现代信号处理

现代信号处理 时频分析 摘 要:随着信息传递速度的提高,信号处理技术要求也在不断提高。从信号频域可以观测信号特点,但是对于自然中的非平稳信号,仅仅频域观测不能反映信号频率在时间轴上的变化,由此提出了时频分析技术,可以产生时间与频率的联合函数,方便观测信号频率在时间轴上的变化。在现有的时频分析技术中较为常见的算法有短时傅里叶变换、WVD、线性调频小波等。本文介绍了以上几种常见的算法和时频分析的相关应用。。 关键词:信号处理 非平稳信号 时频分析 一(整体概况 Fourier 变换的信号频域表示及其能量的频 在传统的信号处理领域，基于 域分布揭示了信号在频域的特征，它们在传统的信号分析与处理的发展史上发挥了极其重要的作用。但是，Fourier 变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量(如相关函数、功率谱等)是时变函数。这时，只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。 时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号 的频谱含量是怎样随时间变化的。时频分析是当今信号处理领域的一个主要研究 热点，它的研究始于20世纪40年代，为了得到信号的时变频谱特性，许多学者提出了各种形式的时频分布函数，从短时傅立叶变换到 Cohen 类，各类分布多达几十种。如今时频分析已经得到了许多有价值的成果，这些成果已在工程、物理、天文学、化学、地球物理学、生物学、医学和数学等领域得到了广泛应用。 时频分析在信号处理领域显示出了巨大的潜力，吸引着越来越多的人去研究并利 用它。 1.1基本思想 时频分布让我们能够同时观察一个讯号在时域和频域上的相关资讯，而时频分析就是在分析时频分布。传统上，我们常用傅里叶变换来观察一个讯号的频谱。然而，这样的方法不适合用来分析一个频率会随着时间而改变的讯号。 时频分析(JTFA)即时频联合域分析(Joint Time-Frequency Analysis)。作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为现代信号处理研究的一个热点。时频分析方法提供了时间域与频率域的联合分布信息，清楚地描述了信号频率随时间变化的关系。 时频分析的基本思想是:设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合函数简称为时频分 布。利用时频分布来分析信号，能给出各个时刻的瞬时频率及其幅值，并且能够进行时频滤波和时变信号研究。 1.2研究前景 现实中很多信号，比如语音信号，都是时变非平稳的，时变非平稳持性是现实信号的普遍规律，时频分析技术正是应现实的科学和工程应用需求而产生和发展起来的。对于许多信号，仅用时域或频域里的各种方法去分析往往不能揭示信号内部的局部特征和信息，而时频分析作为一种能将频谱随时间的演变关系清晰 地体现出来的研究方法，得到广大的关注与认可。. 然而，到目前为止，这么多已经较成熟的研究方法所研究的都是针对单通道非平稳信号进行处理，这必然失去通道信号之间的某些相互影响的信息。因而， 近年来己经有学者展开了对于非平稳信号的全信息时频分析的研究。比如，郑州大学振动研究所所做的基于全矢谱技术的非平稳短时矢谱技术分析、矢谐波小波变换、矢Wigner--Ville分布、。 短时矢谱: 就是将全矢谱技术和短时傅立叶分析相结合，针对的是同源多通道非平稳振动信号的时频分析方法.它对于分析缓慢的非平稳信号比较理想，不仅能反映随时间的变化其振动值也存在变换，更主要的是融合后的图谱能综合融合前图谱中各自存在的振动分量。短时矢谱分析可以对多个通道的非平稳信号融合。它既能在一个图上反映多个通道信号上的各自特征，又可以在时间一频率-幅值三维图谱上分析信号的构成。这正是故障诊断所需要的。 Ville分布:就是将全矢谱技术和Wigner---Ville分布相结合 矢Wigner--- 起来的一种时频分析方法.