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因式分解的常用方法
因式分解的常用方法 一、提公因式法.
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:
22222 (1)a-b=(a+b)(a-b); (2)a?2ab+b=(a?b);
33223322 (3)a+b=(a+b)(a-ab+b); (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)( 下面再补充两个常用的公式:
2222 (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);
333222 (6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
222abcabbcca，，,，，abc，，例.已知是的三边，且， ,ABC
则的形状是( ) ,ABC
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式: am，an，bm，bn
2ax,10ay，5by,bx例2、分解因式:
2xy,x,y，1a,ab，ac,bc练习:分解因式1、 2、
(二)分组后能直接运用公式
22例3、分解因式: x,y，ax，ay
22222练习:分解因式3、 4、 x,x,9y,3yx,y,z,2yz
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
2直接利用公式——进行分解。 x，(p，q)x，pq,(x，p)(x，q)特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
1
223xxa，，例.已知0,?5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，aa
求符合条件的. a
2解析:凡是能十字相乘的二次三项式，都要求 是一,,,bac4
a,1个完全平方数。于是为完全平方数， ,,,98a
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
222x，14x，24a,15a，36x,10x,24练习(1) (2) (3)
2ax，bx，c(二)二次项系数不为1的二次三项式—— 条件:(1) a,aaac1211
(2) c,ccac1222
(3) b,ac，acb,ac，ac122112212ax，bx，c分解结果:= (ax，c)(ax，c)112223x,11x，10例分解因式:
2210x,17x，3练习(3) (4) ,6y，11y，10
2222思考:分解因式: abcx，(ab，c)x，abc
五、换元法。
22例13、分解因式(1) 2005x,(2005,1)x,2005
2 (2) (x，1)(x，2)(x，3)(x，4)，x
2
22222练习(1) (x，xy，y),4xy(x，y)
122(32)(483) (2) x，x，x，x，，44322x,x,6x,x，2例14、分解因式(1)
观察:此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，x
并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 方法:提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
11112222解:原式=xx,x,,，= ,,(26)x2(x，),(x，),622xxxx
1122设，则 x，,tx，,t,22xx2222?原式== ,x(2t,2),t,6,x，，2t,t,10
21,,,,22xxx2，,5，，2 == ，，，，x2t,5t，2,,,,xx,,,,
21,,,,22x?2x，,5?x?x，，2 == ，，，，2x,5x，2x，2x，1,,,,xx,,,,
2 = (x，1)(2x,1)(x,2)
43243226x，7x,36x,7x，6练习(1) (2) x，2x，x，1，2(x，x)
六、添项、拆项、配方法。
32x,3x，4例15、分解因式(1) 解法1——拆项。
32x，1,3x，3原式=
2= (x，1)(x,x，1),3(x，1)(x,1)
2= (x，1)(x,x，1,3x，3)
2= (x，1)(x,2)
963x，x，x,3(2)
963解:原式= (x,1)，(x,1)，(x,1)
363333= (x,1)(x，x，1)，(x,1)(x，1)，(x,1)
3633= (x,1)(x，x，1，x，1，1)
263= (x,1)(x，x，1)(x，2x，3)
3
练习15、分解因式
34224x,9x，8(1) (2) (x，1)，(x,1)，(x,1)
七、待定系数法。
22例16、分解因式 x，xy,6y，x，13y,6
22(x，3y)(x,2y)分析:原式的前3项可以分为，则原多项式x，xy,6y
(x，3y，m)(x,2y，n)必定可分为
22(x，3y，m)(x,2y，n)解:设= x，xy,6y，x，13y,6
22(x，3y，m)(x,2y，n)?= x，xy,6y，(m，n)x，(3n,2m)y,mn?
2222= x，xy,6y，x，13y,6x，xy,6y，(m，n)x，(3n,2m)y,mn
m，n,1,m,,2,,3n,2m,13对比左右两边相同项的系数可得，解得 ,,n,3,,mn,,6,
(x，3y,2)(x,2y，3)?原式=
4
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