二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系

二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系 二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解 的关系 第11卷第3期 2011年6月 柳州职业技术学院 JOURNALOFLIUZHOUVOCATIONAL&TECHNICALCOLLE GE Vo1.11NO.3 Jun.2011 [理工农学研究] 二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系 余惠霖.黄云凤 (1.柳州职业技术学院,广西柳州545006;2.柳州市第三中学,广西柳州545001) 摘要:探讨了二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系,得到求二阶变系数齐次线性微分 方程的一个解和通解的公式,介绍了二阶变系数线性微分方程的解法. 关键词:变系数;线性微分方程;特解;通解 中图分类号:O175.23文献标志码:A文章编 号:1671-1084(2011)03—0047—04 在一般《常微分方程》教材中,关于线性微分方程通解的结构问题,从理论上说,可以认为已 经解决.但是对一般的变系数线性微分方程求解的方法并没有具体给出.以二阶变系数线性微分方 程为例.其求解问题一直是人们感兴趣的研究课题,许多学者对二阶变系数线性微分方程给出了不 少解法或求解的公式.虽然这些方法可使得某些方程的求解变得较简单,但我们发现,这些解法或 公式基本上都是在对方程设定某些条件下得出的.因此,许多解法难以在现实中得到广泛应用.事实 上,这类线性微分方程没有普遍的解法,处理的基本原则之一是利用常数变易法或用降阶法,把高 阶方程的求解问题转化为较低阶的方程求解.于是我们考虑在研究二阶变系数线性微分方程的求解 问题时.尽量减少对方程设定某些条件的要求,通过基本的常数变易法探讨这类线性微分方程的求 解问题. 1二阶变系数齐次线性微分方程的常数变易法 对于n阶变系数齐次线性微分方程 睾,n-1+..,案.? 定理1t(通解结构定理)如果Xl(t),X2(t),…,x(t)是方程(1)的n个线性 无关的解, (1)的通解可表为x:c1x1(t)+c2x2(t)+…+cn)((t)(2) 则方程 其中C.,C,…,C是任意常数.且通解(2)包括了方程(1)的所有解. 引理设X1(t)和x(t)是区间[a,b】上非零的连续函数,若Vt?[a,b],有?c或?c(其 中C为常数),则在区间【a,b】上,X(t)和x2(t)线性无关. 证明(用反证法)假设X(t)和X2(t)在区间[a,b】上是线性相关的,则存在不全为零的数c, c2,使ClX】(t)+c2x2(t)=O,即Clx1(t):一c2x2(t).若c1?0时,==c,若C2?0时,==c X217,C1XIt,1 (其中C为常数),这与题设条件矛盾,假设不成立.所以X1(c)和x2(t)在区间【a,b】上线性无关. 收稿日期:2011-03-20 基金项目:2011年新世纪广西高等教育教学改革工程项目(2011JGB221);2010年柳州职业技术学院教学质量与教学改革工 程第三批A类立项项目(2010-A022) 作者简介:余惠霖(1953一),男,广东台山人,柳州职业技术学院公共基础部副教授,研究方向:数学教育与数学文化. 黄云凤(1957一),女,广西柳州人,柳州市第三中学高级教师,研究方向:数学教育与数学文化. 柳州职业技术学院2011年6月 定理2对于二阶变系数齐次线性微分万程 粤+p(t)+q(t)x=0(3) 若X(t)?0是方程(3)的一个解,则 1)方程(3)的另一个解为X2(x1(t)』edt.(4) 2)X1(t)和x2(t)线性无关,它们是方程(3)的一个基本解组. 3)方程(3)的通解为t)【c+c2』e.dt]’且包括了(3)所有解(c1’C2为任意 常 数).(5) 证明设x=x(t)?O是方程(1)的一个解,y=y(t),p=p(t),qq(t), 1)利用常数变易法,作变换X~Xly,经计算得 Xt=X 1Y+x1Y, Xt=x tyt+2x1’Y+x1,『y, 代入(3),整理得Xly”+2xIY+px1Y+(Xltt+px1+qx1)y0, 因为x=x(t)?0是方程(3)的解,所以上式化简为 xly+2xI,Y+px1Y0, 再作变换z=y,即y=}zdt,方程(1)降为一阶线性方程 XlZ+(2x1+px1)z0, 分离变量得:一一p,解得z:c1e一』 , ZX1’X. 1 I1一fOat 代回原变量得y=cfedt+c, X1 因而x:x(cl+f1e-jpdtdt)(c,c为任意常数)(5) X1 取:0,:1,得方程(3)的一个特解为x2(t):x(t)f.一Jdt. X1 2)因为』dt?常数c,由弓l理(t)和x2(t)线性无关,所(t)和x2(t)是方程 (3)的一个基本解组. 3)由定理1可得(5)是方程(3)的通解.且包括了(3)的所有解. 2应用举lI 例I已知x=re是方程Xtt_4tx+(4ta一2)x=O的?个解,求方程的另一特解及基本解组. 解由定理2 x2(t)-x1(? x 1 () - IP(~a’dt=te’:1 ej4dcdt 第11卷第3期余惠霖.黄云凤:二阶变系数齐次线性微分方程两个非零解的关系49 rotet:fe2dt=te’/吉dt=te(t一+c)(c为任意常数). 取c=O,得方程的一个特解为x2(t)=e.