它不但有传统的Wigner-ville分布的优越性，而且，它是基于双通道或多通道的。因此所提供的信息更全面，能够综合反映信号的时频分布，对提高智能诊断率具有更重要的意义。 矢谐波小波变换同样具有多分辨率分析特点，可以将信号高、低频分离出来，可以看到信号的全貌，也可以看到信号的局部。另外，它还可以融 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 源两个或三个通道的信号，反映了一个截面的全部信息。 1.3发展历程 20世纪40年代，Koening等人和Poter等人提出了声谱图(Spectrogram)方法，定义为信号的短时傅立叶变换(STFT)的模平方，也称为STFT方法或STFT谱图.其基本思想是:假定非平稳信号在分析窗函数的一个很短的时间间隔内是平稳的，然后沿时间轴移动窗函数，计算出各个不同时刻的功率谱。这种方法的主要缺陷是:因为它使用一个固定的短时窗函数，是一种单一分辨率的信号分析方法。后来，短时傅立叶变换发展成自适应的方法对不同的信号段选择长度不一的合适窗函数。 1932年物理学家E.P.Wigner在量子力学中提出了著名的Wigner分布，1947年Ville将其引入到信号处理领域中，从而发展成为后来最具有代表性的一种时频表示技术Wigner-Ville分布(WVD)。WVD是一种二次型时频表示方法。它满足大部分所希望的数学性质，如实值性，能量守恒，时频边缘特性，时频移位等特性，是描述信号时频分布的一个有力工具。虽然WVD的时频聚集度较高，但对于多分量信号会产生所谓“交叉项干扰”，从而限制了它的应用。此后，许多学者对二次型时频表示及其应用进行了大量的研究，提出了许多可能作为时频联合分析工具的时频分布. 1966年 L .Cohen利用特征函数和算子理论将各种形式的时频表示方法之间做了研究，所有的二次型时频分布都可以对WVD的时频二维卷积得到，统称为Cohen类时频分布。除了WVD和STFT之外，Cohen类还有取指数型核函数的Choi-Williams分布(CWD), Rihaczek分布，广义指数分布，Bessel核时频分布，都是围绕着设计不同的核函数以减小或消除交叉干扰项，并满足若干数学性质而提出的二次时频表示方法。但是它们都是以分辨率的降低为代价的。目前，提出了一种自适应时频分布，基于信号的最优窗函数或最优核函数设计的方法，这些都是在假定信号项与交叉项没有重叠的情况下讨论的小波变换最早是由法国地球物理学家Morlet于80年代提出的。它是在时间和尺度平面上来描述的，是一种多分辨率的分析方法，从信号频率的角度来看，低的频率(大尺度)对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于信号内部隐藏的细节信息，被誉为分析信号的显微镜。最大的优点是在时域和频域同时具有很好的局部化性质。对信号的频率成分在时域采样的疏密自动调节，可观察信号的任意细节并加以分析。同时小波变换方法又是一种线性变换，对于多信号而言不会产生交叉项干扰。但其主要缺点是计算量太大，要在二维(尺度和时间)上进行搜索计算，会需要很长时间，不便进行实时计算。 在1998年H uang提出了一种新的理论和计算方法尤其适合非线性，非平稳随机信号的分析与处理，被称之为基于经验的模式分解及其希尔伯特(Hilbert)时频谱。这种方法与传统的方法包括Fourier分析不同，传统的分析方法只适用于线性过程的周期性或平稳数据系列。而这种方法主要是利用基于经验的模式分解方法，把复杂的数据序列分解为简单的，有限个分量，称为基本模式分量，得到的基本模式分量具有很好的Hilbert变换特性。基于经验的模式分解方法是自适应的，因此也是最有效的。这种新方法的主要创新是基本模式分量的引入，它的引入使得瞬时频率具有实际的物理意义。同时对复杂数据序列的瞬时频率的引入，消除了传统的信号分析方法如傅立叶分析所产生的表示非线性，非平稳信号的伪谐波。由于它是基于信号局部特征的，因此它适用于非线性，非平稳信号的处理。 