六年级奥数举一反三26--30

六 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 奥数举一反三26--30 第26周 加法、乘法原理 例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1: 小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念(不考虑站的顺序)，共有多少种不同的拍照 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 , 练习1: 1、4个好朋友在旅游景点拍照留念(不考虑站的顺序)，共有多少种不同的拍照方法, 2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少种不同的三位数, 3、有1克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少种不同质量的物体,(砝码都放在右盘) 例题2: 从北京到天津的列车中途要经过4个站点，这列列车从北京到天津要准备多少种不同的车票, 练习2: 1、一列列车从甲地到乙地要经过5个站点，这列列车从甲地到乙地要准备多少种不同的车票, 2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场, 3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁, 例题3: 在4×4的方格图中(如右图)，共有多少个正方形, 练习3: 1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形, 2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形, 3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形, 例题4: 从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数,其中有多少个真分数, 练习4: 1、从1，3，5，7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数,其中有多少个真分数, 2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数,其中有多少个真分数, 3、从2，3，7，11，13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数,其中有多少个真分数, 例题5: 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数, 练习5: 1、用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数, 2、如右图所示:A、B、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。如果要求相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法, 3、用6，3，0，5，9这五个数字可能组成多少个不同的三位数,用6，3，0，5，9这五个数字可以组成多少个不同的三位数,用6，3，2，5，9这五个数字可以组成多少个不同的三位数? 第27周 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积与体积(一) 专题简析: 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因 此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点: (1)充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 (2)把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 (3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 例题1: 从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少, 这是一道开放题，方法有多种: ?按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 图27--1 ?按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。 图27--2 ?按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。 图27--3 练习1: 1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少, 2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米, 3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化, 例题2: 把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。 图27—4 要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。 从上往下看从左往右看从前往后看 图27—5 而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用(S上+S左+S前)×2来计算。 (3×3×9+3×3×8+3×3×10)×2 =(81+72+90)×2 =243×2 =486(平方厘米) 答:这个立体图形的表面积是486平方厘米。 练习2: 1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。 图27—6 2、一堆积木(如图27-7所示)，是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米, 3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米, 例题3: 把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米, 把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。 (9×9+9×4+7×4)×2×2—9×7×2 =(63+36+28)×4—126 =508—126 =382(平方厘米) 答:这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。 练习3: 1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少, 2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。 3、用6块(如图27-8所示)长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米, 3厘米1厘米 2厘米 例题4: 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。 我们知道:体积=长×宽×高;由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40?2=20(平方厘米);由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90?3=30(平方厘米);由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96?4=24(平方厘米)。而长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2=(20+30+24)×2=148(平方厘米)。即 40?2=20(平方厘米) 90?3=30(平方厘米) 96?4=24(平方厘米) (30+20+24)×2 =74×2 =148(平方厘米) 答:原 长方体的表面积是148平方厘米。 练习4: 1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米;如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米;如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米, 2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米, 3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少, 宽 长 高 例题5: 如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1 =3.14×(4.5+3+2+1) =3.14×10.5 =32.97(平方米) 答:这个物体的表面积是32.97平方米。 练习5: 1、一个棱长为40厘米的正方体零件(如图27-11所示)的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。 2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件(单位:厘米)，需用铁皮多少平方厘米, 3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积(?取3.14)。 答案: 练1 1、 切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增 加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。 2、 4×4×6,2×2×2,92平方厘米 233、 中心挖去的洞的体积是:1×3×3,1×2,7立方厘米，挖洞后木块的体积: 3223,7,20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是1×4,1,3平方厘米， 2挖洞后木块的表面积:(3+3)×6,72平方厘米。 练2 1、 从三个不同的方向看，得到图答27,1: 从上往下看 从前往后看 从左往右看 (1×1×12+1×1×8+1×1×7)×2,54平方厘米 2、 (2×2×9+2×2×9+2×2×7)×2,200平方厘米 3、 因为64,4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大 正方体的表面积是小正方体的4×4,16倍，小正方体的表面积是:384?16 ,24平方厘米 练3 1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30?6,15平方厘米，拼成 大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30?6,15平方厘 米，所以大长方体的表面积是30+30+6,35平方厘米。 2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有 如图答27,2两种:表面积都是(3×3+3×4×2)×2,66平方厘米。 23、设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x平 22方分米。其余的面积为2x平方分米，根据题意，大长方体的表面积是:8x+8 2×2x,600 x,5 大长方体的体积是:5×5×2×5,250立方分米 练4 1、 (48?2+65?5+96?4)×2,122平方厘米 2、 减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的 面积之和。把两个合并起来，用120?(2+3),24厘米，求到正方体底面 ,6厘米。