不带利率Erlang_2_风险模型的破产时刻罚金折现期望值的拉氏变换

不带利率Erlang_2_风险模型的破产时刻罚金折现期望值的拉氏变换 不带利率 Erlang(2)风险模型的破产时刻 罚金折现期望值的拉氏变换 余国胜 (江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056) 摘 要:研究了不带利率 Erlang(2)风险模型，得到了破产时刻罚金折现期望值的拉氏变换，给出了 拉氏变换的显示 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。 关键词:不带利率;rang(2)风险模型;破产时刻罚金折现期望值;拉氏变换 El 中图分类号:O211.6文献标志码:A文章编号:1673-0143(2012)06-0008-02 余过程 U (t) 满足 引言0 dU (t) = c dt - dX (t) 。 若定义破产时刻为 经典的风险理论中索赔次数过程是泊松过 程，并且经常不带利率。文献,1,讨论了常利率 inf {t:U (t) < 0}= T Erlang(2)风 险 模 型 的 破 产 时 刻 罚 金 折 现 期 望 { t > 0 U (t) 0 ?"? ,2,则盈余过程 U (t) 的破产概率为 值。Dickson 和 Hipp 研究了不带利率 Erlang(2) δ 风险模型，得到了其破产时刻折现期望值满足一 ψ(u) = P{(U (t) < 0)} 。 个二阶微分方程，给出了关于不带利率 Erlang(2) t ? 0 风险模型在破产发生情形下，破产时刻矩的表达 考虑在不带利率、破产发生的条件下，以破 式。而不带利率 Erlang(2)风险模型的破产时刻 产前瞬时盈余和破产时的赤字为自变量的罚金折 ,3,罚金折现期望值的拉氏变换的讨论，有着一定 现期望值 的理论意义和现实意义。本文对该问题予以讨论。 - -αT ?(u) = E(ω (U (T ) |U (T ) | ) eI) α (T < ?) 这里 I是集 A 的示性函数，ω 是一个非负有界 ( A) 模型1 αT -函数，α 是一个非负参数，e为折现因子。 为了方便起见，引入下面的记号: 假定保险公司初始盈余为u ，以每单位时间 n dF (x ) - f (x) = ψ(u) 为破产的概率，U (T ) 为破 c 元的速率收取保费。T = W 表示第 n 次索 n åk dx k = 1 产前瞬时盈余，|U (T )| 为破产时的赤字。 赔 的 时 刻 ，X表 示 第 n 次 的 索 赔 额 。 假 定 n { X; n ? 1} 以及 {W ; n ? 1} 是独立同分布取正值的 ?(u) 的拉氏变换2 n n α 随 机 变 量 ，{ X ; n ? 1} 的 共 同 分 布 为 F (x) = n本节约定个体索赔额服从的分布是连续型 P( X? x) ，{W ; n 1} 的 共 同 密 度 函 数 为 K (t) =? 1 n 的，且有密度函数 f (x) ，同时记函数ξ 的拉氏变 -βt 2 β te，时刻 t 索赔次数过程为 N (t) = sup{n: T ? n 换为 N (t) ? * sx -t} ，时刻 t 总索赔 X (t) = X。为了使保险公司 å n ξ (s) = eξ (x) dx 。 0 n = 1 令文献,1,中(7)式 δ = 0 ，则有 安全运作，假设c E(W) > E( X) (i = 1 2 ) ，则盈 i i 收稿日期:2012,09,07 作者简介:余国胜(1980—)，男，讲师，博士，研究方向:随机动力系统、金融数学。 2 ' d 2 2 dd ，?(0) = ? ( u)| cφ ( u) - 2( β + α)c φ ( u) + ( β + α)φ ( u) -α α u = 0 α α α 2du du du ??? u * -su 2 2 q (s) = e ω(u x - u) f (x)dxdu 。β φ ( u x) f (x)dx β ω(u x u) f (x)dx = 0 。- - - 0 u α u0 由(2)式可得 (1)2 2 ' 2 * ,2,c s?(0) + c ?(0) - 2( β + α)c?(0) + β q (s) *α α α 引理 1 当 α > 0 时，定义 ? (s) == α 2 2 2 2 * 2 2 2 c s - 2( β + α)cs + ( β + α) - β f (s) l(s) = cs2( β + α)cs + ( β + α)，- 2 ' 2 2 * 2 2 c ?(0) 2( β + α)c?(0) + c s?(0) + β q (s) - 那 么 Lundberg 基 本 方 程 l(s) = cs2( β + α)cs + - α α α 。(3 ) 2 *l(s) β f (s)- β + α 2 2 * ( β + α)= β f (s) 有两个正根 r r 满足 r < <* 2 * 1 2 1 由于 0 < ?(s) < ? 而 l(r ) - β f (r ) = 0 故有c 1 1 α ?2 ' 2 2 ** -sx c ?(0) 2( β + α)c?(0) = c r?(0) β q (r) 。(4)- -- r。其中 f (s) = e f (x)dx ，f (x) 是密度函数。α α 1α 12 0 + + 将(4)式代入(3)式，有注 由文献,2,可得，当 α ? 0时，r ? 0， 1 * * 2 2 c? ( 0)(s - r ) + β (q (s) - q (r )) *1 1 α r将趋于 Dcson 和 参数，记为 s;在特定ikHipp ? (s) =。 (5)2 0 α 2 * l(s) β f (s)- 的情况下，若 Lundberg基本方程除 此之外还有实 2 ** 由于 0 < ?(s) < 而 l(r) β f (r) = 0 这里?- α 22根，则实根取负值。 r> r 故有 2 1为书写方便起见，引入可积函数 f 和实数 r 2 * * β (q(r ) - q(r )) 的算子 Tf ，定义 1 2 r ? ( 0) =。(6) α 2 c (r- r)? 2 1-r(u - x) Tf (x) = e f (u) du ，r x 将(6)式代入(5)式，有 2 * * 那么β (q(r ) - q(r ))(s - r ) * 2 * 1 2 1 + β (q (s) - q (r)) 1Tf (x) - Tf (x) r r r - r 1 2 * 2 1 TTf (x) = TTf (x) = ( r ? r ) 。 