方程的基本解组为te,e. 例2已知x=cost~x,,+x,+x=009--+~,求方程的另一特解,并写出其通解. 解由定理2 x1(t)『士e_Jpdtdt:f乓ed x(t)tcos’ : J—e-21ntdt:I—t,dttCOS’ttCOS’t 一 _ — cos — tf—dt=三fsec2tdt TCOSt(tant+c)(c为任意常数). 取c=O,得方程的一个特解为x2(t)=COSt—tant=—sin— t . 方程的通解为x(t)crco t st+c , sin t t 一=, 1 t (c~cost+c2sint)(ct,c为任意常数). 例3已知x=e是方程tx”一2(1+t)x+(2+t)x=O的一个解,求方程的另 一特解及所有解. 解原方程化为x”一2(1+)x,+(1+)x=0, 由定理2 x2(t)=xt(? x1( 1 ) - fp(t)dtdt=et『1dt J1e2t+lnt2eJeeJ e(?t3+c)(c为任意常数). 取c0,得方程的一个特解为xz(t)了1t3e. 方程的通解为x(t)=clet+c2~-t’3et=clet+c3t3e(ct,c了1cz为任意常数). 根据定理2,所得通解包括了方程的所有解. 3二阶变系数非齐次线性微分方程的常数变易法 对于n阶变系数齐次线性微分方程 一 dnx+a~(t)+.-.+at)a d x t t)x:f(x)(6) 定理31?如果Xl(t),X2(t),…,x(t)是方程(1)的基本解组,蔓(t)是方程(6)的某一解,则方程 (6)的通解可表为X=ClX1(t)+c2)(2(t)+…+cn)【(t)+妄(t)(7) 其中C.,c,…,C是任意常数,且通解(7)包括了方程(6)的所有解. 定理3告诉我们.要求非齐线性方程的通解,只需知道方程对应的齐线性方程的基本解组,利 50柳州职业技术学院2011年6月 用常数变易法可求得非齐线性方程的一般解,从而得到方程的通解. 例4求方程Xn+卜t t Xt-- 1 t x=t-1的通解,已知它对应的齐线性方程基本解组为t,eto 解利用常数变易法,令x(t)=c(t)t+c.(t)et,代人方程,可得决定c,(t),c(t)的两个方程,由 +cz 【c1,(t)t+c2(t)et一1 解得c(t)=一1,C2(t)=te,, 积 所 分得C1(t)=一t+y1,C2(t)=一e’(c+1)+, 以方程的通解为x(t):t+~/2e-(ta+t+1)(,2为任意常数). 参考文献: [1】王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程[MJ.北京:高等教育出版社,1983:106—107 TheRelationshipbetweentheTwoNon-ZeroSolutions ofSecond—OrderVariousCoemdentsLinearDifferential YUHui一1in.HUANGYun—feng~ (1.LiuzhouVocational&TechnicalCollege,LiuzhouGuangxi545006, China;2.No.3middleSchool, LiuzhouGuangxi545001,China) Abstract:ThispaperexplorestherelationshipbetweenthetwOnon——zeros olutionsofsecondordervarious coe伍 cientslineardifferentialequation.Theequationofonesolutionandgeneralsolut order ionforsecond— variouscoefficientshomogeneoushneardifferentialequationscanbededuced.Thepaperintroducesthe so1vingmethodofsecond-ordervariouscoe伍 cientslineardifferentialequation. Keywords:VariousCoefficients,LinearDifferentialEquations,SpecificSolution,GeneralSolution. (上接第46页) ThePerturbationAnalysisofEvolutionalFrequenciesabout LinkedGenesinRandomlyMatingPopulation CHENQi (LiuzhouVocational&TechnicalCollege,LiuzhouGuangxi545006,China) Abstract:ThispaperconstructsamathematicalmodeloffourkindsofgenesPB(n),Pb(n),PB(n),Pb(n)fora^a changeineachgenerationbydifferencesystem.Byusingadistancenormin4一dimentionallinearspaces ll(P.A(n), P:(n),P(n),P:(n))『l=lp:(n)I+fPA(n)”31-a,(n)l+lP:(n)I一 1,itisproVedthatnextn.ITI1 willbebiggerasanykindoffourkindsofgenefrequenciesperturbs. Keywords:genefrequency;linkage;breeding;differencesystem