高考数学一轮复习 第14章 算法的含义及流程图配套文档 理 苏教版

高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学一轮复习 第14章 算法的含义及流程图配套文档 理 苏教版 第十四章 算法初步、推理与证明、复数 第1讲 算法的含义及流程图 对应学生 用书P201 考点梳理 1(算法与流程图 (1)算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成( (2)设计算法要注意的问题 ?认真分析问题，找出解决此问题的一般方法( ?借助有关的变量或参数对算法加以表述( ?将解决问题的过程划分为若干步骤( ?用简练的语言将各个步骤表示出来( (3)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序. 程序框 名称 功能 终端框(起止框) 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息 处理(执行)框 赋值、计算 判断框 根据条件决定执行两条路径中的某一条 2.三种基本逻辑结构 (1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构( 其结构形式为 (2)选择结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，也称为分支结构( 其结构形式为 (3)循环结构是指在算法中，需要重复执行同一操作的结构( 反复执行的处理步骤称为循环体(循环结构又分为当型和直到型(循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题常常需要用循环结构来设计算法( 其结构形式为 【助学?微博】 一个复习指导 算法初步是必考内容之一，试题难度不大，属基础题，以填空题形式出现，主要考查流程图知识，但往往与其他章节知识结合，常与数列等知识融合在一起( 两种循环语句的区别 在当型语句中，是当条件满足时执行循环体，而在直到型语句中是当条件不满足时执行循环体，二者是有区别的，在解决问题时用两种循环语句编写应注意条件的不同( 考点自测 1(阅读如图所示的流程图，若输入的x是2，则输出的值为________( 解析 ?2>0，故输出的值为1. 答案 1 2(如图所示的是一个算法的流程图，已知a,3，输出的结果为7，则a的值是________( 12解析 已知图形是一个顺序结构的框图，表示的算法的功能是求两数a、a的算术平均数，12 a，a12已知a,3，输出结果为7，有,7，解得a,11. 122 答案 11 3((2012?泰州模拟)如图是一个算法的流程图，则输出a的值是________( 8解析 a,log256,log2,8,2;a,log8,3,2; 222 a,log3,2，所以输出a,log3. 22 答案 log3 2 4((2011?湖南卷)若执行如图所示的框图，输入x,1，x,2，x,4，x,8，则输出的1234数为________( 1，2，4，8解析 解读框图可知，本题的实质是求4个数x，x，x，x的平均数，其平均数为1234415,. 4 15答案 4 5. (2011?课标全国卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ________( 解析 当输入的N是6时，由于k,1，p,1，因此p,p?k,1.此时k,1，满足k<6.故 k,k，1,2. 当k,2时，p,1?2，此时满足k<6， 故k,k，1,3. 当k,3时，p,1?2?3，此时满足k<6，故k,k，1,4. 当k,4时，p,1?2?3?4，此时满足k<6，故k,k，1,5. 当k,5时，p,1?2?3?4?5， 此时满足k<6，故k,k，1,6. 当k,6时，p,1?2?3?4?5?6,720， 此时k<6不再成立，因此输出p,720. 答案 720 对应学生 用书P202 考向一 算法的意义与设计及顺序结构的应用 【例1】 已知点P(x，y)和直线l:Ax，By，C,0，求点P(x，y)到直线l的距离d，写出其算0000 法并画出流程图( 解 算法如下: 第一步，输入x，y及直线方程的系数A，B，C. 00 第二步，计算Z?Ax，By，C. 100 22第三步，计算?，. ZAB2 Z||1第四步，计算d?. Z2 第五步，输出d. 该算法对应的流程图如图所示: [方法总结] 给出一个问题，设计算法应注意: (1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法; (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况; (3)将解决问题的过程划分为若干个步骤; (4)用简练的语言将各个步骤表示出来( 【训练1】 2已知f(x),x,2x,3.求f(3)、f(,5)、f(5)，并计算f(3)，f(,5)，f(5)的值(设计 出解决该问题的一个算法，并画出流程图( 解 算法如下: S1 x?3. 2S2 y?x,2x,3. 1 S3 x?,5. 2S4 y?x,2x,3. 2 S5 x?5. 2S6 y?x,2x,3. 3 S7 y?y，y，y. 123 S8 输出y，y，y，y的值( 123 该算法对应的流程图如图所示: 考向二 算法的选择结构 ,2 ,>0,，xx,,0 ,x,0,，【例2】 已知函数y, , ,2x ,x<0,，, 写出求该函数的函数值的算法及流程图( 解 算法如下: S1 输入x; S2 如果x>0，转S3，如果x,0，转S4，否则转S5; S3 y?,2x; S4 ?0; y S5 y?2x; S6 输出y. 相应的流程图如图所示: [方法总结] 利用选择结构解决算法问题时，要引入判断框，要根据题目的要求引入一个 或多个判断框(而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作也相应地进行变 化，故应逐个分析判断框内的条件( 【训练2】 (1)如图(1)是某个函数求值的流程图，则满足该程序的函数解析式为________( (2)(2010?山东卷)执行如图(2)所示的流程图，若输入x,4，则输出y的值为________( 解析 (1)依题意得当x<0时，f(x),2x,3; 当x?0时，f(x),5,4x. ,2x,3，x<0,,因此(),fx. 5,,4x，x?0, (2)当x,4时，y,1，不满足|y,x|<1， 因此由x,y知x,1. 1,1时，,,，不满足|,|<1， 当xyyx2 1因此由x,y知x,,. 2 15当x,,时，y,,， 24 15,,此时，,，<1成立( ,42, ,2x,3，x<0,5,答案 (1)f(x), (2), 45,4,x，x?0, 考向三 算法的循环结构 1111【例3】 设计算法求，，，„，的值，并画出流程图( 1?22?33?42 011?2 012 解 算法如下: S1 S?0，i?1; S2 如果i?2 011，则转S3，否则，转S5; 1S3 S?S，; i,i，1, S4 i?i，1，转S2; S5 输出S. 流程图: 法一 当型循环流程图: 法二 直到型循环流程图: [方法总结] 利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构;第二要注意根据条件，设计合理的计数变量、累加变量等，特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次循环或少一次循环的情况( 【训练3】 (1)(2012?江苏卷)如图(1)是一个算法流程图，则输出的k的值是________( (2)(2011?浙江卷)某流程图如图(2)所示，则该程序运行后输出的k的值是________( 2解析 (1)?条件语句为k,5k，4>0，即k<1或k>4. ?当k,5时，满足此条件，此时输出5. 34(2)初始值:k,2，执行“k,k，1”得k,3，a,4,64，b,3,81，a>b不成立; 44k,4，a,4,256，b,4,256，a>b不成立; 54k,5，a,4,1 024，b,5,625，a>b成立， 此时输出k,5. 答案 (1)5 (2)5 对应学生 用书P203 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答24 算法流程图的识别与读取 2014年高考，算法初步为必考知识，估计试题难度为中、低档题，一般是以流程图为考查重点，考查对算法思想和流程图的应用( 【示例】 (2012?山东卷改编)执行右面的程序框图，如果输入a,4，那么输出的n的值为________( [审题路线图] (1)这是一个累加求和的当型循环结构( (2)P、Q是累加变量，n是计数变量( 0 [解答示范] n,0，P,0，4,1，Q,2，1,3; 1n,1，P,1，4,5，Q,6，1,7; 2n,2，P,5，4,21，Q,14，1,15;n,3，P>Q.故n值为3.(5分) [点评] (1)在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量是用什么字母表示的，再把这两个变量的变化规律弄明白，就能理解这个流程图的功能了，问题也就清楚了( (2)在解决带有循环结构的流程图问题时，循环结构的终止条件是至关重要的，这也是考生非常容易弄错的地方，考生一定要根据问题的情境弄清楚这点( 高考经典题组训练 1((2012?福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________( 解析 第1次s,1，k,1; 第2次s,1，k,2，; 第3次s,0，k,3; 第4次s,,3，k,4. 结束( 答案 ,3 2((2012?浙江卷)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________( 1111解析 第1次，T,1，第2次，T,，第3次，T,，第4次，T,，第5次，T,，2624120i,6结束( 1答案 120 3((2012?安徽卷改编)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________( 解析 1 2 4 8 x y 1 2 3 4 答案 4 4((2012?湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s,________. 解析 第1次，n,1，s,1，a,3， 第2次，n,2，s,4，a,5， 第3次，n,3，s,9，输出s,9. 答案 9 5((2010?江苏卷)如图是一个算法的流程图，则输出S的值是________( 解析 执行过程如下表: 12345S 1 1，2,3 3，2,7 7，2,15 15，2,31 31，2,63 n 1 2 3 4 5 24251，2，2，„，2,31<33，输出S,1，2，2，„，2,63. 答案 63 对应学生 用书P377 分层训练A级 基础达标演练 (时间:30分钟 满分:40分) 1(关于流程图的图形符号的理解，正确的是________(填序号)( ?任何一个流程图都必须有起止框; ?输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框之前; ?判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号; ?对于一个流程图来说，判断框内的条件是唯一的( 解析 任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框;输入和输出可以放在算法中任何需要输入、输出的位置;判断框内的条件不是唯一的，如a>b，亦可写为a?b.故只有??对( 答案 ?? 2((2011?天津卷改编)阅读如图所示流程图，运行相应的程序，若输入x的值为,4，则输出y的值为________( 解析 当x,,4时，|x|,4>3，x赋值为x,|,4,3|,7>3，?x赋值为x,|7,3|,4>3， 1x再赋值为x,|4,3|,1<3，则y,2,2，输出2. 答案 2 3((2012?盐城市期末考试)执行如图所示的流程图，则输出的y的值是________( 2,2解析 当x,16时，经循环得x,4，再循环得x,2，此时不满足x>2，故y,e,1. 答案 1 4.执行如图所示流程图，得到的结果是________( 1117解析 由题意，得S,，，,. 2488 7答案 8 5((2013?无锡调研)某算法的流程图如图所示，若输入a ,4，b,2，c,6，则输出的结果为________( 解析 原执行程序是在输入的a，b，c中，选出最大的 数， ?结果为6. 答案 6 (第4题图) 6((2012?南通调研一)如图是求函数值的算法流程图，当输入值为2时，则输出值为 ________( 解析 本题的流程图其实是一个分段函数 ,2x,3，x<0，,,y, 5,4x，x?0.,, 当输入x,2时，y,5,4?2,,3. 答案 ,3 7((2011?天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为________( 解析 第一次运行结束:i,1，a,2; 第二次运行结束:i,2，a,5; 第三次运行结束:i,3，a,16; 第四次运行结束:i,4，a,65，故输出i,4. 答案 4 8((2012?