大连理工大学机械系振动工程研究所的马孝江教授结合EMD算法和Huang的思想，提出了局域波概念。该研究所的其他研究人员也对该算法做了深入研究，如盖强受积分中值定理启发探索了极值域均值模式分解经验筛选法，提出了波形匹配预测法的边界处理算法;张海勇将EMD算法与Wigner(Ville分布、方差平稳随机信号分析和时变参数模型信号分析结合起来，提出了一些交叉信号分析方法等等。人们把Radon变换和WVD相结合形成了Radon-Wigner变换，利用其特性来检测LFM信号。特别是在快速的傅立叶变换及卷积算法出现以后，Radon-Wigner变换在信号处理领域得到了较快的发展，并不断的扩展其应用领域。Radon变换作为一种广义边缘积分，它本质上是一种对旋转轴的投影积分，从而把原平面中的直线变换为旋转后平面中的一个点，点的坐标即为直线的斜率和截矩。有限长度的LFM信号在WVD时频平面为一条以LFM信号初始频率和调频斜率为参数的直线，能量分布为背鳍型。把Radon变换应用于Wigner分布的时频平面，即为Radon-Wigner变换，恰好对LFM信号在Wigner平面所呈的直线进行检测，从而使其在Radon-Wigner平面能量聚集，形成一个其坐标对应于直线参数的尖峰。Radon-Wigner变换对LFM信号检测所具有的优良的时频局域性使其可以在低信噪比的情况下仍然可以明显的分辨出信号和噪声。 近几年来，Minsheng Wang等人利用Radon变换在信号的模糊域的应用来对LFM信号进行检测，称其为Radon-Ambiguity变换。由于LFM信号在模糊域为一条穿过原点的直线，Radon-Ambiguity变换不考虑直线信号的初始频率(直线信号在模糊域中的截矩为0)，仅把LFM 信号的调频斜率参数作为研究的对象，相当于对Radon-Wigner变换的简化，从而减少了Radon-Wigner变换的计算量。Brian K.Jennison等人对Radon-Ambiguity变换算法的性能进行了分析，并指出算法不仅可以估计调频斜率，而且可以估计信号存在的时间。另外，Dong Yongqiang等人也提出了基于分数阶傅立叶变换(FrFT)检测多分量LFM 信号的方法，其原理也是通过坐标轴的旋转来使信号新的时频分布能够更加聚集。然而并不是所有的时频分布都适合进行分数阶傅立叶变换，其核函数本身要求应该具有旋转不变性。 二(主要方法 一般将时频分析方法分为线性和非线性两种。典型的线性时频表示有短时傅立叶变换(简记为STFT)、Gabor展开和小波变换(Wavelet Transformation，简记为WT)等。非线性时频方法是一种二次时频表示方法(也称为双线性)，最典型的是WVD(Wigner-Ville Distribution)和Cohen类。 一个理想的时频分布函数有助于我们做时频分析，而它大致上具有以下四种性质: 1. “高清晰度”可让我们分析更容易。 2. “没有cross-term”可避免我们把讯号和噪声混淆。 3. “好的数学性质”有利于我们在许多方面的应用。 4. “较低的运算复杂度”使得我们分析的速度变快。 2.1短时傅里叶变换 其优点在于其物理意义明确，对于许多实际的测试信号，给出了与我们的直观感知相符的时频构造;而且他不同于Wigner分布，不会出现交叉项，由此成为历史上应用最多的一种时频分析。但是由于测不准原理对窗函数时频分辨能力的制约，在应用当中，必须对时窗与频窗宽度做出折衷，而这种折衷取决于窗函数和信号的时频特性;并且折衷并非能涵盖所有类型信号时频特性的要求;例如， 任何折衷都将变得没有意义，也当被分析信号是缓变和瞬变共存的信号类型时! 就是说，当被分析的信号是含有多种差别很大的尺度成分的类型时，短时傅里叶变换方法是无能为力的。 为了能着重分析某一短时间内的波形特征，用一个窗函数乘上所需要考虑的时间段内的信号，即乘上一个时间窗，再进行傅里叶分析。其中，窗可在时间轴上移动从而使信号逐段进入被分析状态，这样就可以提供在任意局部时间内信号变化激烈程度的特性，这是一种最基本的时频分析方法。 