圆长方体的体积是:6×6×的周长，正方体的棱长就是24?4 (6+3+2),396立方厘米 3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×(宽+高)，209, 11×19，所以长,11，宽+高,19，或长,19，宽+高,11，根据题意，宽 和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2,374 练5 21、 40×6+3.14×4×10×2,9651.2平方厘米 2、 用两个同样的工件可拼成图答27,3的圆柱体。 3.14×15×(46+54)?2,2355平方厘米 42223、 立方体的表面积和是:6×10,4×4,2×3.14×( ),510.88平方厘米 2 打洞后增加的面积是: 4223.14×4×(10,4)+4×(10,4)×4×2+4×2,3.14×( )×2,274.242平方厘米 表面积是:510.88+274.24,785.12平方厘米 43232体积是:10,4×10×2+4,3.14×( )×(10,4),668.64平方厘米 2 第28周 表面积与体积(二) 例题1: 有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米, 练习1: 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米, 2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长(精确到0.1厘米), 3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体(不计损耗)，求这个大正方体的体积 例题2: 一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米, 练习2: 1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米(?取3), 2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积市2平方里。在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米, 3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长 100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。现在把铁棍轻轻地向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米 例题3: 某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积(如图28-1所示)。 练习3: 1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。 、一个正方体的纸盒中如图28-2所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘2 米的圆柱体。纸盒的容积有多大(?取3.14), 3、如图28-3所掷，圆锥形容器中装有3升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。这个容器还能装多少水, 例题4: 如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法,怎样打包物体的表面积最小呢, a c b 图28—4 练习4: 1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法,怎样打包，物体的表面积最小, 2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理,为什么, 3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10 包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装,算一算需要多少包装纸(包转念能够纸的重叠部分忽略不计)。你认为哪一种包装比较合理, 例题5: 一只集装箱，它的内尺寸是18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱, 练习5: 1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块, 2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米, 3、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米, 第二十九 周 抽屉原理(一) 专 题 简 析: 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条:(1)如果把x+k(k?1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。(2)如果把m×x×k(x,k?1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”,哪些是“元素”,然后按以下步骤解答:a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入(或取出)抽屉。C、说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第(1)条原理及其应用。 例题1: 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天,为什么, 把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。 平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。 练习1: 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么, 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天, 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生, 例题2: 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是:有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本), 首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8(个)学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。 买书的类型有: 买一本的:有语文、数学、外语3种。 买二本的:有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的:有语文、数学和外语1种。 3+3+1=7(种)把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。 练习2: 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是:有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本), 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种, 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的, 例题3: 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的, 把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有 5+2+2=9(只) 答:最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。 练习3: 1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的, 2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问:最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的, 、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子，3 最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子, 例题4: 任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么, 一个自然数除以4的余数只能是0，1，2，3。如果有2个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。 一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，3，所以，把这4种情况看做时个抽屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。所以，任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。 练习4: 1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么, 2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数, 3、证明在任意的(n+1)个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。 例题5: 能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同, 由图29-1可知:所有空格中只能填写1或2或3。因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×5=5，最大是3×5=15。从5到15共有11个互不相同的整数值，把这11个值看承11个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5，最大是15，从5到15共有11个互不相同的整数值。而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个，所以，这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 练习5: 1、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同,为什么, 2、证明在8×8的方格表的每个空格中，分别填上3，4，5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。 3、在3×9的方格图中(如图29-2所示)，将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么, 答案: 练1 1、 1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。 2、 2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。 3、 一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽屉 中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。 练2 1、 买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买4本的有一种，共有4+6+4+1,15种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。 2、 从三周图书种任意借2本，只有6种情况。要保证有两个所借的图书属于同一种，至少要7个学生。 3、 玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取出4只珠子。 练3 1、 思路同例3，最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。 