数学高考基础知识

数学高考基础知识 数学高考基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性:如: ， ，求 ; (2)集合与元素的关系用符号 ， 表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整数集 ;有理数集 、实数集 。 (4)集合的表示法: 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意:区分集合中元素的形式:如: ; ; ; ; ; ; (5)空集是指不含任何元素的集合。( 、 和 的区别;0与三者间的关系) 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意:条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如: ，如果 ，求 的取值。 二、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 (2) ; ; (3)对于任意集合 ，则: ? ; ; ; ? ; ; ; ; ? ; ; (4)?若 为偶数，则 ;若 为奇数，则 ; ?若 被3除余0，则 ;若 被3除余1，则 ;若 被3除余2，则 ; 三、集合中元素的个数的计算: (1)若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 (2) 中元素的个数的计算公式为: ; (3)韦恩图的运用: 四、 满足条件 ， 满足条件 ， 若 ;则 是 的充分非必要条件 ; 若 ;则 是 的必要非充分条件 ; 若 ;则 是 的充要条件 ; 若 ;则 是 的既非充分又非必要条件 ; 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ; 注意:“若 ，则 ”在解题中的运用， 如:“ ”是“ ”的 条件。 六、反证法:当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成 立， 步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个 否定 二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念: 如:若 ， ;问: 到 的映射有 个， 到 的映射有 个; 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。 函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素: ， ， 。 相同函数的判断方法:? ;? (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ?定义法(拼凑):?换元法:?待定系数法:?赋值法: )函数定义域的求法: (2 ? ，则 ; ? 则 ; ? ，则 ; ?如: ，则 ; ?含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。 ?对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ;定义域为 。 (3)函数值域的求法: ?配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ?逆求法(反求法):通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围;常用来解，型如: ; ?换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ?三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; ?基本不等式法:转化成型如: ，利用平均值不等式公式来求值域; ?单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ?数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:? (2种方法); ? (2种方法);? (2种方法); 三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) ,f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =,f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义法， 图像法 ，复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x,a),则2a为函数f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函 数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考) y=f(x)?y=f(x+a),y=f(x)+b 平移变换 注意:(?)有系数，要先提取系数。如:把函数y,f(2x)经过 平移得到函数y,f(2x，4)的图象。 (?)会结合向量的平移，理解按照向量 (m，n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)?y=f(,x),关于y轴对称 y=f(x)?y=,f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)?y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)?y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)?y=f(ωx), y=f(x)?y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若f(a,x),f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称; 如: 的图象如图，作出下列函数图象: (1) ;(2) ; (3) ;(4) ; (5) ;(6) ; (7) ;(8) ; (9) 。 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: ; (3)互为反函数的定义域与值域的关系: ; (4)求反函数的步骤:?将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择;?将 互换，得 ;?写出反函数的定义域(即 的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系: ; (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 如:求下列函数的反函数: ; ; 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: ，当 时，是增函数;当 时，是减函数; (2)一元二次函数: 一般式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ; 两点式: ;对称轴方程是 ;与 轴的交点为 ; 顶点式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ; ?一元二次函数的单调性: 当 时: 为增函数; 为减函数;当 时: 为增函数; 为减函数; ?二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为 的形式， ?、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时:在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得; 时:在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得; ?、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得; 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得; 有三个类型题型: (1)顶点固定，区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数( ?二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 的两根为 ;则: 根的情况 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件 注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数运算法则: ; ; 。 指数函数:y= (a>o,a?1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a?1) 图象恒过点(1，0)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和00，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ?如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ?图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象)，直接比较大小。 ?中介值法:先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 ，则 (当且仅当 时取等号) 基本变形:? ; ; ?若 ，则 ， 基本应用:?放缩，变形; ?求函数最值:注意:?一正二定三取等;?积定和小，和定积大。 当 (常数)，当且仅当 时， ; 当 (常数)，当且仅当 时， ; 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:?函数 的最小值 。 ?若正数 满足 ，则 的最小值 。 三、绝对值不等式: 注意:上述等号“,”成立的条件; 四、常用的基本不等式: (1)设 ，则 (当且仅当 时取等号) (2) (当且仅当 时取等号); (当且仅当 时取等号) (3) ; ; 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ?作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ?变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ?判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证„„只需证„„，只需证„„ (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ?添加或舍去一些项，如: ; ?将分子或分母放大(或缩小) ?利用基本不等式，如: ; ?利用常用结论: ?、 ; ?、 ; (程度大) ?、 ; (程度小) (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如: 已知 ，可设 ; 已知 ，可设 ( ); 已知 ，可设 ; 已知 ，可设 ; (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: ?、 :?若 ，则 ;?若 ，则 ; ?、 :?若 ，则 ;?若 ，则 ; (2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论: (5)绝对值不等式:若 ，则 ; ; 注意:(1).几何意义: : ; : ; (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有: ?对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;?若 则 ;?若 则 ;?若 则 ; (3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ? ;? ; ? ;? ; (7)不等式组的解法:分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ?不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. ?在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. ?在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对 )，比较两个根的大小,设根为 (或应的一元二次方程根的状况(有时要分析? 更多)但含参数，要分 、 、 讨论。 五、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ?函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ?分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时，也要进行分类; ?整体思想:在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减)、摆动、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式an: 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an= 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d?0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn= 当d?0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1?0)，Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an?0) 13、等比数列的前n项和公式:当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式); 当q?1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、„„仍为等差数列。 15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、„„仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d ; 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么,) 24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 {bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 25、 26. 在等差数列 中: (1)若项数为 ，则 (2)若数为 则， ， 27. 在等比数列 中: (1) 若项数为 ，则 (2)若数为 则， 四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如an=2n+3n 29、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和:如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法: ? an+1-an=„„ 如an= -2n2+29n-3 ? (an>0) 如an= ? an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1(基本概念: 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2( 加法与减法的代数运算: (1) ( (2)若a=( ),b=( )则a b=( )( 向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = , , = , 且有, ,,, ,?, ,?, ,+, ,( 向量加法有如下规律: ， = ， (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); +0= ，(, )=0. 3(实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。 (1), ,=, ,?, ,; (2) 当 ,0时， 与 的方向相同;当 ,0时， 与 的方向相反;当 =0时， =0( (3)若 =( )，则 ? =( )( 两个向量共线的充要条件: (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ( (2) 若 =( ),b=( )则 ‖b ( 平面向量基本定理: 、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，若e1 有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2( 4(P分有向线段 所成的比: 、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个设P1 实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。 当点P在线段 上时， ,0;当点P在线段 或 的延长线上时， ,0; 分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( ?,1)， 中点坐标公式: ( 5( 向量的数量积: (1)(向量的夹角: 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则?AOB= ( )叫做向量 与b的夹角。 (2)(两个向量的数量积: 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ?b=, ,?,b,cos ( 其中,b,cos 称为向量b在 方向上的投影( (3)(向量的数量积的性质: 若 =( ),b=( )则e? = ?e=, ,cos (e为单位向量); ?b ?b=0 ( ，b为非零向量);, ,= ; cos = = ( (4) (向量的数量积的运算律: ?b=b? ;( )?b= ( ?b)= ?( b);( ，b)?c= ?c+b?c( 6.主要思想与方法: 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ?位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ?直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ?直线与平面垂直的证明方法有哪些, ?直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900} ?三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般 是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题?点到面的距离问题? (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ?定义法，一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ?垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 ?射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法? 具体的公式 高中数学公式大全 高中数学常用公式及常用结论 高中数学常用公式及常用结论 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含关系 4.容斥原理 . 5(集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个;非空子集有 –1个;非空的真 子集有 –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式 . 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分 条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下: (1)当a>0时，若 ，则 ; ， ， . (2)当a<0时，若 ，则 ，若 ，则 ， . 10.一元二次方程的实根分布 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 . 依据:若 设 ，则 (1)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ; )方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ; (2 (3)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .