正面出击更易，又何须求反呢？
正面出击更易，又何须求反呢,
中学数学研究2006年第3期
整理得=一?,因为点Q
在椭圆上,所以拿+喾=1,
即卜y
62,
2
入?得:.=,
?
.
.<.b,
"^~
?
2
3
ab2?6
,即c?2口6,
则??
?,整理得3e4+4e2-4?0,
1,所以?e<1.
解法二:设短轴的一端点为M,椭圆的中 心为0,要使椭圆上存在一点Q,使AQB= 120.,利用椭圆的性质2,则/AMB?120.,那 么/AMO?60.,i~LAMO<90.,IItan.x;在 [60.,90.)上是增函数,tanLAMO>~,所以在 R?A中,劬一=南
志e?譬,又因为椭圆的率
解得?,又因为椭圆的离心率.<<.<e<1,所以?e<1.
正面出击更易,又何须求反呢?
江西省永丰二中(331500)曾庆发陈英潮 在高中很多数学资料及报刊杂志上,常出 现一类有关利用"补集思想"解题的范例,即通 过两次否定实现一次肯定的解题目的.对于这 类问题,笔者认为应该视问题的具体条件而选 择更适合的方法去解题,才能真正体现数学思 想与方法的独特和妙用.
下面将列举几例来说明:从条件本身的正 面推理而得出问题的结果,此举其实更容易,更 简单,则在此情况下,解题又何须求反呢?而下 文所举的例子,常被诸多同行们用来作为"正难 则反"的范例广泛流行于各类书报上;笔者认为 无须舍近而求远,即从正面出发就能轻松,快捷 地使问题获解.
例1若二次函数f(.27)=4z—2(p一2) ?z一2p一p+1在区间[一1,1]内至少存在一 点c,使f(c)>0,求实数p的取值范围. 解:由于f(.27)是开口向上的抛物线,经分 析不难发现,使问题成立的充要条件为:f(一 1
1)>0,或f(1)>0=>一寺<p<1,或一3<p<
寻,即一3<p<导,为所求p的取值范围. 例2已知抛物线=.27+4ax一4a+3, =
.
27+(a一1)x+a,=.27+2ax一2a中至
少有一条与.27轴相交,求实数a的取值范围.
解:依题意抛物线的图象至少有一条与.27 轴相交的充要条件为:?1?0;或?2?0;或?3 ?0学"口?一号或口?丢";或"一1?口?号"; 或"口?一2或口?0",取并集得:{口I口?一寻 或口?1}为所求.
例3已知两函数:1=.27+2az一(1一
)口+,2=.27+2z+3口,求证:不论口取
怎样的实数,这两函数的图象至少有一个位于 .
27轴的上方.
证明:由于两函数的图象均为开口向上的 抛物线,它们的图象至少有一个位于.27轴上方 的充要条件为:?1<0;或?2<0铮一1<口<
,或I口I>,取并集得:口?R,即命题获证. ?
43?
2006年笫3期中学数学研究
通过上述几例,我们看到正面处理这类问 题的确简单,实效.由上述例题的求解给我们以 启示:在解题时,只要我们认真分析题意,灵活 驾驭所学知识和方法,善于抓住问题的本质特 征,就一定能使一些看似复杂的问题迎刃而解; 有时我们也要转变一些旧观念,打破传统的思 维定势习惯,改变一下思维方式,换一个角度去 重新思考并仔细推敲……这时,你往往就会有 惊奇地发现:问题其实就这么简单!
补集法解不等式易忽视的三个问题
安徽省临泉一中(236400)王峰
对于某些不等式的求解问题,如果从正面 入手较复杂,而问题的反面求解较易,则我们不 妨先求解问题的反面,即先求出使原不等式的 反面不等式的解集,然后再求出此集合在确定 的全集中的补集即为所求.这种"正难则反"的 解题策略称为"补集法".此法在处理不等式问 题时显得十分方便,但是笔者在教学中发现学 生在运用补集法求解不等式问题时易出现一些 不易觉察的错误,结果导致错解发生.为了引起 大家的注意,使学生更有效地运用补集法解题, 本文就易忽视的问题给予指出.
例解不等式:~/2z+5>z+1. 易错点1:忽视了全集的选取
错1鼻:因为">"的否定为"?",所以不等武 ~/2z+5>z+1解集的补集就是不等式 ,/厂?z+1的解集,又v厂?z+1国
fz+1?0,
_{2z+5?0,x?2,故知原不等式的
【2x+5?(z+1),
解集为{zJz<2}.
易错点2:忽视了使不等式无意义的情况. 错解:设全集为R,A={zJ丽>z ,,
十1},则:{zJ,/?z+1}={zJz?
2},故知原不等式的解集为{zIz<2}. 易错点3:忽视了补集是全集的子集. 镭解:设全集U={zl2x+5>fo}:{zlz
?
44?
?一寻},A={zlv/2~x+5>z+1},则【4=厶 {zI~/干?z+1}={zIz?2},故A={zI z<2}.
剖析错因:对有些数学问题,若用补集法处 理,必须首先确定全集,并且全集的确定有时并 不唯一,因此一个集合的朴集是什么,与全集的 选取患息相关,也就是说同一个集合在不同的 全集中的补集是不同的.而错解1就是忘了全 集的确定而导致了错解的发生.即使将全集默 认为R,但解答过程仍是错误的;错解2虽然明 确了全集为R,但是犯了以偏概全的错误,因 为使不等式v"2-~+5>z+1中式子,/,无 意义的z值不是不等武,/,>z+1的解, 由补集的定义知,这类z值应是{zJ~/r >z+1}在R中补集中的元素,而错解2却忽 视了这种特殊情况,因而解答是错误的;由补集 的定义知,一个集合的补集一定是它所在全集 的子集,而错解3却忽略了这一事实而致误的. 综上分析可知运用补集法解不等式,/,> z+1的正解如下:
正解1:设A:{zJ2v"2~+5>z+1},则
=
{zJ~/2z+5?x+1}U{zJ2z+5<0} C
{xlz?2}U{zIz<一詈},故原不等式的解 C
集为{zI一?z<2}.
本文档为【正面出击更易，又何须求反呢？】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483