短时傅里叶变换通过时间窗的移动取一小段信号的傅里叶变换来估算在那个时间段的时频局部化特征。为了获得较高的时间分辨率，时间窗应该越窄越好。但在频域里，短时傅里叶变换相当于一组窄带滤波器的输出，为了获得较高的频率分辨率，滤波器的带宽应该越窄越好，这就意味着选择宽的时间窗。显然这是 相互矛盾的，因此短时傅里叶变换受到窗时频分辨率的限制。但是，时间分辨率与频率分辨率不能同时任意小，这要受到不确定原理的限制。 缺点是，短时傅里叶变换中，一但窗函数选定便具有固定不变的时宽和频宽，时频分辨率便确定下来。短时傅里叶分析是假定截断窗内的信号是平稳的，时间越长，信号的“局部”平稳性就越难保证。理论上，窗函数的宽度应与信号的局部平稳长度相适应，但是短时傅里叶变换中窗函数长度不能根据信号的局部平稳长度自适应的调整。短时傅里叶分析的实质是认为非平稳信号在全局是非平稳的，而在局部域内则是平稳的。这样的假设往往会带来一定的误差。 2.2 Wigner-Ville分布 Wigner-Ville分布作为Cohen类双线性时频分布中最基本一种，其实质是将信号的能量分布于时频平面内。这种分布最初是由Vigner在量子力学中提出的，后由Ville首先应用于信号分析。Wigner-Ville分布本质是不是线性的,即两信号和的WVD并不等于每一个信号的WVD.之和。两个信号的互WVD称之为“交叉项”。显然，信号中包括的分量成分越多，交叉项也越多。交叉项的出现极大地干扰了时频分布，同时也抑制了二次型时频分布的推广。近几十年来，人们围绕这个缺点进行了广泛的研究，提出了许多解决方法。设计出许多新型的二次时 -Ville分布(PWVD)平滑Wigner-Ville分布(SWD)平滑频分布，如伪Wigner 伪Wigner-Ville分布(SPWD)等。20世纪60年代中期Cohen将众多的时频分布用统一的形式来表示。即所谓的Cohen类双线性时频分布: 显然，只要选择合适的核函数并对其施以一定的约束条件就能得到不同性质的二次时频分布。虽然Cohen类双线性时频分布通过时频平滑的方法抑制了分交叉项，但他是以牺牲整个时频分布的时频分辨率为代价的。 Wigner-Ville分布属于二次时频分析,是信号在时频平面上的联合功率谱。它克服了短时傅立叶变换的上述缺点,其分辨率很高,且可通过傅里叶逆变换将原信号从它的Wigner-Ville分布得到完全的恢复。即在求解信号的Wigner-Ville分布时，不会损失信号的幅值与相位信息。 缺点是，由于Wigner-Ville分布属于二次型时频分布，与线性时频分布大不相同，因为二次型变换破坏了线性叠加原理，使得二次型时频分布不再像线性时频分布处理那么简单。因此在分析多分量信号时,存在严重的交叉干扰项。以两个信号构成的信号和为例:从Winger-Ville 分布的定义公式知，交叉项的产生实质是由于信号与其共轭在时域相乘，导致频域卷积的结果，因而在时频平面的频率方向上表现出交叉项。另外，即使两个信号分量在时间上相距足够远(使得两者时间支撑区基本不重叠)，但在时频平面内，它们之间的时间方向上仍然会出现交叉项。目前虽有许多消除交叉干扰项的方法,但大都是以降低分辨率为代价的。 2.3小波变换 小波变换作为一种最新线性时频分析方法,是20世纪80年代中后期发展起来的。它是一种多尺度分析方法，对不同的频率用不同的尺度去分析，它能给出比较好的时间精度，在低频区有较好的频率精度，而在高频区频率分辨率较弱，但一般能够满足实际工程的需要。另外小波变换引入的是尺度因子。由于尺度因子与频率间没有直接的联系，而且频率在小波变换中没有明显地表现出来。因此小波变换的结果不是一种真正的时频谱。 小波变换本质上是一种可调窗口的傅氏变换,它通过变尺度滑移窗的伸缩和平移来自适应地获取理想的时域及频域分辨率。通过适当地选择尺度因子和平移因子，可得到一个伸缩窗，只要适当的选择基本小波，就可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。