天津卷改编)阅读如图算法流程图，运行相应的程序，当输入x的值为,25时，输出x的值为________( 解析 当输入x,,25时，|,25|>1成立，因此x,|,25|,1,4，x,4时，|4|>1成立，因此x,|4|,1,1;x,1时，1>1不成立，因此x,2?1，1,3，输出x为3. 答案 3 分层训练B级 创新能力提升 1((2011?江西卷)如图是某算法的流程图，则程序运行后输出的结果是________( 1解析 n,1，s,0，(,1)，1,0， 2n,2时，s,0，(,1)，2,3， 3n,3时，s,3，(,1)，3,5， 4n,4时，s,5，(,1)，4,10>9， 故运行输出结果为10. 答案 10 2((2011?陕西卷)如图中，x，x，x为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为123 该题的最终得分，当x,6，x,9，p,8.5时，x等于________( 123 6，x3解析 由题意知,x,6，x,9，此时|x,x|,3>2，若|x,6|<|x,9|，则p,8.5，1212332 x，93解得x,11，不满足|x,6|<|x,9|，舍去;若|x,6|?|x,9|，则p,,8.5，333332解得x,8，符合题意( 3 答案 8 3((2011?辽宁卷改编)执行如图流程图，如果输入的n是4，则输出的p是________( 解析 由k,1，n,4，知1<4?p,1,0，1?s,1，t,1?k,2?2<4?p,1，1,2?s 否,1，t,2?k,3?3<4?p,1，2,3?s,2，t,3?k,4?4<4――?输出p,3. 答案 3 4((2010?广东卷)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水 管理办法 关于高温津贴发放的管理办法稽核管理办法下载并购贷款管理办法下载商业信用卡管理办法下载处方管理办法word下载 ，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x，„，x(单位:吨)( 1n根据如图所示的程序框图，若n,2，且x，x分别为1,2，则输出的结果s为________( 12 解析 当i,1时，s,1，s,1，s,1?(1,1),0，当i,2时，s,3，s,1，4,5，1212 111,,s,?5,?9,. 2,2,4 1答案 4 5((2012?苏州调研一)如图是一个算法的流程图，则最后输出W的值是________( 解析 由流程图，执行过程为: S 0 1 3 6 10 T 1 2 3 4 W,S，T,14 故输出W的值为14. 答案 14 6((2012?泰州调研二)2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园(在如图所示的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的处理框内应填________( 解析 框图表示的是每天入园参观的人数统计，报道的入园总人数的时间为整点，但入园的时间有整点入园和非整点入园(举例说明如11点报道的入园人数为10点钟以后到11点整入园的人数与之前入园的人数之和( 答案 S?S，a 1117((2011?苏锡常镇调研)如图给出的是计算1，，，„，的值的一个流程图，其中判断3519框内应填入的条件是________( 解析 按算法的运算本质，执行到n,19时，结束输出(即: 11111S 0 1 „ 1， 1，， 1，，„， 335319 n 1 3 5 7 „ 21 i 1 2 3 4 „ 11 可知判断框内为i>10. 答案 i>10 8.(2011?湖南卷)若执行如图所示的流程图，输入x,1，1 x,2，x,3，x,2，则输出的数为________( 23 解析 通过流程图可以看出本题的实质是求数据x，1 12x，x的方差，根据方差公式，得S,[(1,2)，(2,233 2222)，(3,2)],. 3 2答案 3 特别提醒:教师配赠习题、 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计?高考总 复习》光盘中内容. 第2讲 基本算法语句 对应学生 用书P204 考点梳理 1(基本算法语句 五种基本算法语句分别是赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句( 2(赋值语句、输入语句、输出语句 赋值语句用符号“?”表示，其一般格式是变量?表达式(或变量)，其作用是对程序中的变量赋值;输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次递给a，b，输出语句“Print x”表示输出运算结果x. 3(算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If,Then,Else语句， A ThenIf B Else其格式是对应的流程图为 C End If 另一种是If,Then语句，其格式是If A Then B End If，对应的流程图为. 4(算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现( (1)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示 “For”语句的一般形式为 For I From“初值”To“终值”Step“步长” 循环体 End For 对应的流程图为 说明:上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1. (2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构( While p 循环体当型语句的一般格式是 End While 对应的流程图为 Do 循环体直到型语句的一般格式是 Until p End Do 对应的流程图为 【助学?微博】 关于赋值语句，有以下几点需要注意: (1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3?m是错误的( (2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y?x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x?Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值( (3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“?”( 考点自测 1((课本改编题)阅读右面伪代码，则输出的结果为________( a，b,,解析 a,5，b,3，c,,4. 2 答案 4 2((2012?南通一模)计算机执行下面的伪代码后，输出的结果是________( 解析 a,3，1,4，b,4,3,1. 答案 4,1 3(当a,1，b,3时，执行以下伪代码输出的结果为________( 解析 因为1<3满足a1 000的最小自然数n的值( 23n 111解 本题不等号的左边1，，，„，是有规律的累加，故可引入和变量S，转化为求23n S>1 000的最小自然数n的值，故可以用“While S?1 000”来控制循环( 伪代码如下: 错误! [方法总结] 通过本题掌握While语句的特点，注意与For语句的区别(在设计算法时要注意循环体的构成，不能颠倒( 【训练3】 某算法的伪代码如下: 错误! 则输出的结果是________( 解析 伪代码所示的算法是一个求和运算( 50答案 101 对应学生 用书P206 规范解答25 算法语句的识别与读取 结合江苏高考以及实施新课标省份的高考试题来看，对算法的考查深度、难度并不大(考查基本上集中在两个方面:一是流程图表示的算法;二是伪代码表示的算法( 【示例】 (2011?江苏卷)根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值是________( [审题路线图] (1)本题是一个含条件语句的伪代码((2)利用流程图和伪代码的关系、算法语句的意义解题( [解答示范] 由题意知，m为a，b中的最大值，故最后输出的m值为3. Read a，b If a>b Then m?a Else m?b End If Print m (5分) [点评] 计算机在执行条件语句时，首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then后的语句1，若条件不符合，对于If—Then—Else语句就执行Else后的语句2，然后结束这一条件语句(对于If—Then语句，则直接结束该条件语句( 高考经典题组训练 1(下列伪代码的运行结果是________( a?3 b?5 Print a，b 答案 8 2((2012?无锡模拟)当x,3时，下面算法输出结果是________( 解析 这是一个条件语句，x,3满足x<10，所以y,2x,6. 答案 6 3(下面伪代码运行后输出的结果为________( 解析 由于x,5，所以条件不满足，程序执行Else语句后面的y,y，3，所以y,,17，从而得x,y,5,(,17),22;y,x,,17,5,,22. 答案 22，,22 4(为了在运行下面的伪代码后输出y,16，应输入的整数x的值是________( 222解析 当x<0时，由(x，1),16得x,,5;当x?0时，由1,x,16得x,,15，矛盾( 答案 ,5 5((2013?南京外国语学校调研)如图所示的伪代码的输出结果为________( 解析 S,1，1，3，5，7，9,26. 答案 26 对应学生 用书P379 分层训练A级 基础达标演练 (时间:30分钟 满分:60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1(按照下面的算法进行操作: S1 x?2.35 S2 y?Int(x) S3 Print y 最后输出的结果是________( 解析 Int(x)表示不大于x的最大整数( 答案 2 2(下面是一个算法的伪代码，如果输入的的值是20，则输出的的值是________( xy解析 ?x,20>5， ?执行赋值语句y,7.5x,7.5?20,150. 答案 150 Read x x Read If x?5 Then If x<3 Then y?10x y?2x Else Else y?7.5x If x>3 Then 2End If y?x,1 Print y Else y?2 End If End If Print y (第2题图) (第3题图) 3(以上给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是________( 2x，x<3,,2，x,3答案 求下列函数当自变量输入值为x时的函数值f(x)，其中f(x), , 2,x,1，x>3, 4((2013?南通调研)根据如图的算法，输出的结果是________( S?0 For I From 1 to 10 S?S，I End For Print S End 10?11解析 S,1，2，3，„，10,,55. 2 答案 55 5((2012?苏州调研)根据如图所示的伪代码，最后输出的t,________. 解析 由题意，得t,1，3，5，7，9,25. 答案 25 it?1 ?1 i?3 While i<8 While i<10 i?i，2 t?t，i S?2i，3 ?，2 End while ii End while Print S Print t (第5题图) (第6题图) 6((2012?苏北四市质检(一))根据如图所示的伪代码，可知输出的S,________. 解析 i,1时第一次循环:i,3，S,9;第二次循环:i,5，S,13;第三次循环:i,7， S,17;第四次循环:i,9，S,21，此时不满足条件“i<8”，停止循环，输出S,21. 答案 21 二、解答题(每小题15分，共30分) x，3,x,0,，,,0,x,0,，7(已知分段函数y,x的值，输出其相应的编写伪代码，输入自变量, ,x，8,x,0,，, y值，并画出流程图( 解 伪代码如下: 流程图如下: Read x If x,0 Then y?x，3 Else If x,0 Then y?0 Else y?x，8 End If End If Print y 2348(用伪代码写出求1，3，3，3，3的值的算法( 解 S?0 For From 0 to 4 Step 1II ?，3SS End For Print S 创新能力提升 分层训练B级 1((2012?盐城调研)如图所示的伪代码运行的结果为________( 解析 a,1，1,2，b,2，1,3，c,2，3,5; a,2，3,5，b,5，3,8，c,5，8,13; a,5，8,13，b,13，8,21，c,13，21,34. 答案 34 Ia?1 ?1 While b?1 I<8 While b<15 S?2I，3 a?a，b I?I，2 b?a，b End While c?a，b Print S，I End While Print c (第1题图) (第2题图) 2((2012?高邮模拟)根据如图所示伪代码，可知输出结果S,________，I,________. 解析 S,2?7，3,17，I,7，2,9. 