思惟——高中数学的魂魄(李八江)

思惟——高中数学的魂魄(李八江) 思维——高中数学的灵魂 东升镇高级中学 李八江 曾有这样一个故事:一个商人在翻越一座山时，遭遇了一个拦路抢劫的匪。商人走投无路，便钻进了一个山洞，山匪也进了山洞里。在洞的深处，商人未能逃过山匪的追逐------黑暗中他被山匪逮住了，身上所有的钱财，包括一把准备夜间照明用的火把，都被山匪掳去了。之后，两人各自寻找着洞的出口。这山洞纵横交错，两人置身洞里，像置身于一个地下迷宫。山匪庆幸自己从商人那里抢来了火把，他把火把点着，借着火把的光亮在洞中行走。他能看清脚下石块，能看清周围的石壁。但走来走去，就是走不出这个洞。最终，他力竭而死。商人失去了火把，他在黑暗中摸索行走得十分艰辛，他不时碰壁，不时被石块绊倒，跌得鼻青脸肿。但是，正是因为他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能够敏锐地感受到洞口透来的微光，他迎着这缕微光摸索爬行，终于逃离了山洞。 由此想到我们的高中数学教学，教师给足学生以“火把”把知识正确地，全面地，甚至高密度地传授给学生，仅仅如此，他们是否能够走出“山洞”。有专家如是说“当一个人把所学的知识都忘了以后，还保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢,就是能力，是思维素质。知识会随时间的推移而遗忘，而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。 思维是一种反应。数学思维力求近似到一种非条件反射，比如吃饭自然就有拿筷子和碗，而不需刻意去记着吃饭就要有筷子，有碗。高中数学本身的特点，摒弃了单调的记忆和机械的计算，更多的是一此理性化的东西，故只有丢弃固有的框架，让学生思维不受到束缚，他们才能在知识的黑洞里畅游。 下面就自已在教学中的体会，以高中数学认识过程为例，进行一些探讨: 一、已有知识，包括定义，定理，公式的正确处理。 教学中重视知识的形成过程的教学，使学生在掌握知识的思维实践中既获得了 识， 得到思维训练。学生往往认为学习定义，定理，公式等只要记着就行了，对定 理的证明，公式的推导很少能给以足够的重视;教师也往往只重视让学生把定义，定 理，公式正确地，全面地接受下来，而不去探讨它们的由来和实质，课堂上认真地， 严格地对每一个定理加以证明，对每一个公式给以推导，忽略证明和推导的原因。这 样学生只会机械的记公式，套定理，而会忽视了运用的前提，条件。例如，求数列 2n1的前n项和，学生会毫不犹豫地应用等比数列前项和公式x,x,？,x,？ nna(1,q)1,x1q,1S,S,，得出结果。其一，忽视该公式应用的条件，而nn1,q1,x 在本题中公比q有可能为1，此时，得到一常数列，其前项和是;其二，忽视S,nn 等比数列的条件:等比数列中，其公比和数列中的项不可能为0，而本题中x可以为 q,10，得数列1，0，0，---，其前n项和。加深理解“等比数列(公比)的前S,1n na(1,q)1S,项和公式”后，面临这类问题不会顾此失彼了。还有数列的通项公n1,q 式与前项和公式的关系:{n=1，很多学生也只是勉强记忆，其实只Saa,Snnn1 要回归就很明了清晰了。 S,a，a，？，a，an12n,1n, 一，精心设计课堂教学，用连系的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 教学，同时，训练学生的思维。 我们说一个稍微用功的学生，在课堂上听懂教师讲的课并不难，仿照例题解几道题也完全可以，但是要用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的了。故必须放弃“前提——结论”式的教学，而用以思维为主流，以链结式的学生的思路展开。 例数列概念一节的教学，概念较多。如不注重思维引导，只顾孤立地呈现，学生是必会象猴子下山，摘了西瓜，丢了芝麻，也可能会有似象非象之感，我在教学中按下面的方式进行，比较适当。先由集合的概念? 引入数列概念? 列举出课本中的几个数列? 对比集合的特点? 结合实例归纳出数列的特点?对比集合中的元素? 引出数列中的项? 由此得出其序号? 由序号与项的对应? 联想到映射? 一一映射，函数? 数列与其序号构成一个函数? 联想到函数的定义域? 