收入略。Sarker等[7]研究了变质产品延期支付条件下的(假定零售商将积累的销售收人存入银行获得利息最优支付时间问题。上述文献都假设供应商给零售收入);当超过了延期支付期限的时候，零售商则要商全部延期支付期限，而零售商不给顾客延期支付支付高额的费用。延期支付是供应链契约的一种形期限，但在如此激烈的市场竞争环境下，这是不合理式，它通常被认为是价格折扣契约的等价形式[1]。的。因此Huang[8]修改了以前的假设，研究了零售Goyal[2]首先将延期支付机制引人经典的EOQ商为了剌激顾客需求，也给顾客提供固定的延期支模型中。随后又有不少学者对该模型进行了多方面付期限情形下的零售商补货策略。还有不少学者对的扩展。在现实生活中，很多产品，如牛奶、蔬菜、挥延期支付进行了研究，如，张钦等[9]对1个卖方2个收稿日期:2009-08-28 基金项目:国家自然科学基金资助项目(70872010);北京市哲学社会科学;十一五; 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 资助项目(07BOCI85)作者简介:王道平(1964-)，男，北京市人，教授，博士生导师， 主要研究方向为供应链管理、决策分析等. 第4期王道平，李明芳:延期支付条件下基于EOQ模型的零售商补货策略9 买方的供应链系统，在通常的数量折扣模型的基础少，所以库存I(t)随时间的变化可用下面的微分方上允许缺货或延期交货，并以此来研究卖方定价对程来表示:买方订货策略的影响。闵杰等[10)建立了一个允许平=-D -()I( t) ，阳运T，(1) 延期付款情形下变质性物品的两货枝库存模型，从而将两货樵库存系统作了进一步的且扩满展足。条本件文I(在T)上 =0。所以方程(1)的解为述文献的基础上，修正了有关的研究假设，在供应商盯们7[ee(Tt1]，0运t~T(2) o 给零售商全部延期支付期限，而零售商只给顾客部分延期支付期限的基础上，同时又考虑了变质产品零售商每周期的订货量:Q=/(0)号(λ1)。的情形，建立了零售商库存决策模型，从而进一步改零售商的年总费用可表示为进了EOQ模型。这样使模型就更接近实际情况，并TRC( T) =年订货费用+年持有成本的费用+给出了零售商最优补货周期的计算方法。年利息支付+年变质费用-年利息收益，1 符号说 明和假设其中，年订购费=士;本模型所用的符号及含义如表1所示。8T 表1模型所用的符号及含义C(O -DT) c[ ~ ( e-1 ) -DT ] 年变质费用=口i亏三ι=~、符号含义T T Q 零售商每周期的订货量年持有成本的费用(不包括利息)= A 发生一次订货的订货费D 产品的年需求率hII(t)dt l.n l.n iT一=在(ew-1)-7。C 单位产品零售商的采购成本单位产品零售商的销售价格年利息支付和年利息收益分两种情况来讨论。h 单位产品单位时间的库存保管费1 )当M~N时，由假设5)和假设6)，年利息支θ 产品的变质率，0.:;;;θ.:;;;1付和年利息收益分下面3种情况讨论。α 货到时，顾客付给零售商的付款比例，0.:;;;α运1单位库存年利息收益L cII I(t)dt k 1. 单位库存年利息支付?当M运T时，年利息支付=抑-T-=M 供应商给予零售商的延期支付期限N 零售商给予顾客的延期支付期限丰{3信[e俨d 8叭盯(俨萨仁T(-仔叫-T 补货周期?当N~运三T~运三M时，年利息支付=0;; I(t) t时刻的库存水平，0运t.:;;;TTRC( T) 零售商的年总费用年利息收益=T* 最佳补货周期叫{Dtdt+叫hdt+sdIefDρTd-为了便于研究，在此的大部分假设同Huang[8)T 2 中的假设:1 )产品的年需求率D为已知的常数;2) sI.D[2MT -(1 -α)N_俨]不允许缺货，瞬时补货;3)时间区间是无限的;4)s~2T c，Ik注1.;5)供应商给零售商全部延期付款期限。当?当T~三N时，年利息支付=0;T注M，零售商在T=M时刻付清全部货款并且开始年利息收益=以Ik的利率为持有的库存支付利息;当T~三M，零售ωIλef、D础+ωIλefρD阳+sdIeJfD阳商在T=M时刻付清全部货款，并且不用支付任何-T 利息;6)零售商只给顾客部分延期支付期限。当顾客收到货物时，付给零售商部分货款，在T=N时刻，sl.D [ M -(1 -α)N -手l。把余款付清。零售商通过销售产品获得的收人存人所以，零售商的年总费用为银行以L的利率获得利息。,TRC(T), T~M; 1 2 模型的建立TRC (T) = ~ TRC( T), fV运T运M;(3) 2 lTRC(T), O<T~N。由于产品需求和本身变质的原因，库存逐渐减3 工业工程第13卷10 其中，四飞(T)=?IZ(eOT-I)-字卜3 模型解的分析cIL r n . M~;、n1 9本文的目的是求得最优的r，使零售商的年总~ ~号[e(1'.M)-1 ] _号(T-M)~+ T l矿。j费用最小，具体分析如下。