答案 17 9 3((2012?泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________( ?1a b?2 I?2 While I?6 a?a，b b?a，b I?I，2 End While Print b解析 流程图的执行如下: 11，2,33，5,88，13,21 a b 2 3，2,5 8，5,13 21，13,34 22，2,44，2,66，2,8 I 当I,8时，b,34，退出循环( 答案 34 4((2012?南京调研)写出下列伪代码的运行结果( i?0 ?0 i S?0 S?0 While S?20 While S?20 S?S，i i?i，1 i?i，1 S?S，i End While End While Print i Print i (图1) (图2) (1)图1的运行结果为________; (2)图2的运行结果为________( 解析 (1)图1的伪代码是先执行S?S，i，后执行i?i，1 i,1,i,?S,0，1，2，„，(i,1),i的最小值为7. >20，?2 (2)图2的伪代码是先执行i?i，1，后执行S?S，i， i,i，1,?S,0，1，2，„，i,>20.?i的最小值为6. 2 答案 (1)7 (2)6 5((2012?常州调研)根据下列伪代码画出相应的流程图，并写出相应的算法( S?1 n?1 While S<1 000 S?S?n n?n，1 End While Print n 解 流程图如图: 算法如下: S1 S?1; S2 n?1; S3 如果S<1 000，那么S?S?n，n?n，1，重复S3; S4 输出n. 6((2012?苏北四市调研)设计算法，求1,3，5,7，„,99，101的值，用伪代码表示( 解 用“For”语句表示， S?1 a?1 For I From 3 To 101 Step 2 a?a?,,1, S?S，a?I End For Print S 用“While”语句表示， S?1 I?3 a?1 While I?101 ??,,1,aa ?，?SSaI I?I，2 End While Print S 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计?高考总 复习》光盘中内容. 第3讲 合情推理与演绎推理 对应学生 用书P207 考点梳理 1(归纳推理 (1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理(或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)( (2)归纳推理的特点 ?归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理; ?归纳推理的结论不一定为真; ?归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠( 2(类比推理 (1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理(类比推理是两类事物特征之间的推理( (2)类比推理的特点 ?类比推理是由特殊到特殊的推理; ?类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假; ?类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠( 3(演绎推理 (1)定义:演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的 推理过程( (2)演绎推理的特点 ?演绎推理是由一般到特殊的推理; ?当前提为真时，结论必然为真( (3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为: ?大前提——已知的一般原理; ?小前提——所研究的特殊情况; ?结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断( 【助学?微博】 一个命题解读 本部分内容是新课标内容，高考考查的几率非常大(对归纳推理与类比推理仍会以填空形式考查，主要是由个别情况归纳出一般结论，或运用类比的形式给出某个问题的结论(而演绎推理以解答题出现的可能性较大，因此要求学生具备一定的逻辑推理能力( 两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明( (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性( 考点自测 1((2012?盐城市第一学期摸底考试)在平面上，若两个正方形的边长的比为1?2，则它们的面积比为1?4;类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1?2，则它们的体积比为________( 解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得( 答案 1?8 2(给出下列三个类比结论( nnnnnnn?(ab),ab与(a，b)类比，则有(a，b),a，b; ?log(xy),logx，logy与sin(α，β)类比，则有sin(α，β),sin αsin β; aaa 2222222?(a，b),a，2ab，b与(a，b)类比，则有(a，b),a，2a?b，b. 其中结论正确的序号是________( 答案 ? 1xx,,3(“因为指数函数y,a是增函数(大前提)，而y,是指数函数(小前提)，所以函数,3, 1,,xy,是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________错误导致结论错( ,3, x解析 “指数函数y,a是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值 范围没有确定，所以导致结论是错误的( 答案 大前提错 332,3332,333324((2010?陕西卷)观察下列等式:1，2,31，2，3,61，2，3，4,10，„，根据上述规律，第五个等式为________( 3322,33322,33332解析 1，2,3,(1，2)1，2，3,6,(1，2，3)1，2，3，4,10,(1，2，3， n,n，1,233322，，4)，则1，2，„，n,(1，2，„，n),，故第五个等式即为当n,6时，，2， 6?733333322,,1，2，3，4，5，6,,21. ,2, 3333332答案 1，2，3，4，5，6,21 5((2011?盐城调研)观察下列几个三角恒等式: ?tan 10?tan 20?，tan 20?tan 60?，tan 60?tan 10?,1; ?tan 5?tan 100?，tan 100?tan(,15?)，tan(,15?)tan 5?,1; ?tan 13?tan 35?，tan 35?tan 42?，tan 42?tan 13?,1. 一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________( 解析 由于三个等式中，角度之间满足10?，20?，60?,90?，5?，100?,15?,90?，13?，35?，42?,90?.于是通过类比可得( 答案 当α，β，γ,90?时，tan αtan β，tan βtan γ，tan γtan α,1对应学生 用书P207 考向一 归纳推理 【例1】 观察下列等式: 31,1，1,1， 331，2,3，1，2,9， 3331，2，3,6，1，2，3,36， 33331，2，3，4,10，1，2，3，4,100， 333331，2，3，4，5,15，1，2，3，4，5,225. 3333*可以推测:1，2，3，„，n,________(n?N，用含有n的代数式表示)( 解析 第二列等式的右端分别是1?1,3?3,6?6,10?10,15?15，?1,3,6,10,15，„第n项a，与第n,1项a(n?2)的差为:a,a,n，?a,a,2，a,a,3，a,a,4，„，nn,1nn,1213243a,a,n，各式相加得， nn,1 n,n，1,122a,a，2，3，„，n，其中a,1，?a,1，2，3，„，n，即a,，?a,n(nn11nnn24 2，1). 122答案 n(n，1) 4 [方法总结] 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化 规律，从而得到一般结论( x【训练1】 (2011?山东)设函数f(x),x>0)，观察: (，2x xf(x),f(x),， 1，2x xf(x),f(f(x)),， 213x，4 xf(x),f(f(x)),， 327x，8 x),()),f(xff(x， 4315x，16 „„ 根据以上事实，由归纳推理可得: *当?N且?2时，(),()),________. nnfxff(xnn,1 xx解析 由f(x),x>0)得，f(x),f(x),(， 1，2，2xx xxf(x),f(f(x)),,， 21223x，4,2,1,x，2 xxf(x),f(f(x)),,， 32337x，8,2,1,x，2 xxf(x),f(f(x)),， ,434415x，16,2,1,x，2 „„ x*?当n?2且n?N时，f(x),f(f(x)),. nn,1nn,2,1,x，2 x答案 nn,2,1,x，2 考向二 类比推理 【例2】 在平面几何里，有“若?ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三 1角形面积为S,(a，b，c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四?ABC2 个面的面积分别为S，S，S，S，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”( 1234 解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内 111切圆半径类比为内切球的半径(二维图形中类比为三维图形中的，得V,(S，四面体ABCD1233S，S，S)r. 234 1答案 V,(S，S，S，S)r 四面体ABCD12343 [方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能( 【训练2】 (2012?盐城模拟)记等差数列{a}的前n项和为S，利用倒序求和的方法，nn n,a，a,1n可将S表示成首项a、末项a与项数n的一个关系式，即公式S,;类似地，n1nn2 *记等比数列{b}的前n项积为T，且b>0(n?N)，试类比等差数列求和的方法，可将Tnnnn表示成首项b、末项b与项数n的一个关系式，即公式T,________. 1nn 解析 利用等比数列性质，即若m，n,p，q，则b?b, mn n2nb?b，得T,(bb„b)?(bb„bb),(bb)，即T,(bb). pqn12nnn,1211nn1n2 n)答案 (bb1n2 考向三 演绎推理 n，2S【例3】 数列{a}的前n项和记为S，已知a,1，a,(n?N)，证明: nn1n，1n，n ,,Sn,,(1)数列是等比数列; n,, (2)S,4a. n，1n n，2S证明 (1)?a,S,S，a,， n，1n，1nn，1nn ?(n，2)S,n(S,S)，即nS,2(n，1)S. nn，1nn，1n SSn，1n?,2?，(小前提) n，1n ,,Sn,,故是以2为公比的等比数列((结论) n,, (大前提是等比数列的定义，这里省略了) SSn，1n,1(2)由(1)可知n?2)， ,4?(n，1n,1 Sn,1，2n,1?S,4(n，1)?,4??S n，1n,1n,1n,1 ,4a(n?2)(小前提) n 又a,3S,3，S,a，a,1，3,4,4a，(小前提) 212121 ?对于任意正整数n，都有S,4a(结论) n，1n (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) [方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论，应用三段论解决问 题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略( x,1 2【训练3】 已知函数f(x),x?R)， (x2，1 (1)判定函数f(x)的奇偶性; (2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明( ,xxx2,11,22,1解 (1)对?x?R有,x?R，并且f(,x),,,,,,f(x)，所以f(x),xxx2，11，22，1是奇函数( (2)f(x)在R上单调递增，证明如下: 任取x，x?R，并且x,x， 1212 x,1x,12212((fx),fx),, 12，，2x12x112 ,2x,1,,2x，1,,,2x,1,,2x，1,1221, ,2x，1,,2x，1,12 2,2x,2x,12,. ,2x，1,,2x，1,12 ?x,x，?2x,2x,0， 1212 即2x,2x,0，又?2x，1,0,2x，1,0. 