它的定义域是正整数集或它的一个子集? 有限数列，无限数列，即数列的分类;函数? 函数的图象? 由定义域的特性，得出是一群孤立的点;函数? 函数解析式? 通项公式概念? 分析出一个简单数列的通项公式? 由通项公式写出数列中的前几项? 看事实，悟规律? 由前几项写出一个通项公式，(有的可写出不只一个通项公式，有的却写不出通项公式)整个过程都是联系对比所学知识，很自然引出新的问题，既突出了重点，又化解了难点，并且把所有知识一串而成。真可谓一气哈成。 二，数学的综合运用上，应顺应学生的思维去挖掘，而不是强加给学生以解题模式，框架， 束缚学生的思维，让他们自己去感受，去体会，去领悟，例题的讲解追求的不是解题 过程写得多么详细，而是解题的思维过程，这样学生才不会单纯摹仿，不会缺乏独立 分析问题的能力，遇到新问题不会觉得束手无策。例设{}的前项和an S (n=1,2,---)，a ,b是常数，且b0 。 ,na，n(n,1)b,n (1)，证明{}是等到差数列; an Sn (2)，证明以(a,,1)为坐标的点都落在同一条直线上，并写出此p(n,1,2？)nnn 直线的方程。 分析并推导:要证明数列{}是一等差数列，就是要得出常数，此时显a,a,ann,1n 然要求出的通式，而可由=得， S,Saaann,1nnn na，n(n,1)b,(n,1)a,(n,1)(n,2)b2nb，a,2b故===---=S,Sann,1n n,2此时猛然发现这里n只能取的数，这样得到的是通项中从第二项开始后各项，那么首项到哪里去找呢,噢，原来在用=时就忽略了条件2，而由得n,S,SSaann,1nnn本身就还包含着这样一个“始祖”。是以学生自然补充这一点，并验证符合a,Sa111 ，最后由前述分析，得证。整个过程做到让学生自己去发现问题，自己去寻找a(n,2)n 答案。针对第二个问题，学生开始也是感到非常棘手的。首先是从知识结构上，一下子就从数列跳到畏难的平面解析几何;第二要证明的点不是一个，二个或多个具体的点在一条直线上，而是无数个抽象的点。显而易见，不可能一个，一个去求，只有寻找某个规律性 S1的东西才行。回到具体的坐标点，细思量，发现至少可以确定第一个点(，即a,,1)11(，其他的点呢确实不好找了，这时，可先放一放，回到如何证明点共线的问a,a,1)11 题，是要得出每两点所确定直线的斜率相等。如此，我们要求多少个斜率，用组合数来求要有个。似乎走到了一个死胡同-----，规律是什么,不就是很多归结为一个吗。这里的无 Sn数个点能否用一个点表示呢。这不就是通式(吗,对呀～然后它(们)与第一a,,1)nn 个点所确定直线的斜率是一个固定的，即为一常数。问题终于豁然开朗。峰回路转，有学生发问，这里用到求斜率，那它是否有斜率呢,题目中并没有指明。对，那什么情况下没有斜率呢,当两点的横坐标相同时，所确定的直线不存在斜率。这里的横坐标会相a,a1n b,0等吗,即数列{}是常数列吗,前面，由条件知数列不是常数列。a,a,2bann,1n 由此尽管题目所涉及的内容不少，分支及要注重的环节较多，但只要能做到用“理”去服题，总是可以跨越的。 三，培养学生抓住问题的实质 数学教学并非解题教学，解题只是手段，重要的是通过解题教会学生思维， 提高学生的能力。关键是努力提高每一道题的功效性，在错综纷杂的题型，套路中领 略其万变不离其宗的实质，以不变应变的策略，找出解题的思想方法，支解简化各环 节，例，对于二次函数结合对数函数，指数函数的复合，更配以绝对值，或需考虑移 轴的方面，来寻求函数的单调性，值域，------，下表得以解决: 函 数 性 质 图象 {x|x>-1} 定义域 R 值域 增区间 (0、+ ) 函数 增区间 (-2、1] 减区间 [-2、1] 值域 (0、2 ] 定义域 [-2、4] 四，注重学生形象思维的能力的培养。 思维能力不仅指抽象的逻辑思维，也包括着蕴含“轻捷灵活”的形象思维，即常说的数形结合思想，上面第四点的实例已把它演绎得淋漓尽致。再例对于等差数列前 ()a，an(1)ddnn,d21nn项和公式，是关于n的不,n，(a,)nS,,na，11n2222 含常数项的二次函数，对应的图象是一过原点的抛物线， 故由其特性，若，可知: S,Snm S(1),取最大值(或最小值)(若为m+n奇数，取接近的相邻的整数);，mn2 (2),为0。 Sm，n