椭圆的第一定义

椭圆的第一定义 值得拥有的资料 是来自平时学习积累总结的 有问题的地方肯定有的 还请大家批评指正～ 椭圆的第一定义 tuǒyuán 平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭 圆 即:?PF?+?PF'?=2a 其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点 两焦点的距离?FF'?叫做椭圆的焦距 椭圆的第二定义 平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率 e=c/a)的点的集合(定点F不在定直线上 该常数为小于1的正数) 其中定点F为椭圆的焦点 定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=?a^2/c或者y=?a^2/c) 椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点 连线的斜率之积是定值可以得出:平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动 点的轨迹是椭圆 此时k应满足一定的条件 也就是排除斜率不存在的情况 切线与法线的几何性质 定理1:设F1、F2为椭圆C的两个焦点 P为C上任意一点 若直线AB切椭圆C于点P 则?APF1=?BPF2 定理2:设F1、F2为椭圆C的两个焦点 P为C上任意一点 若直线AB为C在P点的法线 则AB平分?F1PF2 上述两定理的证明可以查看参考资料 计算机图形学约束 椭圆必须一条直径与X轴平行 另一条直径Y轴平行 不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线 标准方程 高中课本在平面直角坐标系中 用方程描述了椭圆 椭圆的标准方程中的"标准"指的是中心在原点 对称轴为坐标轴 椭圆的标准方程有两种 取决于焦点所在的坐标轴: 1)焦点在X轴时 标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) 2)焦点在Y轴时 标准方程为:x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0) 其中a>0 b>0 a、b中较大者为椭圆长半轴长 较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴 对称 F点在Y轴 轴被椭圆所截 有两条线段 它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时 焦点在x轴上 焦距为2*(a^2-b^2)^0.5 焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c c为椭圆的半焦距 又及:如果中心在原点 但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时 方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0 n>0 m?n) 既标准方程的统一形式 椭圆的面积是πab 椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸 它的参数方程是:x=acosθ y=bsinθ 标准形式的椭圆在(x0 y0)点的切线就是 : xx0/a^2+yy0/b^2=1 lk一般方程 Ax^2;+Bxy+Cy^2;+Dx+Ey+F=0 (A.C不为0) 公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式 有积分式或无限项展开式 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和 如 L = ?[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)2)dt?2π?((a2+b2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭 圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的 距离之比 设椭圆上点P到某焦点距离为PF 到对应准线距离为PL 则 e=PF/PL 椭圆的准线方程‎‎ x=?a^2/c 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a2/C)的距 离,数值=b2/c 椭圆焦半径公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间 的距离 数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系 点M(x0 y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内: x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上: x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外: x0^2/a^2+y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ? x^2/a^2+y^2/b^2=1 ? 由??可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切?=0 相离?<0无交点 相交?>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = ?(1+k^2)|x1-x2| = ?(1+k^2)(x1-x2)^2 = ?(1+1/k^2)|y1-y2| = ?(1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆的斜率公式 过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(x y)的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y 椭圆焦点三角形面积公式 若?F1PF2=θ, 则S=b^2tanθ/2 椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时 用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 x=a×cosβ y=b×sinβ a为长轴长的一半 相关性质 由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆 所以它属于一种圆锥截线 例如:有一个圆柱 被截得到一个截面 下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义): 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压 它们碰到截面的时候停止 那么会得到两个公共点 显然他们是截面与球的切点 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P 过P做圆柱的母线Q1、Q2 与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2 所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知:截面是一个椭圆 且以F1、F2为焦点 用同样的方法 也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆 例:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为?6/3 短轴一个端点到右焦点的距离为?3. (1)求椭圆C的方程. (2)直线l:y=x+1与椭圆交于A B两点 P为椭圆上一点 求?PAB面积的最大值. (3)在(2)的基础上求?AOB的面积. 