1212 2,2x,2x,12?,0. ,2x，1,,2x，1,12 ?f(x),f(x)( 12 ?f(x)在R上为单调递增函数( 考向四 推理的应用 22xy【例4】 (2012?无锡第一学期期末考试)命题p:已知椭圆，,1(a>b>0)，F，F是1222ab椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F作?FPF的外角平分线的垂线，垂足212 22xy为M，则OM的长为定值(类比此命题，在双曲线中也有命题q:已知双曲线,,1(a>0，22abb>0)，F，F是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F作?FPF的________12212的垂线，垂足为M，则OM的长为定值( 解析 对于椭圆，延长FM与FP的延长线交于Q.由对称性知，M为FQ的中点，且PF2122 1,PQ，从而OM?FQ且OM,FQ.而FQ,FP，PQ,FP，PF,2a，所以OM,a.对于双曲线，1111122 过点F作?FPF内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM,a. 212 答案 内角平分线 [方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律(类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应(平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应(椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系( kkkk【训练4】 (2012?常州一中期中)记S,1，2，3，„，n，当k,1,2,3，„时，观察k 下列等式: 112,， Sn，n122 11132S,n，n，n， 2326 111432S,n，n，n， 3424 1111543S,n，n，n,n， 452330 156542S,An，n，n，Bn， 5212 „ 可以推测，A,B,________. 11,A,，,A,，,,66解析 由题意，得? ,,151 A，，，B,1，B,,.,,,,21212 111?A,B,，,. 6124 1答案 4 对应学生 用书P209 热点突破35 高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理与类比推理( 一、归纳推理 【示例】 (2011?陕西卷)观察下列等式: 1,1 2，3，4,9 3，4，5，6，7,25 4，5，6，7，8，9，10,49 „„ 照此规律，第n个等式应为________________( [审题与转化] 第一步:等式左端第一个数的特点是该行的行数，且连续2n,1个数相 2,2,2,2加，右端为1357. [规范解答] 第二步:由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n 2,1个整数相加，右边为(2n,1)，故第n个等式为n，(n，1)，(n，2)，„，(3n,2) 2,(2n,1). 反思与回顾] 第三步:对有限的条件进行观察、分析、归纳、整理，提出带有规律性 [ 的结论，即猜想，最后检验猜想( 二、类比推理 【示例】 (2009?浙江卷)设等差数列{a}的前n项和为S，则S，S,S，S,S，S,nn48412816S成等差数列(类比以上结论有:设等比数列{b}的前n项积为T，则T，________，12nn4 T16________，成等比数列( T12 [审题与转化] 第一步:观察等差数列{a}前n项和S的特点( nn [规范解答] 第二步:由等差数列“S，S,S，S,S，S,S”中的“差”，类比到4841281612 TTT81216等比数列中的“商”(故可得T，，，成等比数列( 4TTT4812 反思与回顾] 第三步:类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的 [ 某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明( 高考经典题组训练 22334451((2012?江西卷改编)观察下列各式:a，b,1，a，b,3，a，b,4，a，b,7，a 51010，b,11，„，则a，b,________. 221010解析 法一 由a，b,1，a，b,3得ab,,1，代入后三个等式中符合，则a，b,55255(a，b),2ab,123. nn法二 令a,a，b，则a,1，a,3，a,4，a,7，„得a,a，a，从而a,18，n1234n，2nn，16a,29，a,47，a,76，a,123. 78910 答案 123 2((2012?陕西卷)观察下列不等式 131，<， 222 1151，，<， 22233 11171，，，<， 2222344 „„ 照此规律，第五个不等式为________________( 解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对 1111111应项数，故应填1，，，，，<. 22222234566 1111111，，，，，< 答案 122222234566 2433((2010?山东卷改编)观察(x)′,2x，(x)′,4x，(cos x)′,,sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(,x),f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(,x),________. 解析 归纳类比，得偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，从而有g(,x),,g(x)( 答案 ,g(x) 4((2012?福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数: 22?sin 13?，cos 17?,sin 13?cos 17?; 22?sin 15?，cos 15?,sin 15?cos 15?; 22?sin 18?，cos 12?,sin 18?cos 12?; 22?sin (,18?)，cos 48?,sin(,18?)cos 48?; 22?sin(,25?)，cos 55?,sin(,25?)cos 55?. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论( 解 法一 (1)选择?式，计算如下: 11322sin15?，cos15?,sin 15?cos 15?,1,sin 30?,1,,. 244 322(2)三角恒等式为sinα，cos(30?,α),sin αcos(30?,α),. 4 证明如下: 222sinα，cos(30?,α),sin αcos(30?,α),sinα，(cos 30?cos α，sin 3322230?sin α),sin α(cos 30?cos α，sin 30?sin α),sinα，cosα，sin 42 13122αcos α，sinα,sin αcos α,sinα 422 33322,sinα，cosα,. 444 法二 (1)同法一( 322(2)三角恒等式为sinα，cos(30?,α),sin αcos(30?,α),. 4 证明如下: 1,cos 2α1，cos,60?,2α,22sinα，cos(30?,α),sin αcos(30?,α),，,22 1111sin α(cos 30?cos α，sin 30?sin α),,cos 2α，，(cos 60?cos 2α，sin 2222 60?sin 2α), 3111112sin αcos α,sinα,,cos 2α，，cos 2α， 222224 331sin 2α,sin 2α,(1,cos 2α) 444 1113,1,cos 2α,，cos 2α,.4444 对应学生 用书P381 分层训练A级 基础达标演练 (时间:30分钟 满分:60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1((2013?金陵中学模拟)观察下列各式9,1,8,16,4,12,25,9,16,36,16,20，„， 这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________( 22222解析 9,1,(1，2),1,4(1，1)，16,4,(2，2),2,4(2，1)，25,9,(3，2),222223,4(4，1)，36,16,(4，2),4,4?(5，1)，„，一般地，有(n，2),n,4(n，1)(n *?N)( 22*答案 (n，2),n,4(n，1)(n?N) 2((2011?南京模拟)在共有2 013项的等差数列{a}中，有等式(a，a，„，a),(a，n132 0132a，„，a),a成立;类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b}中，相应的有42 0121 007n等式________成立( 解析 将等式中加、减换成乘除可得 ???„?bbbb1352 011,b. 1 006b?b?b?„?b2462 010 b?b?b?„?b1352 011答案 ,b 1 006b?b?b?„?b2462 010 3((2012?苏锡镇调研(一))若等差数列{a}的首项为a，公差为d，前n项的和为S，则数n1n,,SSdnn,,列为等差数列，且通项为,a，(n,1)?.类似地，若各项均为正数的等比数列{b}1nnn2,, n的首项为b，公比为q，前n项的积为T，则数列{}为等比数列，通项为________( T1nn nn,1解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得,b(q). Tn1 nn,1答案 ,b(q) Tn1 4((2011?常州七校联考)如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的 f,x,，f,x,，„，f,x,x，x，„，x12n12n,,x，x，„，x，有?f成立(已知函数y12nn,n,,sin x在区间[0，π]上是“凸函数”，则在?ABC中，sin A，sin B，sin C的最大值是________( 解析 由凸函数定义，知sin A，sin B，sin C? A，B，C3,,3sin,3. ,3,2 3答案 3 2 *5((2011?南京外国语调研)将正奇数排列如图形式，其中第i行第j个数表示a(i?N，jij *?N)，例如a,9，若a,2 009，则i，j,________. 32ij 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 „ 解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i行(其中i i,i,1,i,i，1,*?N)，则1，2，3，„，(i,1),,1 005?，且1，2，3，„，i,22,1 005?; 验证i,45时，??式成立，所以i,45;第45行第1个奇数是2?44?452，1,1 981，而1 981，2(j,1),2 009，?j,15;所以，2 009在第45行第15个数，则i，j,60; 答案 60 22226((2012?镇江调研一)圆x，y,r在点(x，y)处的切线方程为xx，yy,r，类似地，可0000 22xy以求得椭圆，,1在(2,1)处的切线方程为________( 82 xxyy00解析 由类比结构可知，相应的切线方程为:，,1， 82 xy代入点坐标，所求切线方程为:，,1. 42 xy答案 ，,1 42 二、解答题(每小题15分，共30分) 7(平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中:(1)三角形两 1边之和大于第三边;(2)三角形的面积S,?底?高;(3)三角形的中位线平行于第三边2 1且等于第三边的;„„ 2 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论( 解 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1(2)四面体的体积V,?底面积?高; 3 1(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的. 4 8(定义“等和数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和(已知数列{a}是等和数列，且an1,2，公和为5，(1)求a的值;(2)求该数列的前n项和S. 18n 解 (1)由等和数列的定义，数列{a}是等和数列，且a,2， n1 公和为5，易知a,2，a,3(n,1,2，„)，故a,3. 2n,12n18 (2)当n为偶数时， S,a，a，„，a,(a，a，„，a)，(a，a，„，a) n12n13n,124n 5nn,2，2，„，2n;当n为奇数时， ，3，3，„，3,个2个3222 551S,S，a,(n,1)，2,n,. nn,1n222 5n ,n为偶数,，,,2综上所述:S, n,51 n, ,n为奇数,.,,22 分层训练B级 创新能力提升 m14271(已知m,0，不等式x，?2，x，?3，x，?4，可推广为x，?n，1，则m的值为23nxxxx________( 4xx427xxx27解析 x，,，x，,，易得其展开后各项之积为定值1，所以可，，，，，2233x22xx333x mxxxmn猜想出x，,，，„，，，也满足各项乘积为定值1，于是m,n. nnxnnnx n答案 n 2((2010?