2、 把三种颜色看作3个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出4只袜子，这时拿出1双同色的后，3个抽屉中还剩2只袜子。以后，只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同色的，最少要摸4+2+2,8只袜子。 3、 袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出8只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少要拿出8+3,11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。 练4 1、 一个自然数除以5的余数可能是0、1、2、3、4，把这5种情况看做5个抽 屉，6个不同的自然数放入这5个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这 两数的余数是相同的，所以它们的差一定是5的倍数。 2、 一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7，把这8种情况看做 8个抽屉，要保证至少有两个数的差是8的倍数，就要保证至少有1个抽屉 里有两个数，根据抽屉原理，要取9个不同的自然数，才能保证至少有两个 数的差是8的倍数。 3、 一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、„..n,1，把这n种情况看作 n个抽屉，把(n+1)个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两 个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。 练5 1、 不可能。因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6，最大是18。 从6到18共有13个不同的整数值，而6行、6列及两条对角线上的各个数 的和共有14个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 2、 因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24，最大是40。从24 到40共有17个互不相同的整数值，而8行、8列及两条对角线上的各个数 的和共有18个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 3、 每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列3个方格的土色就有2×2 ×2,8种不同情况，把这8种情况看做8个抽屉，根据抽屉原理，9列中至 少有两列的土色方式是相同的。 第三十周 抽屉原理(二) 专 题 简 析: 在抽屉原理的第(2)条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式: 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是0，则最小数=商+1;如果余数正好是0，则最小数=商。 例题1: 幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具, 把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=120×3+4，4,120。根据抽屉原理的第(2)条规则:如果把m×x×k(x,k?1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。 练习一: 1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具, 2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么, 3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球, 例题2: 布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样, 把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第(2)条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9(个)球。列算式为 (3—1)×4+1=9(个) 练习二: 1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球, 2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块, 、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。至3 少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同, 例题3: 某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同, 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1=15(种)类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46=3×15+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。 练习三: 1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同, 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同, 3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问:在31个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同, 例题4: 从1至30中，3的倍数有30?3=10个，不是3的倍数的数有30—10=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。 练习四: 1、在1，2，3，„„49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除, 2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数, 3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数, 例题5: 将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明:找少有七名同学得到的卡片的张数相同。 这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，„„，11张可片看做11个抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需 1+2+3+„„+10+11=66(张)卡片。而400?66=6„„4(张)，即每个周体都有6个元素，还余下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。 练习五: 1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。证明:无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。 2、把61颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明: 至少有5个格子中的棋子数目相同。 3、汽车8小时行了310千米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。证明:一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米。 答案: 练一 1、把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125,3× 40+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以 肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。 2、把三个笔盒看做3个抽屉，因为16,5×3+1，根据抽屉原理可以至少有一个 笔盒里的笔有6枝或6枝以上。 3、把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少 应比抽屉个数的(7,1)倍多1，而25,4×(7,1)+1，所以最多方子4 个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。 练二 、最少应取出(3,1)×5+1,11个球 1 2、至少取出(4,1)×3+1,10块木块。 3、如果没有两张王牌，至少要取(4,1)×13+1,40张，再加上两张王牌，至 少要摸出40+2,42张，才能保证其中必有4张牌点数相同。 练三 1、小学六年中最多有2个闰年，共366×2+365×4,2191天，因为13170,6× 2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。 2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参 加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1种 类型。把4+6+4+1,15种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉， 因为46,15×3+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。 3、全班订阅报刊的类型共有3+3+1,7种，因为37,5×7+2，所以其中至少有 6位学生订的报刊相同。 练四 1、在1,50中，5的倍数有50?5,10个，不是5的倍数的就有50,10,40个， 至少要取出40+1,41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。 2、在1,120中，4的倍数有120?4,30个，不是4的倍数有120,30,90个， 正是要取出90+1,91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。 3、差是5的两数有下列5组:1、6，11、16，21、26，31、36;2、7，12、17， 22、27;3、8，13、18，23、28、33;4、9，14、19，24、29，34;5、10， 15、20，25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数，最多只 能从每组中各取1个数，即最多可以取5个数。 练五 1、把11秒钟看做11个抽屉，把100米看作100个元素，因为100,9×11+1， 所以必有1个抽屉里超过9米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过9米。 2、如图答30,1，把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角形。 把它看作4个抽屉，5个点看作5个元素，则一定有一个小三角形内有2个 点，这2个点之间的距离不超过1。 3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条，余下一个50×40的长方形，它的面积为2000平方厘米，再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆，若剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形中就 2能放进一个以这点为圆心的圆。因为,×3×70的值就小于630×3.15,1984.5,2000，所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。