一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a 端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义) 可知a=?3 又c/a=?6/3,代入得c=?2 b=?(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1 二 要求面积 显然以ab作为三角形的底边 联立x^2/3+y^2/1=1 y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有?(1+k^2))[x2-x1](中括号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 绝对值)弦长=3?2/2,对于p点面积最大 它到弦的距离应最大 假设已经找到p到弦的距离最大 弦的平行线 过p做 可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大 这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率= 设y=x+m,利用判别式等于0 求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5), 三 直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的?2/2,面积1/2*?2/2*3?2/2=3/4, 历史 椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴 把椭圆转动180度形成的立体图形 其外表面全部做成反射面 中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截 面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜) 老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明) 关于圆锥截线的某些历史:圆锥截线的发现和研究起始于古希腊 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究 而且都有专著论述其几何性质 其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥曲线论》集其大成 可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作 当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究 乃是纯粹从几何学的观点 研讨和圆密切相关的这种曲线;它们的几何乃是圆的几何的自然推广 在当年这是一种‎‎纯理念的探索 并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色 此事一直到十六、十七世纪之交 Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道 乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆 Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破 它不但开创了天文学的新纪元 而且也是牛顿万有引力定律的根源所在 由此可见 圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物 它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一 椭圆手工画法 (1):画长轴AB 短轴CD AB和CD互垂平分于O点 (2):连接AC (3):以O为圆心 OA为半径作圆弧交OC延长线于E点 (4):以C为圆心 CE为半径作圆弧与AC交于F点 (5):作AF的垂直平分线交CD延长线于G点 交AB于H点 (6):截取H G对于O点的对称点H' G' (7):H H'为长轴圆心 分别以HB、H'A为半径;G G'为短轴原心 分别以GC、G'D为半径 用一根线或者细铜丝,铅笔,2个图钉或大头针画椭圆的方法:先画好长短轴的十 字线,在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点,一个点先用图钉或者打头 针栓好线固定住,另一个点的线先不要固定,用笔带住线去找长短轴的4个顶点,此步 骤需要多次定位,直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点,用笔带住线,直接画出 椭圆:)使用细铜丝最好,因为线的弹性较大画出来不一定准确! 椭圆的简单性质 椭圆的俩长顶点与一短顶点所成的角大于椭圆上任一点与俩长顶点的连线 手绘椭圆方法二 (mayue)椭圆的焦距?FF'?(Z)定义 为已知椭圆所构成的长轴X(ab)与短轴Y(cd)则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径 画弧 从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距 求证公式为2?{(Z/2)^2+(Y/2)^2}+Z=X+Z(平面内与两定点F、F'的距离的和等于常 数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆) 可演变为z=?x^2-y^2(x>y>0) Z两端点F、F'为定点 取有韧性切伸缩系数越小越好的线 环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度 以该长度为固定三角形周长 以F、F' 为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆 Ellipse()函数 函数功能:该函数用于画一个椭圆 椭圆的中心是限定矩形的中心 使用当前画笔画椭圆 用当前的画刷填充椭圆 函数原型:BOOL Ellipse(HDC hdc, int nLeftRect, int nTopRect, nRightRect, int nBottomRect). 参数: hdc:设备环境句柄 nLeftRect:指定限定矩形左上角的X坐标 nTopRect:指定限定矩形左上角的Y坐标 nRightRect:指定限定矩形右下角的X坐标 nBottomRect:指定限定矩形右下角的Y坐标 返回值:如果函数调用成功 返回值非零;如果函数调用失败 返回值是0 双曲线 定义:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称 为双曲线 定义1: 平面内 到两个定点的距‎‎离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离[1])的点的轨 迹称为双曲线 定义2:平面内 到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常 数的点的轨迹称为双曲线 定义3:一平面截一圆锥面 当截面与圆锥面的母线不平行 且与圆锥面的两个圆锥都相交时 交线称为双曲线 定义4:在平面直角坐标系中 二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时 其图像为双曲线 1. a,b,c不都是0 2. b^2 - 4ac > 0 在高中的解析几何中 学到的是双曲线的中心在原点 图像关于x y轴对称的情形 