划时代的壮举：连接代数与几何——解析几何的诞生于发展
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摘要：解析几何的起源与发展，对各种坐标系的介绍及使用。
关键词：笛卡尔，各种坐标系，实用性
在17世纪之前，几何与代数作为数学的两个分支各自独立地，静悄悄地发展着。
几何最早源于测地术，指的是对土地的测量。几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命
题
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。在早期几何学中，不得不提《几何原本》，它代
表
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欧氏几何的诞生，为后来的人们提供了坚实的公理体系以及还算多样化的几何
证明
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方法。【1】
代数是数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。【2】
数千年的发展使得几何与代数在古典的意义上接近巅峰，发展开始变慢。而在这个时候一个伟大的人物横空出世，他的名字叫做笛卡尔。笛卡尔出身于一个地位较低的贵族家庭，父亲是布列塔尼议会的议员。1岁多时母亲患肺结核去世，而他也受到传染，造成体弱多病。母亲去世后，父亲移居他乡并再婚，而把笛卡尔留给了他的外祖母带大，自此父子很少见面，但是父亲一直提供金钱方面的帮助，使他能够受到良好的教育。在他8岁时笛卡尔就进入拉夫赖士(La Flèche)的耶稣英语会学校接受教育，受到良好的古典学以及数学训练。1613年到普瓦捷大学学习法律，1616年毕业。毕业后笛卡尔一直对职业选择不定，又决心游历欧洲各地，专心寻求“世界这本大书”中的智慧。心形线r=a(1-sinθ）据说即为笛卡尔一封情书中所写。【3】【4】
相传笛卡尔是在梦中发现坐标的。他23岁时就在研究能否用代数计算来代替几何证明。有一天夜里，他梦见窗前有一只黑苍蝇在飞，眼前留下了苍蝇飞过的痕迹，时而是一条斜线，时而是一条弯曲的线。苍蝇停住时，留下一个小黑点。他猛然惊醒，梦境深深印在脑海中，使他难以在入睡。突然，他悟出了其中的奥妙：苍蝇就是一个点，它的位置不是可以用它到窗边的距离来确定吗？这就是坐标的思想；苍蝇飞过留下的痕迹不就是这个点运动而产生的直线和曲线吗?这就把几何图形和坐标联系起来了。【5】
其实对解析几何作出巨大贡献的还有费马，就是我们常说的那个费马，费马是个律师，数学只不过是他的业余爱好，但他对数论和微积分做出过一流贡献。他是这么说的：只要在最后的方程里出现两个未知量，我们就可以得到一个轨迹，变化两个未知量之一，对应的点就绘出一条直线或曲线。所以他是从方程出发研究曲线，而笛卡尔是从曲线出发。从意义上两者看似等价，但从应用上来说，费马无疑是落了下乘，更重要的是，费马不敢与希腊数学的传统决裂，认为自己的思想只是希腊数学思想的延续，没能超越前人静态 曲线的思想。笛卡尔则不同，他敢于打破希腊传统数学思想的束缚，用代数方法代替传统的几何方法；解析几何的许多思想方法都是笛卡尔首创的。
按照多年应用解析几何解题的经验，解题方法主要分两步：1、图形坐标化；2、坐标方程化。按照道理来说，在任何坐标系中应该都能解决问题，但显然在特殊条件下，特定坐标系可以简化问题。下面我们就来认识几种常用坐标系：
1 直角坐标系
过空间定点O作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点,具有相同的单位长度.这三条数轴分别称为X轴(横轴).Y轴(纵轴).Z轴(竖轴),统称为坐标轴.
各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向.这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面,称为坐标面.它们是:由X轴及Y轴所确定的XOY平面;由Y轴及Z轴所确定的YOZ平面；由X轴及Z轴所确定的XOZ平面．这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．位于X，Y，Z轴的正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在XOY平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二，三，四卦限；第一，二，三，四卦限 下方的卦限依次称为第五，六，七，八卦限．
2 极坐标系
在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。
3 球面坐标系
球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
参考文献：
1郑崇友 《几何学引论》高等教育出版社 2006
2柯斯特利金 《代数学引论》高等教育出版社 2006
3理查德·曼凯维奇《数学的故事 》海南出版社 2009
4贝尔《数学大师：从芝诺到庞加莱》上海科技教育出版社2004
5董仁扬《摘取数学明珠》四川科学技术出版社 2004
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