9T 1 )当M~N时，因为TRC，(M)=TRC(M), 22 c[ ~ (e-1) -DT ] sIe[ M-(1 _川]DTRC(N) =TRC(N)，所以TRC(T)是连续函数。23T 2T’ 对式(3)的TRC，(T)求一阶导数，即9TTRC(T) = ~ + [捍(e-1) -于卜2 r . hD盯hDT旷TRC’, (T) =一{-A-一(?-1) +一-rI俨l.. ff 8T c[ ~ (e-1) -DT] sI.D[2MT-(1-川平]cDI( 1百-1)r ~(T_M】cIkDk9., [e(1'几1]+宁(T-M)+ T 2T /θT9T 1 9T , 1 \ , 1 n r .,2 / \ ar2 1 1 9TD ( Te-~ e+ ~ 1+ ~ sIeD[ M-(1 -α)所]~ TRC飞 ()-’() I . 2 -’ -L , . ~ / .. .J J (T) =专+[~号(e_ 1) -于]+ 3 令9T c [~(e-1) -DT ] hD, nT , hDT nr -s叫M-(1-α)N _ ~T]。且 (T)=-A-F(r-1)+7e刷+2)当M<N时，由假设5)和假设6)，单位库存cDI( T(}-1) kr-j:4{T_M、cIkD>[ttIMJ El]+-t(TJ)+ 年利息支付和收益分下面3种情况 讨论。I ’T’_9T 1盯1\ 1 2cId.J(t) dt cD Te--ew+-4--i +--sIP[M2-(1- α)N]。飞()-(}J’2 ?当T=注~M时，年利息支付=m T = TRC’,( T) =0当且 仅当λ(盯=0。因为1'，(T) > 俨(9T仁叫-仔悍0所以.f..( T)在(0，+?)上单调递增;又因为手{~ [ecDI. . .. l骄(T)= +?> 0，且当A+7(e'酬-1) + αsI_1 Dtdt .1 n皿M, L 年利息收益=一一旦一一=工二二..cI.DM 1 _; _ _ r 2T 2--k-一〉一sI.D[M-(1 -α)1俨]时，J，(O)=-IA+() -2 -’.-L ... , ~'''.J ~. ’J I , -, L ?当T运M时，年利息支付=0;DM cDIk’ .nM ., cIk1 1 年利息收益=2 2 万主(e.9M -1) + -’k:;;-I + ~ sI.D [M-(1 -α)N] If ,--, fJ j 2 αsI.1 Dtdt +α坚1.1DTdt ~ <0，所以1，(T) =0有且仅有一个解T:。h k=sLD(αM-芋)。同理分析TRC(T)和TRC(T)。23所以，零售商的年总费用为r . hD盯hDTnT ffJTRC’2( T) =一{-A-一(e_ 1) +一~....tJT-俨lU ff (TRC(T) , T~M; 4 RC( T) = ~哼(4) lTRCs(T), O<T~M。nT CD, nT ., 1. _ r /. ,..? _?, 1 9T 9T2 CDTe_丁(e-1) -~ sIeD[ (1 -α)N_俨]~ 。2_. e-C , . ~， . . ’.J J 9T其中，四C4(T) =?[~号(e_ 1) _字]+ fιD / nr ., hDT nT U1TRC’3( T) =一{-A-巳(e-1) +一~r.tJr3俨l.. ff cI., r n ^'~ .; n、~ ~兰[e盯-M)_ 1 ] _芒(T-M)~+ T llf C-’.J fJ ,. ;;J nT CD / nr ., 1 _ __? 1 ωnw-7(ew-I)-言以川}, 8T2 c[号(e-1) -DT] asI.DM令hD / nT ., hDT IIT ___ IIT T 2T };( T) = -A百(eOI-1)+7-eW+CDTe-9TTRC( T) =专+[在(e-1) -于]+ sCD, RT 2 7(eeT-1)-ESLD[(1-α)N_町，cIZ(eWE1) -DT] _ _ I _. aT hD, nr ., hDT nT ~_~ nr A(T)=-A-JT(ew-1)+7-e刷+CDTe J -'-s 叫αM-字)。 第4期王道平，李明芳:延期支付条件下基于EOQ模型的零售商补货策略11 可证定理2-?和2-?。CD 7(?-1) -??叫Dr。2)(M)=TRCs(M)，所当M<N时，因为TRC4因为f'‘(T)> 0 ( i = 2 ,3 ) ，所以兀(T)(i = 2 ,3) 以TRC(T)是连续的。用同情形1)同样的方法分，.在(0，+?)上单调递增，又因为Ji吧兀(T)= +?， i T) =0T(有唯一解=45)，，且析，可得TRC'，(且(0)<O(i =2，3)。所以兀(T)= 0 ( i = 2,3 )在,., 0 T T( 4 5) i ; < = < ,, , (0, +?)内有唯一的根。(i =45); (6) ( T) T TRC’i=0町，,, =l 综合上面的分析可得5)l >0T>(i =4灯，，。