这时双曲线的方程退化为:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 上述的四个定义是等价的 重要概念和性质 以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质 双曲线有两个分支 在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点 定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点 双曲线有两个焦点 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线 在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比 称为该双曲线的离心率 双曲线有两个焦点 两条准线 (注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线 但是给定同侧的一个焦点 一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支 而两侧的焦点 准线和相同离心率得到的双曲线是相同的 ) 双曲线与两焦点连线的交点 称为双曲线的顶点 双曲线有两条渐近线 ?双曲线的简单几何性质 1、轨迹上一点的取值范围:x?a,x?-a(焦点在x轴上)或者y?a,y?-a(焦点在 y轴上) 2、对称性:关于坐标轴和原点对称 3、顶点:A(-a,0) A'(a,0) 同时 AA'叫做双曲线的实轴且?AA'?=2a. B(0,-b) B'(0,b) 同时 BB'叫做双曲线的虚轴且?BB'?=2b. 4、渐近线: 焦点在x轴:y=?(b/a)x. 焦点在y轴:y=?(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时 表示双曲线 其中p为焦点到准线距离 θ为弦与X轴夹角 令1-ecosθ=0可以求出θ 这个就是渐近线的倾角 θ=arccos(1/e) 令θ=0 得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI 得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标 求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) x=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 (注意化简一下) 直线ρcosθ=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 是双曲线一条对称轴 注意是不与曲线‎‎相交的对称轴 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程 设旋转后的角度是θ' 则θ'=θ-【PI/2-arccos(1/e)】 则θ=θ'+【PI/2-arccos(1/e)】 带入上式: ρcos{θ'+【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 即:ρsin【arccos(1/e)-θ'】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 现在可以用θ取代式中的θ'了 得到方程:ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中 设M(x,y)是双曲线在第一象限的点 则 y=(b/a)?(x^2-a^2) (x>a) 因为x^2-a^2< a?x^2="bx/a" a)?(x^2-a^2) a> 即y< 所以 双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此 5、离心率: 第一定义: e=c/a 且e?(1 +?). 第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离?PF? 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点(?PF?)/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e 6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离) 左焦半径:r=?ex+a? 右焦半径:r=?ex-a? 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=?2 这时渐近线方程为:y=?x(无论焦点在x轴还是y轴) 8、共轭双曲线 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时 称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线 几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点:(1)共渐近线 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线: 焦点在x轴上:x=?a^2/c 焦点在y轴上:y=?a^2/c 10、通径长:(圆锥曲线(除圆外)中 过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 12、弦长公式: d = ?(1+k^2)|x1-x2| = ?(1+k^2)(x1-x2)^2 = ?(1+1/k^2)|y1-y2| = ?(1+1/k^2)(y1- y2)^2 推导如下: 由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式:|AB| = ?[(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 ] 稍加整理即得: |AB| = |x1 - x2|?(1 + k2) 或 |AB| = |y1 - y2|?(1 + 1/k2) ?双曲线的标准公式与反比例函数 Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) X^2/a^2 - 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ? 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴 y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a (a?0,顺时针) (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (?2/2 x + ?2/2 y)^2 -(?2/2 x - ?2/2 y)^2 = 4 (?2/2 x) (?2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得 反比例函数其实‎‎就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆 放形式. ?双曲线焦点三角形面积公式 若?F1PF2=θ, 则S?F1PF2=b^2;?cot(θ/2) ?例:已知F1、F2为双曲线C:x^2;-y^;=1的左右焦点 点P在C上 ?F1PF2=60? 则P到x轴的距离为多 少, 解:由双曲线焦点三角形面积公式得S?F1PF2=b^2;?cot(θ/2)=1×cot30? 设P到x轴的距离为h 则S?F1PF2=1/2×F1F2×h=1/22?2×h=?3 h=?6/2 抛物线 定义 平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称 之为抛物线 且定点F不在直线上另外 , F 称为"抛物线的焦点" l 称为"抛物线的准线" 定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0. 