福建)观察下列等式: 2?cos 2α,2cosα,1; 42?cos 4α,8cosα,8cosα，1; 64232cosα,48cosα，18cosα,1; ?cos 6α, 8642?cos 8α,128cosα,256cosα，160cosα,32cosα，1; 108642?cos 10α,mcosα,1 280cosα，1 120cosα，ncosα，pcosα,1. 可以推测m,n，p,________. 9解析 m,2,512，p,5?10,50. 又m,1 280，1 120，n，p,1,1，?n,,400. 答案 962 3((2011?苏北调研)如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________( 1 2 3 4 5 6 7 „ 3 5 7 9 11 13 „ 8 12 16 20 24 „ „ „ „ 0,1,23解析 观察数表可知，每行数分别构成公差为222，2，„的等差数列，所以第13行 12的公差为2. 0,232,43,5又每行第一个数分别为1,3,2，1?28,2，2?2,20,2，3?248,2，4?2256,2 41211121212，5?2，„故第13行第一个数为2，12?2,7?2，第10个数为7?2，9?2, 121616?2,2. 16答案 2(或65 536) 4((2011?苏锡常镇扬五市调研)已知结论:“在三边长都相等的?ABC中，若D是BC的中 AG点，点G是?ABC外接圆的圆心，则,2”(若把该结论推广到空间，则有结论:“在GD 六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M是?BCD的三边中线交点，O为四面体ABCD外 AO接球的球心，则,________”( OM 解析 如图，设四面体ABCD的棱长为a，则由M是?BCD 36的重心，得BM,a，AM,a，设OA,R，则OB,R，OM33 66,,,,36222,a,R，于是由R,，，解得R,a， ,,,,aa,R34,,,,33 6aAO4所以,,3. OM66a,a34 答案 3 SSSn2n3n5(在等差数列{a}中，S是其前n项的和，则，，成等差数列(在等比数列{b}中写nnn23nnn出类似的结论，并给出证明( 111解 设各项为正数的等比数列中，T是其前n项的积，则(T)，(T)，(T)成等比nn2n3nn2n3n 数列( 此结论是正确的，证明如下: 因为{b}成等比数列，所以有性质: n 若m，n,p，q，则b?b,b?b. mnpq 从而有T,bb„bb„bb„b 3n12n，1n，22n2n，13n ,[(bb„b)(bb„b)](bb„b) 12n2n，12n，23nn，1n，22n ,[(bb)(bb)„(bb)](bb„b) 12n，122n，2n3nn，1n，22n 2223,(b?b„b)(b?b„b),(bb„b)， n，1n，22nn，1n，22nn，1n，22n 11又b>0，所以(T),(bb„b)， n3nn，1n，22n3nn 1111因此有(T)?(T),(bb„b)(bb„b) n3n12nn，1n，22nn3nnn 112,(T),[(T)]， 2n2nn2n 111所以(T)，(T)，(T)成等比数列( n2n3nn2n3n *kk,1k,216((2011?湖南卷改编)对于n?N，将n表示为n,a?2，a?2，a?2，„，a?2012k,1 0，a?2，当i,0时，a,1，当1?i?k时，a为0或1.记I(n)为上述表示中a为0的kiii 0,210个数(例如:1,1?24,1?2，0?2，0?2，故I(1),0，I(4),2)，求 127I(n)(1)的值( I(12)的值;(2)2,n,1 3210解 (1)12,1?2，1?2，0?2，0?2.?I(12),2. (2)I(1),0，I(2),1，I(3),0，I(4),2，I(5),1，I(6),1，I(7),0，I(8),3，I(9) I(1),2，I(10),2，I(11),1，I(12),2，I(13),1，I(14),1，I(15),0，„，又2,00,I(2)I(3)10I(4)I(5)I(6)I(7)2102I(8)2,1,32，2,2，2,3,2，2，2，2,2，2?2，2,(2，1),33,2 I(9)I(10)I(15)321033,I(16)I(17)I(31)，2，2，„，2,2，3?2，3?2，2,(2，1),32，2，„，2,4,I(32)I(33)I(63)5,I(64)I(65)I(127)632，2，„，2,32，2，„，2,3， 7127,1?,1,3()016In,3，3，„?2，3,,1 093. ,1,3n,1 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计?高考总 复习》光盘中内容. 第4讲 直接证明与间接证明 对应学生 用书P210 考点梳理 1(直接证明 (1)综合法定义: 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明(这样的思维方法称为综合法( (2)框图表示:P?Q?Q?Q?Q?Q?„?Q?Q 11223n (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)( (3)分析法定义: 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等(这样的思维方法称为分析法( (4)框图表示:Q?P?P?P?P?P?„? 11223 得到一个明显成立的条件. 2(间接证明 (1)反证法定义: 在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一(我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立(这种证明方法叫作反证法( (2)反证法的证题步骤是: ?作出否定结论的假设; ?进行推理，导出矛盾; ?否定假设，肯定结论( 【助学?微博】 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用( 一个考情解决 直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法，在高考题中无处不在(主要以不等式、立体几何、解析几何、函数等为载体，考查综合法、分析法及反证法(从题型上看，主要以解答题的形式出现，属于中高档题，难度较大( 考点自测 bd1(已知p,ab，cd，q,ma，nc?，(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、qmn 的大小为________( madnbc解析 q, ab，，，cd? ab，2abcd，cd,ab，cd,p. nm 答案 p?q 2(当否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为________( 解析 ?a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数( 答案 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 3(若等差数列{a}中公差d?0，则a，a与a，a的大小关系为________( n1845 解析 ?{a}为等差数列，?a，a,2a，7d，a，a,2a，7d，?a，a,a，a. n1814511845答案 a，a,a，a 1845 4(在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确( 例如:在?ABC中，若AB,AC，P是?ABC内一点，?APB,?APC，求证:?BAP,?CAP，用反证法证明时应分:假设________和________两类( 答案 ?BAP,?CAP ?BAP,?CAP ,,xxxx5((2013?南京29中月考)对于给定的两个函数S(x),e,e，G(x),e，e，则下列运算公式: ?S(x，y),S(x)G(y)，G(x)S(y);?S(x,y),S(x)G(y),G(x)S(y);?2S(x，y),S(x)G(y)，G(x)S(y);?2S(x,y),S(x)G(y),G(x)S(y)(其中正确的是________( x,xy,yx,xy,yx，yx,y,x，y解析 S(x)G(y)，G(x)S(y),(e,e)(e，e)，(e，e)(e,e),e，e,e ,x,yx，yx,y,x，y,x,yx，y,x,y,e，e,e，e,e,2(e,e),2S(x，y)(同理可得2S(x,y),S(x)G(y),G(x)S(y)( 答案 ?? 对应学生 用书P211 考向一 综合法的应用 【例1】 (2011?天津卷)已知数列{a}与{b}满足ba，a，ba,0，b,nnnnn，1n，1n，2n n3，,,1,*，n?N，且a,2，a,4. 122 (1)求a，a，a的值; 345 *(2)设c,a，a，n?N，证明{c}是等比数列( n2n,12n，1n n,1，n为奇数，3，,,1,,*,(1)解 由b,n?N，可得b,， nn 22，,n为偶数., 又ba，a，ba,0， nnn，1n，1n，2 当n,1时，a，a，2a,0，由a,2，a,4，可得a,,3; 123123 当n,2时，2a，a，a,0，可得a,,5; 2344 当n,3时，a，a，2a,0，可得a,4. 3455 *(2)证明 对任意n?N， a，a，2a,0，? 2n,12n2n，1 2a，a，a,0，? 2n2n，12n，2 a，a，2a,0，? 2n，12n，22n，3 ?,?，得a,a，? 2n2n，3 *将?代入?，可得a，a,,(a，a)，即c,,c(n?N)(又c,a，a,,2n，12n，32n,12n，1n，1n113 cn，11，故c?0，因此,,1. ncn 所以{c}是等比数列( n [方法总结] 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立(因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法(其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性( 【训练1】 设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x?z，且y?z，则x?y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)( ?x为直线，y，z为平面;?x，y，z为平面;?x，y为直线，z为平面;?x，y为平面，z为直线;?x，y，z为直线( 解析 ?中x?平面z，平面y?平面z， ?x?平面y或x?平面y. 又?x?平面y，?x?y成立( ?中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故?不成立( ?x?z，y?z，x，y为不同直线，故x?y成立( ?，?，为直线，，为平面可得?，?成立( ?zxzyzxyxy ?x，y，z均为直线x，y可平行、异面、相交，故?不成立( 答案 ??? 考向二 分析法的应用 【例2】 (2011?湖北卷)已知数列{a}的前n项和为S，且满足:a,a(a?0)，a,rS(nnn1n，1n *?N，r?R，r?,1，r?0)( (1)求数列{a}的通项公式; n **(2)若存在k?N，使得S，S，S成等差数列，试判断:对于任意的m?N，且m?2，k，1kk，2 a，a，a是否成等差数列，并证明你的结论( m，1mm，2 11aa解 (1)当n?2时，由a,S,S,,， nnn,1n，1nrr 得(1，r)a,a. nn，1 an，1因为1，r?0，r?0，所以,r，1，所以 an a，a，„，a，„成等比数列， 23n n,2即n?2时，a,r(r，1)a. n ,a，n,1，,,所以a, nn,2 ,r,r，1,a，n?2., *(2)对于任意的m?N，且m?2，a，a，a成等差数列(证明如下: m，1mm，2 当r?0，r?,1时，?S,S，a，a， k，2kk，1k，2 S,S，a. k，1kk，1 *若存在k?N，使得S，S，S成等差数列，则S，S,2S，?2S，2a，a,k，1kk，2k，1k，2kkk，1k，2 2S，即a,,2a. kk，2k，1 *由(1)知，，，aa„，a，„的公比r，1,,2，于是对于任意的m?N，且m?2，a23，1nm ,,2a，从而a,4a， mm，2m ?a，a,2a，即a，a，a成等差数列( m，1m，2mm，1mm，2 *综上，对于任意的m?N，且m?2，a，a，a成等差数列( m，1mm，2 [方法总结] 逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充 分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键( 【训练2】 (2012?