但小波变换的分解方式使得高频频带的时间分辨率高而频率分辨率低，低频频带信号的时间分辨率低而频率分辨率高，而实际应用中往往希望提高高频频带信号的频率分辨率。为解决这问题，后继学者提出了小波包概念及算法以及偕波小波，其中偕波小波算法简单，具有很好的频域特性和“锁定”信号相位的能力，使其在信号分析中具有其他小波不可替代的优点。 在振动信号处理中，特别是进行设备故障诊断时，只进行正向小波变换，用于提取故障特征，使小波变换存在着四个局限性:(1)小波分析本质上是可调的窗口傅里叶变换，由于小波基函数的长度有限，小波变换的滤波器特性距理想带通滤波器的特性相差较远，所以各频带间可能存在严重的频率混叠现象，从而要对信号在时域和频域作精确分析会有较大的困难;(2)小波变换对信号的奇异点非常敏感，这也是小波变换的优点之一。在实际采样得到的振动信号中，出于不可避免的存在各种干扰信号，所以信号中的奇异点特别多，到底是故障信息产生的奇异点还是干扰信号产生的奇异点是很难判断的，对奇异点再进行统计分析并 )小波变换是非自适应的,一旦小波基函数选定,那么分不是很好的解决办法;(3 析所有数据都必须用此小波函数,将造成信号能量的泄漏,使得定量的时频分析变得困难;(4)小波变换虽然能够在时域和频域内同时得到较理想的分辨率,但仍然存在一定的极限,由于这种分辨极限的存在,使得变换的结果中含有非常多的虚假谐波,而依此进行的一系列分析也必将失去信号本身原有的物理意义。 2.4对比分析 短时傅立叶变换(STFT)虽然有着分辨率不高等明显缺陷，但由于其算法简单，实现容易，所以在很长一段时间里成为非平稳信号分析标准和有力的工具，它已经在语音信号分析和处理中得到了广泛的应用。Gabor 展开的思想在很大程度上开创了时频分析的先河，近年来许多学者在Gabor展开的离散化和有限化方面作了大量的研究工作，其中包括运用解析方法来进行临界采样Gabor展开，运用框架理论来进行过采样Gabor展开等等，现在Gabor展开已经在暂态信号检测，时变滤波，图像信号处理等领域取得了成功的应用。 小波变换，由于其本身分辨力的优良性能，因此一经提出，很快就成了非平稳信号分析和处理的一大热点，经过近劝年的发展，小波变换取得了突破性的发展，形成了多分辨分析，框架和滤波器组三大完整丰富的小波变换理论体系。现在小波变换已经被广泛地应用在信号的奇异性检测、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等等诸多领域、在分形和混沌理论中也有了很多的应用。 WVD，由于其本身满足的大部分所期望的数学性质，如实值性，对称性，边缘积分特性，能量守恒，时频移位等特性，所以它确实反映了非平稳信号的时变频谱特性，加之能作相关化解释，从而成为非平稳信号分析处理的一个有力的工具。但是由于其对多分量信号产生无法解释的难以抑制的所谓交叉项干扰，从而限制了它的发展。 1966年 ， L.Choen利用特征函数和算子理论将各种形式的时频表示方法之间的关系做了研究，指出包括STFT谱图在内，所有的二次型时频分布都可以通过对WVD的时频二维卷积得出，因此将它们统称为Cohen类时频分布。Cohen类 时频表示的一个最大特点是时移不变与频移不变特性自动满足。由于只是各种变形WVD的统一形式，Cohen类仍避免不了交叉项干扰这个缺点。近年来发展起来的自适应时频分析，由于自适应方法潜在的优异性能，引起了人们的广泛关注，形成了非平稳信号处理领域内时频分析研究的一个新热点。 三(广泛应用 时频分析己经在非平稳信号处理中获得了十分广泛的应用。可以说，凡是平稳信号的分析与处理中的典型应用问题，诸如信号检测与分类、滤波、信号的正交展开与综合、系统辨识和谱估计等。在非平稳信号分析与处理中都有着对应的问题，且时频联合分析法较单纯时域、频域法在很多情况下具有明显优点。 3.1 时频分析在工业生产中的应用 工业生产中保证重要大型设备的安全运行是生产工作的重点，尤其是一些连续工作，无法随时停机检修或是生产过程不允许中断的大型设备，例如大型发电设备、金属冶炼设备、化工生产设备。