, , <0, T<叮，(i=I,2,3); 因此有定理3。TRC’i(T)l =0, T=T,; , (i=I,2,3); (5) 定理3l>O, T>T,., (i=I，2，3)。cDI.... cI.DM 」(e-eM-1)+〉?如果A+扩F所以由上面的分析，可以得到定理1。定理1??I.DM2=T，则当TTRC(T)取最小值;时，44护DM k1. ~r ..1 cDlk’ _RM ., c1Z ?若A+丁主(e-eM-1)+-L一>~ sI.D[M-rf ,--,. () -2 ?TRC(T)。在(0+?)上有唯一解T;。飞，=证明由上面的分析可知，定理3显然成立。(1-α)N勺，当T=Tt;时，TRC)(T)取最小值;C's(M)令当T=M时TRC'4(M)=TR，，ι=(ITRC’2( T) =。在(0，+?)内有唯一的根T??; 24TRC’4(M) ，则有定理。(TRC’3( T) =。在(0，+?)内有唯一的根TJ。定理4证明由上面的分析可知，定理1显然成立。;言最优补货周期;?若??0，则77为零售商的3分别令T=M，T=N，有?若??<0，则TJ为零售商的最优补货周期。3r hD, RM TRC’)(M) =TRC’2(M) =而{-A-F(em-????::0T证明如果;;??，则<M且T<Ms，因此34MT;;::MTRC(T)时，在T=M处有最小值;当T运M时，_8 hDM 8M . ;’’’; 8M CD 11) +'.-:''''俨+CDMe-一(e-1) -~ sI.D[ (1 -() -. -----() ,--, 2 ??(M)又因为TRC= TRC( T)在T=T处有最小值。s42 2( α)NT) -MJ }; TRC(M) TRC，所以TRC(T)在T;处取得> s ss ??T最小值，即零售商的最优补货周期为s，定理4-?四.C'2(N)=四C'3(N)=毛f-A-~(?-1)+ L L; J; Nl ~ 得证。同理可证定理4-?。hDN翩翩CD，RN ., 1 ~;，2 1 7em+CDNe7(e刷-1)+丁产I川石j。4 算例及分析为了便于讨论，令??)=TRC’) (M) ,??=TRCμN)， 2 应用具体的算例来说明零 售商补货策略的制定因此有定理2。方法，并通过算例来说明某些参数的变化对总成本定理2模型最优解的影响。?若??)<0，则TJ为零售商的最优补货周期;例1当变质率。不变时，α的变化对零售商订?若??>0，则T;为零售商的最优补货周期;2货策略的影响。?若??)~声。且??运O则TJ为零售商的最优补2设某零售商制定某产品的进货策略，数据如下:5货周期。A=50D=10c=10h=6s=15=0.1，，，，1. = ，，ι?证明?如果??)<0??<0，所以Tt>M, ，则‘20.1M=0.1N=0.05θ=0.01 (结果见表2)。，，，?? TMTNNT且T> 。因此，当运N时，> > 例2当α不变时，变质率θ的变化对订货策略, 232TRC( T)在T=N处有最小值;当NC(T)运T~MTR，的影响。T注MTRC(T)在T=处有最小值;当时，在T=M设某零售商制定某产品的进货策略，数据如下:C( N) N) TR因为TRC(= > )()=0.150= h =6s 15处取最小值。又TJ32 = A Ik ,/. =50D 1αc 1= ，= ,,,,) C) (M) TRC ( > Tt ，所TRC(M)且四C(M) TR = O. (结果见表3)。1 M O. 1 N O. 05 α=0.1= = ，,,2 2T.2值，即= Tt。同理TJ处取得最小以TRC(T)在因此，由表的数据分析可知，在存在延期支付 工业工程第13卷12 的条件下，随着α的增大，零售商的最优订货周期，通过数值例子分析了变质率。和α对零售商的订货每周期的订货量及年总费用都变小，因此顾客收到周期、订货量及总成本的影响，说明了模型的有效货物时，付给零售商的货款比例越大，则零售商的订性。当θ=0且α=0时，即在不考虑变质费用且零1货周期越小，同时零售商的年总费用也越小，对零售售商给顾客全部延期支付期限的情况下，Huang[8中1Huang[8商越有利。在不存在延期支付的条件下，即M=O，已经讨论，因此可以作为本文的特例。本α=l(N=O)，零售商的年总费用比存在延期支付条模型还可作进一步扩展，如考虑非固定变质率，非瞬件下的年总费用明显的高而且订货量小。时补货，数量折扣以及需求为销售价格和时间的函由表3的数据分析可知，随着变质率。的增大，数等情况，都将是很有意义的课题。最优订货周期和订货量越来越小，而年总费用越来参考文献:越大，因此对比较容易变质的产品，零售商应该选择[ 1 J Chand S, Ward J. A note on economic order quantity under 增加订货频率，减少订货量的策略，这样总成本才会conditions of permissible delay in payments [ J J. Joumal of 最低。Operational R~search Society, 1987 .38( 1) :83-84. 表 2α的变化对订货策略的影晌1)[ 2 J Goyal S K. Economic order quantity under conditions of per??T. α Q(T.) TRC( T.) missible delay n p町ments[J J. Joumal of the Operational O. 1 0.1166 116.66 736.66 Research Society, 1985 ,36( 4) :335-338. 0.5 0.1157 115.81 729.96 [3 J Chu P, Chang K H, Lan S P. Economic order quantity of dete??0.8 O. 1151 115.17 725. 12 riorating items under permissible delay in payments [ J J . 0.9 0.1149 114.96 723. 71 Computer and Operations Research, 1998 ,25 (10) : 817 -824. 1.0 0.1147 114.74 721. 71 [4JAgg.缸walS P，J句giC K. Ordering policies of deteriorating i??α=1.0，M=0 0.1147 114.73 872.11 tems under permissible delay in payments [ J J . Joumal of the I)??<0,??<0。 Operational Research Society, 1995 ,46 ( 5) : 658毛62.1 2 [5 J Jamal A M, Sarker B R, Wang S. An ordering policy for dete??表3θ的变化对订货 策略的影晌1)riorating items with allowable shortage and permissible delay T. θ Q(T.) TRC(T.) in payment [ J J .白leJoumal of the Operational Research so同0.01 0.1166 116.66 736.66 ciety, 1997 ,48( 8) :826-833. 0.03 0.1150 115.21 748.35 [6 J Chang H J ,Dye C Y. An invent町modelfor deteriorating i??0.05 0.1135 113.82 760.lO tems with partial backlogging and permissible delay in pay??0.07 O. 1120 112.48 771. 67 ments [ J] . Intemational Joumal of Systems Science, 2?1，32 0.00 0.1106 111. 18 783.13 (3) :345-352. 1 )??<0,??<0。1 2 [7}Sarker B R,Jamal A M M, Wang S J. Optimal payment time under permissible delay in payment for products with deterio??5 结论ration [ J J . Production Planning & Con时，2 棚，11(4):380辆'390. 目前，已有的考虑延期支付的EOQ订货模型多 [8JHuang Y F. Optimal retailer’ s ordering policies in tbe EOQ 为两阶 段模型，一般只考虑单个供应商、单个零售商model under trade credit financing[ J J . Joumal of the Opera??的情况。然而，零售商为剌激需求， 给顾客提供延期tional Research Society，2?3，54(9) :1011-1015. 支付也 是一种比较常见的商业行为。因此本文是在[9J张钦，达庆利.供应链中基于延 期交货的批量订货策略考虑变质率的情况下，建立了基于供应商给零售商[JJ.东南大学学报(自然科学版)，2?15，35(4) :628-631. 延期支付期限，而零售商只给顾客部分延期支付期[ 10J闵杰，常浩.两货找及允许延期付款情形下变质性物品限的条件下的最优库存模型。通过计算定理中的的最优订货策略[JJ.系统工程理论与实践，2ω9，29(3): d，d和d，零售商能很快地得出最优补货策略。90-99. 123