盐城二模)对于给定的数列{c}，如果存在实常数p、q，使得c,nn，1 *pc，q对于任意n?N都成立，我们称数列{c}是“优美数列”( nn n*(1)若,2，,3?2，?N，数列{}、{}是否为“优美数列”,若是，指出它对anbnabnnnn 应的实常数p、q，若不是，请说明理由; n*(2)已知数列{a}满足a,2，a，a,3?2(n?N)(若数列{a}是“优美数列”，求数n1nn，1n列{}的通项公式( an *解 (1)?a,2n，则有a,a，2，n?N. nn，1n ?数列{a}是“优美数列”，对应的p、q值分别为1、2; n n*?b,3?2，则有b,2b，n?N. nn，1n ?数列{b}是“优美数列”，对应的p、q值分别为2、0. n (2)?数列{a}是“优美数列”，?存在实常数p、q， n *使得a,pa，q对于任意n?N都成立， n，1n *且有a,pa，q对于任意n?N都成立， n，2n，1 *因此(a，a),p(a，a)，2q对于任意n?N都成立， n，1n，2nn，1 n*而a，a,3?2(n?N)， nn，1 n，1*且a，a,3?2(n?N)， n，1n，2 n，1n*则有3?2,3?2p，2q对于任意n?N都成立， n*即3?2(2,p),2q对于任意n?N都成立， ?p,2,0，即p,2，q,0.此时，a,2a， n，1n n*又?a,2，?a,2(n?N)(1n 考向三 反证法的应用 13,1，a,2,1，a,n，1n【例3】 (2010?湖北卷)已知数列{a}满足a,，,， n121,a1,ann，1 22aa<0(n?1);数列{b}满足b,a,a(n?1)( nn，1nnn，1n (1)求数列{a}，{b}的通项公式; nn (2)证明:数列{b}中的任意三项不可能成等差数列( n 222(1)解 由题意可知，1,a,(1,a)( n，1n3 2322令c,1,a，则c,c.又c,1,a,， nnn，1n1134 32则数列{c}是首项为c,，公比为的等比数列， n143 23n,1,,即c,?， n4,3, 32322,,n,12,,n,1故1,a,??a,1,?. nn4,3,4,3, 1又a,>0，aa<0， 1nn，12 23n,1n,1,,故a,(,1)1,?. n4,3, 22233122，,,n，，,,n,1，,,n,1,,1,?,1,?ba,a,?. nn，1n,,,,,,,,,,434343，，，， (2)证明 用反证法证明( 假设数列{b}存在三项b，b，b(rb>b，则只可能有2b,b，b成立( rstsrt43 121212,,s,1,,r,1,,t,1?2?,，， 4,3,4,3,4,3, t,11,rt,rt,rs,rt,s两边同乘32，化简得3，2,2?23. 由于r0，曲线y,f(x)在32 点P(0，f(0))处的切线方程为y,1. (1)确定b、c的值; (2)设曲线y,f(x)在点(x，f(x))及(x，f(x))处的切线都过点(0,2)(证明:当x?x112212 时，f′(x)?f′(x)( 12 a132(1)解 由f(x),x,x，bx，c，得f(0),c， 32 2,f′(x),xax，b，f′(0),b. ,()在点(0，(0))处的切线方程为,1，得(0),1，′(0),0，所以又由曲线yfxPfyffb,0，c,1. a1322(2)证明 f(x),x,x，1，f′(x),x,ax. 32 由于点(t，f(t))处的切线y,f(t),f′(t)(x,t)经过点 (0,2)，所以2,f(t),f′(t)(,t)，化简得 2aa23232t,t，1,0，即t满足的方程为t,t，1,0. 3232 下面用反证法证明: 假设f′(x),f′(x)，则由题意，得 12 2a32x,x，1,0，11,?32 2a 32,x,x，1,0，?2232 22?,x,ax,x,ax.1122 由?，得x，x,a，由?,?，得 12 3222x，xx，x,a.? 11224 222因为x，xx，x,(x，x),xx, 11221212 a33222222,,a,x(a,x),x,ax，a,x,，a?a， 11111,2,44 aa故由?，得x,x,x?x矛盾( ，此时，这与121222 所以f′(x)?f′(x)( 12 对应学生 用书P212 规范解答26 怎样用反证法证明问题 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无 法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明(在高考中，对反证法的考查往往是在试题中 某个重要的步骤进行( 【示例】 (2011?安徽卷)设直线l:y,kx，1，l:y,kx,1，其中实数k，k满足kk11221212，2,0. (1)证明l与l相交; 12 22(2)证明l与l的交点在椭圆2x，y,1上( 12 [与的交点坐标，代入椭圆方程验证( 审题路线图] 第(1)问采用反证法，第(2)问解ll12 [解答示范] 证明:(1)反证法(假设l与l不相交，(2分) 12 则l与l平行或重合，有k,k，(4分) 1212 2代入kk，2,0，得k，2,0.(6分) 121 此与k为实数的事实相矛盾，从而k?k，即l与l相交((7分) 11212 ,y,kx，1，1,,(2)由方程组 ,y,kx,1，,2 2x,，,,k,k21解得交点P的坐标(x，y)为) (9分,k，k21 y,.,,k,k21 2k，k2122,,,,22从而2x，y,2， ,,,kk,,kk,2121 22228，k，k，2kkk，k，4211212,,,1， 2222k，k,2kkk，k，4211212 22此即表明交点P(x，y)在椭圆2x，y,1上((14分) [模板构建] 用反证法证明结论，主要有下列三步: 第一步:必须先否定结论，即肯定结论的反面成立; 第二步:必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证; 第三步:推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的( 高考经典题组训练 5672 0111((2011?江西卷改编)观察下列各式:5,3 125,5,15 625,5,78 125，„，则5的末四位数字为________( 5678995解析 5,3 125,5,15 625,5,78 125,5,390 625,5,1 953 125，可得5与5的后 m，4km*四位相同，由此可归纳出5与5(k?N，m,5,6,7,8)的后四位相同，又2 011,4?501 2 0117，7，所以5与5后四位数字相同为8 125. 答案 8 125 2((2011?福建卷)设V是全体平面向量构成的集合(若映射:f:V?R满足: 对任意向量a,(x，y)?V，b,(x，y)?V，以及任意λ?R，均有f[λa，(1,λ)b]1122 ,λf(a)，(1,λ)f(b)， 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射: ?f:V?R，f(m),x,y，m,(x，y)?V; 11 2?:(，fV?R，fm),xy，m,(x，y)?V; 22 ?f:V?R，f(m),x，y，1，m,(x，y)?V. 33 其中，具有性质P的映射的序号为________(写出所有具有性质P的映射的序号)( 解析 性质P其实是一种“类线性运算”性质，故??符合要求;?不符合要求(事实上，令a,(x，y)，b,(x，y)，则λa，(1,λ)b,(λx，x,λx，λy，y,λy)， 1122122122对?，f[λa，(1,λ)b] ,(λx，x,λx),(λy，y,λy) 122122 ,λ(x,y)，(1,λ)(x,y)( 1122 又(),(),fax,y，fbx,y， 1122 ?λ(x,y)，(1,λ)(x,y),λf(a)，(1,λ)f(b)成立( 1122 对?，f[λa，(1,λ)b],(λx，x,λx)，(λy，y,λy)，1,λx，λy，λ,λ12212211，()，(1,λ)()x,λx，y,λy，1,λ(x，y，1)，(1,λ)(x，y，1),λfafb22221122 也成立(而?显然不具有此性质( 答案 ?? 3. ab2(2010?湖北卷)设a>0，b>0，称为a，b的调和平均数(如图，C为线段AB上的点，，ba 且AC,a，CB,b，O为AB中点，以AB为直径作半圆(过点C作AB的垂线交半圆于D，连续OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的调和平均数( a，b解析 ?OD的长度是a，b的算术平均数，?OD,AB为直径，??ADB,90?，.又?2 ?AD?BD. 2又?DC?AB，?由射影定理得CD,ab，即CD,ab， ?CD的长度是a，b的几何平均数( 222ab2CDCD而,,，又?CE?OD， ，b2ODODa 2CDab22?CD,DE?OD，即DE,，?DE,， OD，ba ?DE的长度是a，b的调和平均数( 答案 CD DE *4((2011?上海卷)已知数列{a}和{b}的通项公式分别是a,3n，6，b,2n，7(n?N)(将nnnn **|,，?N}?{|,，?N}中的元素从小到大依次排列，构成数列集合{xxanxxbnc，c，„，nn12 c，„. n (1)写出c，c，c，c; 1234 (2)求证:在数列{c}中，但不在数列{b}中的项恰为a，a，„，a，„; nn242n(3)求数列{c}的通项公式( n (1)解 它们是9,11,12,13. (2)证明 ?数列{c}由{a}、{b}的项构成， nnn ?只需讨论数列{a}的项是否为数列{b}的项( nn *?对于任意n?N，a,3(2n,1)，6,6n，3,2(3n,2)，7,b，?a是{b}的项( 2n,13n,22n,1n下面用反证法证明:a不是{b}的项( 2nn 是数列{}的项，设,， 假设abab2nn2nm 1*则3?2n，6,2m，7，m,3n,，与m?N矛盾( 2 ?结论得证( (3)解 ?b,2(3k,2)，7,6k，3，a,6k，3，b,6k，5，a,6k，6，b,6k3k,22k,13k,12k3k ，7， ?b,a0，证明:当0f,x; a,a,,a, (3)若函数y,f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明:0f′(x)<0. 0 (1)解 f(x)的定义域为(0，，?)( 1,2x，1,,ax,1,f′(x),,2ax，(2,a),,. xx ?若a?0，则f′(x)>0，?f(x)在(0，，?)上单调递增( 11,,?若a>0，则由f′(x),0得x,，且当x?0，时， a,a, 1f′(x)>0;当x>时，f′(x)<0. a 1,,?f(x)在0，上单调递增， ,a, 1,,在，，?上单调递减( ,,a 11,,,,(2)证明 设函数g(x),f，x,f,x， ,a,,a,则g(x),ln(1，ax),ln(1,ax),2ax， 32aaax2g′(x),，,2a,. 221，ax1,ax1,ax 1当00， a 而g(0),0，?g(x)>0， 111,,,,故当0f,x. a,a,,a, (3)证明 由(1)可得，当a?0时，函数y,f(x)的图象与x轴至多有一个交点( 11,,,,>0，从而()的最大值为，且>0. ?afxff,a,,a, 1不妨设A(x0)，B(x0)，0 11,a,,aa, 11，,,，f,,x,f(x),0. ,1,1a,a,，， x，x2112从而x>,x，于是x,. >210a2a 由(1)知f′(x)<0. 0 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计?高考总 复习》光盘中内容. 第5讲 数学归纳法 对应学生 用书P213 考点梳理 1(对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n *取第一个值n时命题成立;然后假设当n,k(k?N，k?n)时命题成立，证明当n,k，100 时命题也成立(这种证明方法就叫做数学归纳法( 2)(数学归纳法的基本形式:设P(n)是关于自然数n的命题，若P(n成立(奠基)，假设0 P(k)成立(k?n)，可以推出P(k，1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n的自然数n00都成立( 【助学?