在这些领域中，故障造成的损失往往不仅是经济损失，因此对这些设备运行状态的实时检测是十分必要的。由于故障信号的发生时刻状态形式是无法预知的，因此只有实时地分析设备的运行状态，监测异常状态产生的时刻、频率、幅度等随机信号达到防止事故发生的目的。例如，电力系统发生故障后，其故障信号包含大量的非基频暂态信号，而且故障暂态分量随着时刻、故障点位置、故障点过渡电阻以及系统工况的不同而不同，它是一个非平稳的随机过程。如何快速的检测出故障时刻，使电力系统保护装置启动，同时对故障信号进一步分析，确保保护装置正确处置。因此，有必要寻找一种有效的时频分析工具进行电力故障信号检测和分析。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，已被广泛的应用到电力系统故障时刻检测、电能质量扰动义、行波信号的奇异性检测等。对于一些非电器类设备，运行监测主要是将被监测量通过传感器转换为电信号进行监测。在一些大型机械设备检测中，主要是对其振动进行监测。针对旋转机械发生故障时振动信号的不平稳性，利用时频分析中的小波尺度图和再分配后的小波尺度图对点碰摩、松动、裂纹和油膜故障进行对比分析可以更好地识别转子早期故障。 3.2 时频分析在地运动研究中的应用 地运动是指由地下封闭(或地表)爆炸引起的地表运动。地运动信号是一种非平稳随机信号，传统的傅里叶变换无法得到信号的频谱随时间变化的关系。对地运动信号进行时频分析可以掌握信号随时间-频率的分布状况，更好的对地动现象进行研究。在地质监测、矿藏探测、气油勘探、地应力计算、岩石物性等领域得到了广泛的应用。目前，声波全波测井技术为石油勘探开发提供了一种新的 -Williams能量分布对不同岩性组成的结构有明显不同手段，而检测信号的Choi 的表现特征，利用相应识别模式可以对这些岩性构造进行有效的区分和识别。 3.3 时频分析在国防中的应用 随着通讯技术、数字信号处理技术的迅猛发展，大量电子设备应用于各种军事设备设施中。尤其是在军事通信领域，中，干扰与反干扰技术、跟踪与反跟踪技术相伴而生发展迅速。例如跳频通信具有良好的抗干扰和低截获优点，将成为制导技术中信息传送的重要方式。跳频信号是一类随时间非线性变化的非平稳信 号，因此需要利用时频分析方法在不知道信号任何先验知识的前提下来估计未知跳频信号的参数。在正中情况下WVD和PWVD分析算法能够描绘跳频信号的非平稳特性并能对各参数进行估计。 此外，时频分析还广泛应用在医疗、生物医学工程领域，如心音信号分析血压信号分析、心电图信号分析等。在地球物理学领域，如非线性水波分析、潮汐和海啸分析、海洋环流分析等。在结构分析领域，如桥梁的监测、结构的辨识和模态响应分析、结构破坏检测等。在设备诊断领域，如潜艇叶片的故障诊断、旋转机械故障诊断。在天文学领域，太阳中微子数据的分析等。 四(结语 时变，非平稳特性是现实信号的普遍规律，联合时频分析技术正是应现实科学和工程应用需求而产生和发展起来的。相比单纯时域或频域分析，时频分析的优势在于能将频谱随时间的演变关系明确表现出来，自然更符合实际应用的需要。目前，有很多工具，如使用Matlab进行时频分析，另外一些工程软件也增加了时频分析的功能例如NI公司的Labview，使我们可以很方便的使用、修改、完善各类时频分析方法来研究我们所遇到的问题。相信随着各种理论和算法的不断完善，时频分析必将拥有更为广阔的应用前景。 参考文献: [1]刘毅，朱兴雷.老年人第三第四心音信号小波变换时频分析研究[J].生物医学工程,2000, 19(1): 42-44 [2]胡昌华等.基于Matlab的系统分析与设计_ 时频分析[M] .西 安:西安电子科技大学出版社，2002 基于LABVIEW的联合时频分析[J].华东交通大学学报，2007，[3]臧观建，刘正平. 24(4):121-123 [4]张兆宁电力系统故障暂态信号分析中的新数学方法研究[D]t.天津:天津天津大学，1998. 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