以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥 可得一个圆 如果倾斜这个平面直至与其一边平行 就可以做一条抛物线 标准方程 抛物线的标准方程有四个: 右开口抛物线:y^2=2px 左开口抛物线:y^2= -2px 上开口抛物线:x^2=2py 下开口抛物线:x^2= -2py p为焦准距(p>0) 在抛物线y^2=2px中 焦点是(p/2 0) 准线l的方程是x= -p/2; 在抛物线y^2= -2px 中 焦点是( -p/2 0) 准线l的方程是x=p/2; 在抛物线x^2=2py 中 焦点是(0 p/2) 准线l的方程是y= -p/2; 在抛物线x^2= -2py中 焦点是(0 -p/2) 准线l的方程是y=p/2; 相关参数 (对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1 焦点:(p/2 0) 准线方程l:x=-p/2 顶点:(0 0) 通径:2P ;定义:圆锥曲线(除圆外)中 过焦点并垂直于轴的弦 定义域(X?0) 值域(Y?R) 解析式求法 以焦点在X轴上为例 知道P(x0 y0) 令所求为y^2=2px 则有y0^2=2px0 ?2p=y0^2/x0 ?抛物线为y^2=(y0^2/x0)x 光学性质 经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴 面积和弧长公式 面积 Area=2ab/3 弧长 Arc length ABC =?(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+?(b^2+16a^2 ))/b) 其他 抛物线:y = ax^2 + bx + c (a?0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以(x-h)的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0 y0点的切线就是 :yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 对称性解题 我们知道 抛物线y = ax^2 + bx + c ( a ?0 )是轴对称图形 它的对称轴是直线x = - b/ 2a 它的顶点在对称轴上 解决有关抛物线的问题时 若能巧用抛物线的对称性 则常可以给出简捷的解法 例1 已知抛物线的对称轴是x =1 抛物线与y轴交于点(0 3) 与x轴两交点间的距离为4 求此抛物线的解析式 分析 设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c 若按常规解法 则需要解关于a、b、c的三元一次方程组 变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性 解法就简捷了 因为抛物线的对称轴为x =1 与x轴两交点间的距离为4 由抛物线的对称性可知 它与x轴交于A(-1 0)、B(3 0)两点 于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3) 又因为抛物线与y轴交于点(0 3) 所以3 = -3a 故a =-1 ?y = -(x+1)(x-3) 即 y = - x^2 + 2x +3 例2 已知抛物线经过A(-1 2)、B(3 2)两点 其顶点的纵坐标为6 求当x =0时y的值 分析 要求当x =0时y的值 只要求出抛物线的解析式即可 由抛物线的对称性可知 A(-1 2)、B(3 2)两点是抛物线上的对称点 由此可知 抛物线的对称轴是x = 1 故抛物线的顶点‎‎是(1 6) 于是可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 6 因为点(-1 2)在抛物线上 所以4a + 6 = 2 故a = -1 ?y = -(x-1)^2+ 6 即 y = - x^2 + 2x +5 ?当x =0时 y = 5 例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4 与y轴交于点C 其顶点为(-1 4) 求?ABC的面积 分析 要求?ABC的面积 只要求出点C的坐标即可 为此 需求出抛物线的解析式 由题设可知 抛物线的对称轴是x = -1 由抛物线的对称性可知 A、B两点的坐标分别为(-3 0)、(1 0) 故可设抛物线的解析式为y = a(x+1)^2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)] ?点(1 0)在抛物线上 ?4a + 4 = 0 ?a = -1 ?y = -(x+1)2+ 4 即 y = - x2 - 2x +3 ?点C的坐标为(0 3) ?S?ABC = 1/2×(4×3)= 6 例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4 与y轴交于点B 与x轴交于C、D两点 且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根 求四边形ABCD的面积 分析 要求四边形ABCD的面积 求出A、B两点的坐标即可 为此 要求出抛物线的解析式 由题设可知 C、D两点的坐标分别为(-1 0)、(3 0) 由抛物线的对称‎‎性可知 抛物线的对称轴是x = 1 故顶点A的坐标是(1 4) 从而可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)] ?点(-1 0)在抛物线上 ?4a + 4 = 0 故a = -1 ?y = -(x-1)^2+ 4 即 y = - x^2 + 2x +3 ?点B的坐标为(0 3) 连结OA + S?AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9 则S四边形ABCD = S?BOC + S?AOB 相关结论 过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A (x1,y1) B(x2,y2),有 ? x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = -P^2,要在直线过焦点时才能成立 ? 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ? (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P ?若OA垂直OB则AB过定点M(2P 0) ?焦半径:|FP|=x+p/2 (抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离) ?弦长公式:AB=?(1+k^2)*?x2-x1? ??=b^2-4ac ??=b^2-4ac>0有两个实数根 ??=b^2-4ac=0有两个一样的实数根 ??=b^2-4ac<0没实数根 ?由抛物线焦点到其切线的垂线 是焦点到切点的距离 与到顶点距离的比例中项 定义解题 例:已知F是抛物线y^2=4x的焦点 A(3 2)是一个定点 P是抛物线上的动点 求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标 解:设抛物线的准线为L 过P作PH?L 垂足为H 再过A点作AH'?L 垂足为H' 并交抛物线于P' 连结P'F 则: |PA|+|PF|=|PA|+|PH|?|AH'|=|P'A|+|P'H|=|P'A|+|P'F| 所以 |PA|+|PF|的最小值是|AH'| 而准线方程x=-1 故|PA|+|PF|的最小值是4 此时 P'的坐标是(1 2)