微博】 一个命题趋势 预计在2014年高考中，数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考查(与数列相结合的题目，一般会采取“归纳——猜想——证明”的命题思路，以解答题的形式出现，难度较大，为中高档题( 考点自测 11(在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n,3)条时，第一步检验第一个值n 等02 于________( 解析 边数最少的凸n边形是三角形( 答案 3 111*2(利用数学归纳法证明不等式1，，，„，,f(n)(n?2，n?N)的过程，由n,n232,1 k到n,k，1时，左边增加了________项( 111111111解析 1，，，„，,1，，，„，,，，„，，共增加了k，1kkkk，1232,1232,122，12,1k2项( k答案 2 n，2a1,2n，13(用数学归纳法证明:“1，a，a，„，a,(a?1)”在验证n,1时，左端计1,a 算所得的项为________( 2答案 1，a，a *4(某个命题与自然数n有关，若n,k(k?N)时命题成立，那么可推得当n,k，1时该命题也成立，现已知n,5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________( ?n,6时该命题不成立;?n,6时该命题成立;?n,4时该命题不成立;?n,4时该命题成立( *解析 法一 由n,k(k?N)成立，可推得当n,k，1时该命题也成立(因而若n,4成立，必有n,5成立(现知n,5不成立，所以n,4一定不成立( 法二 其逆否命题“若当n,k，1时该命题不成立，则当n,k时也不成立”为真，故“n ,5时不成立”?“n,4时不成立”( 答案 ? 111135(用数学归纳法证明不等式,的过程中，由n,k推导n,k，1，，„，n，1n，2n，n24时，不等式的左边增加的式子是________( 1111解析 不等式的左边增加的式子是，,,，故填2k，12k，2k，1,2k，1,,2k，2, 1. ,2k，1,,2k，2, 1答案 ,2k，1,,2k，2, 对应学生 用书P213 考向一 数学归纳法的原理 *2 (2010?南通高三二模)设数列{}满足，，,{?R|?N，【例1】aa,aa,aa，Mann1n，1n1|a|?2}( n (1)当a?(,?，,2)时，求证:a?M; 1,，(2)当a?0，时，求证:a?M; ,4， 1,,(3)当a?，，?时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论( ,4, 证明 (1)当a<,2时，|a|,|a|>2，所以a?M. 1 11(2)当0时，a?M，证明如下: 4 12对于任意n?1，a?a>，且a,a，a. nn，1n4 111122,,对于任意n?1，a,a,a,a，a,a,，a,?a,，则a,a?a,. n，1nnnnn，1n,2,444 1,,所以,,. a,aa,a?nan，1n，11,4, a2,1,,当n>a?na,，a>2,a，a,2， 时，n，1,4,1,a4 即a>2，因此a?M. n，1 [方法总结] 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明n,k，1成立时，必须用n,k 成立的结论(用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结论”(用数学归纳法 证明等式时其过程也是“两个步骤一个结论”( 【训练1】 (2011?南通调研)用数学归纳法证明: n,n，1,,n，2,,n，3,*1?2?3，2?3?4，„，n?(n，1)?(n，2),.(n?N) 4 1?2?3?4,1时，左边,1?2?3,6，右边,,6,左边，所以等式成立( 证明 (1)当n4 *(2)设当n,k(k?N)时，等式成立， k,k，1,,k，2,,k，3,即1?2?3，2?3?4，„，. k?(k，1)?(k，2),4则当n,k，1时， 左边,1?2?3，2?3?4，„，k?(k，1)?(k，2)，(k，1)(k，2)(k，3) k,k，1,,k，2,,k，3,,，(k，1)(k，2)(k，3) 4 k,,,(k，1)(k，2)(k，3)，1 ,4, ,k，1,,k，2,,k，3,,k，4,, 4 ,k，1,,k，1，1,,k，1，2,,k，1，3,, 4 所以n,k，1时，等式成立( *由(1)(2)可知，原等式对于任意的n?N成立( 考向二 数学归纳法的应用 【例2】 (2010?江苏卷)已知?ABC的三边是有理数( (1)求证:cos A是有理数; *(2)求证:对任意正整数n，cos nA是有理数(n?N)( 222b，c,a证明 (1)设?ABC角A，B，C的对边为a，b，c，则a，b，c?Q，cos A,为2bc有理数( (2)用数学归纳法证明cos 与sin ?sin 是有理数( nAAnA 2?当n,1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A,1,cosA也是有理数( ?假设当n,k(k?1)时，cos kA和sin A?sin kA都是有理数( 当n,k，1时， 由cos(k，1)A,cos A?cos kA,sin A?sin kA， sin A?sin(k，1)A, sin A?(sin A?cos kA，cos A?sin kA)， ,(sin A?sin A)?cos kA，(sin A?sin kA)?cos A， 及?和归纳假设，知cos(k，1)A与sin A?sin(k，1)A都是有理数， 即当n,k，1时，结论成立( ，cos 是有理数( 综合??可知，对任意正整数nnA [方法总结] 数学归纳法适用于证明与正整数有关命题的一种常见方法( 常用数学归纳法可以证明:恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与求和等(证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其他方法( 用数学归纳法证明不等式的关键是由n,k时成立得n,k，1时成立，主要方法有:?放缩法;?基本不等式法;?作差比较法等( 1122【训练2】 (2012?江苏南通一模)已知数列{a}满足:a,1，a,a，(n?2)，a?n1nn,1na2n,11. n3 1112求证:，，„，?4(n，1),1. aaa312n 111112222222证明 由题得a,a，，即a,a,，于是有，，„，,a,a,a,1. n，1nn，1nn，11n，1aaaaann12n 1112要证明，，„，?4(n，1),1， aaa312n 1只需证明a?2n. n3 下面使用数学归纳法证明( 1?当n,1时，a,1，0， k，2k，12，xk，1 即xa，求a的取值范围( ，n，1n1 (1)证明 若a是奇数，假设当n,k时，a,2m,1是奇数，其中m为正整数， 1k 2a，3k则当n,k，1时，由递推关系得a,,m(m,1)，1是奇数( k，14 根据数学归纳法，对任何n?N，a都是奇数( ，n 1(2)解 法一 由a,a,(a,1)(a,3)知，a>a当且仅当a<1或a>3时成立( n，1nnnn，1nnn4 1，3另一方面，若03，则a>,3. kk，14 根据数学归纳法，对一切n?N，03?a>3. ，1n1n综上所述，对一切n?N都有a>a的充要条件是a?{a|03}( ，n，1n1111 2a，312法二 由a,>a，得a,4a，3>0， 21114 于是03. 11 22a，3a，3,a，a,,a,a,nn,1nn,1nn,1,,. a,a,n，1n444 2a，3n?a>0，a,， 1n，14 ?所有的a均大于0，因此a,a与a,a同号( nn，1nnn,1 根据数学归纳法，对一切n?N，a,a与a,a同号( ，n，1n21因此，对一切n?N都有a>a的充要条件是a?{a|03}( ，n，1n1111 11*2((2009?陕西卷)已知数列{x}满足x,，x,，n?N. n1n，112，xn(1)猜想数列{}的单调性，并证明你的结论; x2n 21n,1,,(2)证明:|x,x|?. n，1n6,5, 112513(1)解 由x,及x,得x,，x,，x,. 1n，124621，x3821n 由x>x>x猜想:数列{x}是递减数列( 2462n 下面用数学归纳法证明: ?当n,1时，已证命题成立( ?假设当n,k时命题成立，即x>x，易知x>0， 2k2k，2n x,x112k，32k，1那么x,x,,, 2k，22k，41，x1，x,1，x,,1，x,2k，12k，32k，12k，3 ,xx2k2k，2,>0， ,,1，,,1，,1，x,,1，xxx,22，12，22，3kkkk 即x>x. 2(k，1)2(k，1)，2 也就是说，当n,k，1时命题也成立(结合?和?知，命题成立( 1(2)证明 当n,1时，|x,x|,|x,x|,，结论成立; n，1n216 11当n?2时，易知0， n,1n,1n1，x2n,1 15,,?(1，x)(1，x),1，(1，x),2，x?， nn,1n,1n,11，2,x,n,1 11|x,x|22nn,1,,,,2?|x,x|,,,x,x|?|x,x?|n，1nnn,1n,1n,,1，x1，x,,1，x,,1，x,5,5,nn,1nn,1 212n,1,,n,1,,|?„?|x,x|,.221,5,6,5, 对应学生 用书P385 分层训练A级 基础达标演练 (时间:30分钟 满分:60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) nn1(用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x，y能被x，y整除”，在进行第二步证明 时，给出四种证法( ?假设n,k(k?N)，证明n,k，1命题成立; ， ?假设n,k(k是正奇数)，证明n,k，1命题成立; ?假设n,2k，1(k?N)，证明n,k，1命题成立; ， ?假设n,k(k是正奇数)，证明n,k，2命题成立( 正确证法的序号是________( 解析 ???中，k，1不一定表示奇数，只有?中k为奇数，k，2为奇数( 答案 ? *,4n，22n，14(k2(用数学归纳证明:对任意的n?N3，5能被14整除的过程中，当n,k，1时，3，1)，22(k，1)，1，5可变形为________( 44k，22k，12k，1答案 3(3，5),5?56 n*3((2010?寿光一中模拟)若存在正整数m，使得f(n),(2n,7)3，9(n?N)能被m整除，则,________. m 解析 f(1),,6，f(2),,18，f(3),,18，猜想:m,,6. 答案 6 33*34(用数学归纳法证明“，1)，(，2)(?N)能被9整除”，要利用归纳假设证,n，(nnnnk，1时的情况，只需展开的式子是________( 333解析 假设当n,k时，原式能被9整除，即k，(k，1)，(k，2)能被9整除( 3333当n,k，1时，(k，1)，(k，2)，(k，3)为了能用上面的归纳假设，只需将(k，3)展 3开，让其出现k即可( 3答案 (k，3) 42n，n25(用数学归纳法证明1，2，3，„，n,n,k，1时左端应在n,k的基础上加，则当2 上________( 2解析 ?当n,k时，左侧,1，2，3，„，k， 当n,k，1时， 222左侧,1，2，3，„，k，(k，1)，„，(k，1)， 2222?当n,k，1时，左端应在n,k的基础上加上(k，1)，(k，2)，(k，3)，„，(k，1). 2222答案 (k，1)，(k，2)，(k，3)，„，(k，1) 22226(若f(n),1，2，3，„，(2n)，则f(k，1)与f(k)的递推关系式是________( 222解析 ?f(k),1，2，„，(2k)， 22222?f(k，1),1，2，„，(2k)，(2k，1)，(2k，2); 22?f(k，1),f(k)，(2k，1)，(2k，2). 22答案 f(k，1),f(k)，(2k，1)，(2k，2) 二、解答题(每小题15分，共30分) a12n*7((2012?苏中三市调研)已知数列{a}满足:a,，a,n?N)( (n1n，12a，1n (1)求a，a的值; 23 *(2)证明:不等式0<对于任意的a0. k，1 2a2ak，1k而a,a,, k，2k，1a，1a，1k，1k 2a,a，1,,2a,a，1,k，1kkk，1, ,，1,a，1,,ak，1k 2,a,a,k，1k,>0， ,a，1,,a，1,k，1k ,，1时，不等式成立( ?0 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的 代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题( 22【训练1】 实数m分别取什么数值时，复数z,(m，5m，6)，(m,2m,15)i是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)对应点在x轴上方; (5)对应点在直线x，y，5,0上( 2解 (1)由m,2m,15,0， 得m,5或m,,3时，z为实数( 2(2)由m,2m,15?0， 得m?5且m?,3时，z为虚数( 2,m,2m,15?0，,,(3)由 2 m，5m，6,0，,, 得m,,2时，z为纯虚数( 2(4)由,2mm,15>0， 得m<,3或m>5时， z的对应点在x轴上方( 22(5)由(，5,mm，6)，(m2m,15)，5,0， ,3,41,3，41得m,或m,时， 44 z的对应点在直线x，y，5,0上( 考向二 复数的运算 3，i【例2】 (1)(2010?海南、宁夏)已知复数z,，z是z的共轭复数，则z?z2,1,3i, ,________; (2)(2011?上海卷)已知复数z满足(z,2)(1，i),1,i(i为虚数单位)，复数z的虚部112为2，且z?z是实数，则z,________. 122 3，i3，i1,3，i,,1,3i,解析 (1)因为,,,,?,,z22,1,3i,,2,23i,1，3i,,1,3i,3,i， 4 3，i41所以z,,，所以z?z,,. 2444 (2)因为(z,2)(1，i),1,i，所以z,2,i.