。? ( s) = r r r r 1 2 α 1 2 2 1 2 *rr- l(s) β f (s)- 2 1 当 r= r= r 时，则有 (7)1 2 ? r(u x) -- 事实上TTf (x) = (u - x) e f (u) du ， r r x1 2 2 2 2 ***l(s) - β f (s) = l(s) - β f (s) - l(r) + β f (r) = 11 于是2 2 22 * * c(s- r ) - 2( β + α)c(s - r ) - β ( f (s) - f (r )) =* * 1 1 1 f (s) -f (r) * 。2 Tf (s) =2 2 2* r c(s- r ) - 2( β + α)c(s - r) + β Tf (s)(s - r) = r - s 1 1r 11 ?2 * (8)(s - r)(l(s) + β Tf (s)) ， 如果 x f (x) dx 存在，则定义11r 1 0 2 ?其 中 l(s) = c (s + r) - 2( β + α)c 。 由(8)式 以 及 * 11Tf (0) = x f (x) dx 。0 0 2 * l(r) - β f (r) = 0(这里 r> r)，有 222 1 定理 1 ?(u) 的拉氏变换为 α 2 * (9)l(r) + β Tf (r) = 0 。 12r 222 1 β β * * * * (q(r ) - q(r )) + (q(s) - q(r )) 1 2 1 由(9)式有r- rs - r *2 11 (s) =，2 2 **? α 2 2 *l(s) - β f (s) = (s - r )(l (s) + β T f (s) - l (r ) - r 1 1 1 2 (s r)(c β γ ( s))- - 1 22 * 2 2 * β T f (r )) = (s r )(s r )(cβ T T f (s)) 。- - - 其中r2 1 2 rr 1 2 1 ? ?-su * (10)q(s) = ω (u x - u) f (x) dx du ，e u0 将(10)式代入(7)式即知定理得证。 *γ(s) = T T f (x) = T T f (x) 。 rrrr 1 22 1注 ? 由算子 T f 的性质，易见在定理 1 中 r 证明 采用文献,2,中的方法，方程(1)两边交换 r 和 r 的位置后定理也成立。 1 2 作拉氏变换，得 * ? 由(6)式，能将 ?(0) 用 q 的形式表示。 2 2 ' α **c(s?(s) - s? ( 0) - ?(0)) - 2( β + α)c(s?(s) - ? ( 0)) + α α α α α ? 定理 1 提供了一种间接求解? (u) 的行之 2 * 2 * * 2 * α ( β + α)?(s) = β ?(s) f (s) + β q(s) ， (2) α α 有效的方法。 其中(下转第 28 页) Extraction of Eleocharis Tuberosa Peel Pdyphenols and Its Lipid Antioxidant cvy Atiit GUO Yan-hua，LI Ai-hua，ZHANG Yu-min (Schoo of Chemstry and Envornmenta Engneerng，Janghan Unversty，Wuhan 430056，Hube，Chna) liiliiiiiii Abstact:Utrasonc method extracton was used to extract the eeochars tuberosap ee poy? rliilillphenols. And the suitable extract cnoditions was obtained by single factor xeperiments and orthogo? nal test，then inhibitory action of eleocharis tuberosap eel polyphenol crude extraction on linoleic ac? id lipid peroxidation systemw as studied. The results showed that extractanwta s 60 % ethanol，pH 3.5，feed liquid rato was 130(W/V)，utrasonc tme was 50 mn，on these cnodtons，eeochars i?liiiiilituberosap ee poyphenos yed was 1.8 ，and have strongli pid antoxdant actvty. lllil%iiii Key words: eleocharis tuberosa p eel; ultrasonic method; polyphenols; lipid antioxidant activity (责任编辑:叶 冰) ????????????????????????????????????????????? ,2, Dickson D C M，Hipp C. On the time to ruin for Erlang (上接第 9 页) (2) risk processes,J,. Insurance:Mathematics and 参考文献: Economcs，2001，29:333-344. i,1, 余国胜. 常利率 Erlang(2)风险模型的破产时刻罚金 ,3, 程宗毛. 破产时刻罚金折现期望值,J,. 应用概率统 折现期望值,J,. 江汉大学学报:自然科学版，2012， 计，1999，15(3):225-233. 40(1):17-19. Laplace Transform of Expected Value of Discounted Penalty at Ruin in Case of Eang(2)Rsk Mode Unde No nteest RaterlilrIr YU Guo-sheng ( School of Mathematics and ComputerS cience，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China) Abstract:Considers the Erlang(2)risk model under no interest rate，in which the Laplace transformo f the expected vaue of dscounted penaty at run s obtaned，the expresson of the La? liliiiiplace transformi s given. Key words:no interest rate;Erlang(2)risk model;expected value of discounted penalty at ruin;Laplace transform (责任编辑:强士端)