设z,a，2i(a?R)，则由z?z,(2,i)(a11212，2i),(2a，2)，(4,a)i是实数，得4,a,0，所以a,4.故z,4，2i. 2 1答案 (1) (2)4，2i 4 [方法总结] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度( 1，i2(1)(1?i),?2i;(2),i; 1,i 1,i(3),,i;(4),b，ai,i(a，bi); 1，i 4n4n，14n，24n，3nn，1n，2n，3(5)i,1，i,i，i,,1，i,,i，n?N;(6)i，i，i，i,0(n?Z)( 【训练2】 (1)(2010?江苏卷)设复数z满足z(2,3i),6，4i(其中i是虚数单位)，则z的模为________; (2)(2011?江苏卷)设复数z满足i(z，1),,3，2i(i是虚数单位，则z的实部是________( 6，4i解析 (1)因为z,， 2,3i 22，46所以|z|,,2. 222，,,3, ,3，2i3(2)因为，1,,2,,2，3i，所以的实部为2. zzii答案 (1)2 (2)2 考向三 复数的几何意义 【例3】 (1)复数z,1，2i，z,,2，i， 12z,,1,2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点(如图)，则正方形的第3 四个顶点对应的复数为________( 满足|,3i|,5，则|，2|的最大值和最小值分别为________( (2)若复数zzz解析 (1)由图形知，z，z，z分别对应点A，B，C. 123 ???则由AB,OB,OA， ???得AB所对应的复数为z,z,(,2，i),(1，2i),,3,i，在正方形ABCD中，DC,AB. 21 ?所以DC所对应的复数为,3,i， ???又DC,OC,OD， ???所以,,所对应的复数为 ODOCDC z,(,3,i),(,1,2i),(,3,i),2,i， 3 故第四个顶点对应的复数为2,i. (2) |z,3i|,5表示点z与点(0,3)的距离为5，如图|z，2|表示点z与点(,2,0)的距离( 22|AC|,,,2,0,，,0,3,,13， ?|z，2|,5，13， max |z，2|,5,13. min 答案 (1)2,i (2)5，13，5,13. [方法总结] |z,z|表示复平面上的点z和z间的距离，据此可解决一类轨迹问题，如1212 满足|z,1,2i|,3的点z的轨迹是到定点(1,2)的距离为3的图形( 【训练3】 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3，2i，,2，4i，试 求: ??(1)AO、BC所表示的复数; ?(2)对角线所表示的复数; CA (3)求B点对应的复数( ???解 (1)AO,,OA，所以AO所表示的复数为,3,2i. ???因为BC,AO，所以BC所表示的复数为,3,2i. ????(2)CA,OA,OC，所以CA所表示的复数为 (3，2i),(,2，4i),5,2i. ?????(3)OB,OA，AB,OA，OC， ?所以OB表示的复数为(3，2i)，(,2，4i),1，6i， 即B点对应的复数为1，6i. 对应学生 用书P218 热点突破37 复数的求解方法 江苏卷必考一复数小题，较为简单，主要考查复数的概念和四则运算( 一、与复数有关的概念 2【示例】 (2012?课标卷改编)关于复数z,，下面命题: ,1，i 2?|z|,2;?z,2;?z的共轭复数为1，i;?z的虚部为,1.其中正确的命题序号是 ________( 22,,1,i, [审题与转化] 第一步:z,,,,1,i，再根据复数有关的概念进,1，i2 行判断( 22 [规范解答] 第二步:由z,,1,i，得|z|,2，z,(1，i),2i;z,,1，i;z的虚部为,1.故填?. [反思与回顾] 第三步:复数的概念主要是复数的分类、以及模、共轭复数等( 二、复数的四则运算 11,7i【示例】 (2012?江苏卷)设a，b?R，a，bi,(i为虚数单位)，则a，b的值为1,2i ________( 11,7i [审题与转化] 第一步:直接计算，将写成a，bi(a，b?R)的形式( 1,2i 11,7i [规范解答] 第二步:因为a，bi,, 1,2i ,11,7i,,1，2i,25，15i,,5，3i， 55 所以a,5，b,3，a，b,8. [反思与回顾] 第三步:用复数乘法运算，还可以由11,7i,(a，bi)(1,2i),a，2b，(,2)i，得，2,11,2,,7，同样可得，,8. baababab 高考经典题组训练 3,i1((2012?上海卷)计算:,________(i为虚数单位)( 1，i ,3,i,,1,i,解析 原式,,1,2i. 2 ,2i 答案 1 2((2012?重庆卷)若(1，i)(2，i),a，bi，其中a，b?R，i为虚数单位，则a，b,________. 解析 由a，bi,1，3i，得a,1，b,3，所以a，b,4. 答案 4 23((2012?湖南卷)已知复数z,(3，i)，i是虚数单位，则|z|,________. 2222解析 |z|,|(3，i)|,|3，i|,3，1,10. 答案 10 4((2012?安徽卷改编)复数z满足(z,i)(2,i),5，那么z,________. 5解析 z,i,,2，i，所以z,2，2i. 2,i 答案 2，2i 5((2012?山东卷改编)若复数z满足z(2,i),11，7i(i为虚数单位)，则z,________. 11，7i,11，7i,,2，i,15，25i解析 z,,,,3，5i. 2,i55 答案 3，5i 对应学生 P387用书 分层训练A级 基础达标演练 (时间:30分钟 满分:60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1((2012?无锡第一学期期末考试)已知复数z,i(3,i)(i是虚数单位)，则复数z的虚部为________( 2解析 因为z,i(3,i),,i，3i,,1，3i，所以z的虚部为3. 答案 3 152((2012?常州市第一学期期末考试)若z?z，z,，2i(i为虚数单位)，则复数z,4 ________. 151522解析 设z,x，yi(x，y?R)，则由z?z，z,，2i，得x，y，x，yi,，2i，所44 151,22,,x，y，x,，x,,，,142以z,,，2i. 解得所以,,2 ,,y,2，y,2，,, 1答案 ,，2i 2 2,i3((2012?镇江第一学期期末考试)已知,a，bi(a，b?R)，则a，b,________. 3,4i 2,i,2,i,,3，4i,10，5i2121解析 因为a，bi,,,,，i，所以a,，b,，a3,4i25255555 3，b,. 5 3答案 5 1，5i4((2011?南通调研)若,a，bi(a，b?R，i为虚数单位)，则ab,________. 3,i 1，5i,1，5i,,3，i,,2，16i1818解析 a，bi,,,,,，i，所以a,,，b,.从3,i10105555 8而ab,,. 25 8答案 , 25 a，i5((2011?苏北四市调研)若(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是________( 1,i a，i,a，i,,1，i,,a,1,，,a，1,i解析 由,,是实数， 1,i22得a，1,0，所以a,,1. 答案 ,1 a，3i6((2011?扬州中学冲刺)若复数(a?R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为1，2i ________( a，3i,a，3i,,1,2i,a，63,2a解析 由,,，，6,0且3,2?0，i为纯虚数，得aa1，2i555所以a,,6. 答案 ,6 二、解答题(每小题15分，共30分) z27(已知z是复数，z，2i、z，ai)在复平面上对应均为实数(i为虚数单位)，且复数(2,i 的点在第一象限，求实数a的取值范围( 解 设z,x，yi(x、y?R)， 所以z，2i,x，(y，2)i，由题意得y,,2. zx,2i1因为,(x,2i)(2，i) ,2,i2,i5 11,(2x，2)，(x,4)i. 55 由题意得x,4，所以z,4,2i. 22所以(z，ai),(12，4a,a)，8(a,2)i， 2由于(z，ai)在复平面上对应的点在第一象限， 2,12，4a,a>0，,,所以a<6， 解得2< ,8,a,2,>0，, 故实数a的取值范围是(2,6)( 28(已知关于x的方程x,(6，i)x，9，ai,0(a?R)有实数根b. (1)求实数a，b的值; (2)若复数z满足|z,a,bi|,2|z|，求z为何值时，|z|有最小值，并求出最小值( 2解 (1)将b代入题设方程，整理(b,6b，9)，(a,b)i,0，则2,b6b，9,0且a,b,0，得a,b,3. (2)设z,x，yi(x，y?R)， 2222则(x,3)，(y，3),4(x，y)， 22即(，1)，(,1),8， xy 所以点在以(,1，1)为圆心，22为半径的圆上， Z 画图可知，z,1,i时|z|,2. min 分层训练B级 创新能力提升 1((2012?盐城二模)若复数z满足|z,i|,1(其中i为虚数单位)，则|z|的最大值为 ________( 22，解析 设z,x，yi(x，y?R)，则由|z,i|,1，得x(y,1),1，由画图可知|z|的最 大值为2. 答案 2 2((2011?南京模拟)在复平面内，复数,3，i和1,i对应的点间的距离为________( 22解析 |,3，i,1，i|,|,4，2i|,,,4,，2,20,25. 答案 25 y已知复数,，i，且|,2|,3，则的最大值________( 3((2012?启东模拟)zxyzx y222解析 由|z,2|,3可得，|z,2|,(x,2)，y,3.设,k，即得直线方程为kx,y,0，x 2|k|22?圆(x,2)，y,3的圆心(2,0)到直线kx,y,0的距离d,?3，解得k?[,2k，1 y3，3]，即得的最大值为3. x 答案 3 4((2010?苏中六校联考)给出下列四个命题: 22?若z?C，|z|,z，则z?R; ?若z?C，z,,z，则z是纯虚数; 2?若z?C，|z|,zi，则z,0或z,i; ?若z，z?C，|z，z|,|z,z|，则zz,0. 12121212 其中真命题的个数为________个( 2222,a，b,a,b，,222222,解析 设z,a，bi(a，b?R)，若|z|,a，b,z,a,b，2abi，则 2ab,0.,,所以b,0，所以z?R，?正确; 若z,0，则z不是纯虚数，?错; 22若a，b,,b，ai，则a,0，b,0或b,,1， 所以z,0或z,,i，?错; 若|z，z|,|z,z|，设z,a，bi(a，b?R)， 12121 z,c，di(c，d?R)( 2 2222则(a，c)，(b，d),(a,c)，(b,d)， 整理得:ac，bd,0， 所以zz,(a，bi)(c，di),ac,bd，(ad，bc)i，不一定为零，?错( 12 答案 1 m,m，2,25(已知m?R，复数z,m，2m,3)i，当m为何值时( ，(m,1 1(1)z?R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z,，4i. 2 2,m，2m,3,0，,,解 (1)由z?R，得m,,3. 解得 m,1?0，,, 2(2)由z是虚数，得m，2m,3?0，且m,1?0， 解得m?1且m?,3. m,m，2,,0，,,,1?0，m(3)由z是纯虚数，得 , 2,m，2m,3?0，, 解得m,0或m,,2. m,m，2,112(4)由z,，4i，得m，2m,3)i,，4i， ,(2m,12 22m，3m，1,0，m,m，2,1,,,,,，m,12m?1，所以即 ,, 2 2,,,,m，2m,3,,4，,m，2m，1,0，,解得m,,1. 16(设z是虚数，已知ω,z，是实数，且,1<ω<2. z (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; z1,(2)设u,，求证:u为纯虚数; 1，z 2(3)求ω,u的最小值( 11(1)解 因为ω?R，所以ω,ω，所以z，,z，， zz 1,,1,即(z,z),0，因为z为虚数，所以z?z. ,,zz,, 2所以zz,1，从而|z|,1，即|z|,1. 设z,a，bi(a、b?R)， 22?|z|,1，?a，b,1， a,bi11?ω,，,，i，，i，,2. zab,aba22，za，biab 1?,1,ω,2，?,1,2a,2，?,,a,1. 2 1,,即z的实部取值范围是,，1. ,2, 1(2)证明 (1)因为zz,1，所以z,. z 11,z1,zzzzz,11,1,1,所以u，u,，,，,，u?0，所以u为纯虚数( ,0，且1，z1，z1，zz，111，z1，z (3)解 由(2)可设u,ti(t?R且t?0)， 1,zti1,则由,ti，得z,， 1，iz1，t 2titit,11,1，2,1,22所以ω,z，,，u,,t， ，,2z1，ti1,ti1，t 22,1,t,4222所以ω,u,，t,1，t，,3 221，t1，t 42?2,1，t,?,3,1， 21，t 2当且仅当t，1,2，t,?1时等号成立， 2故ω,u的最小值为1.