新人教A版高中数学微积分基本定理

新人教A版 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学微积分基本定理 1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 vto(),直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)()， 设一物体沿 T2vtdt()则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为。 [,]TT12,T1 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在上的增量来表STST()(),[,]TT1212 达，即 T2vtdt() = STST()(),12,T1 ,Stvt()(),。 而 ,fx()Fxfx()(), 对于一般函数，设，是否也有 bfxdxFbFa()()(),, ,a ,fx()Fxfx()(),若上式成立，我们就找到了用的原函数(即满足)的数值差FbFa()(),[,]abfx()来计算在上的定积分的方法。 Fx()[,]abfx()注:1:定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则 bfxdxFbFa()()(),, ,a xFx()fx(),()x证明:因为=ftdt()与都是的原函数，故 ,a axb,,Fx(),()x -=C() 其中C为某一常数。 aFa(),()a,()aftdt() 令得-=C，且==0 xa,,a Fx()Fa(),()xFa()即有C=，故=+ x,()xFx()Fa()ftdt() =-= ？,a bfxdxFbFa()()(),,xb,令，有 ,a 此处并不要求学生理解证明的过程 bFbFa()(),为了方便起见，还常用表示，即 Fx()|a bbfxdxFxFbFa()()|()(),,, a,a 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1(计算下列定积分: 2311(1); (2)。 dx(2)xdx,2,,11xx 1'解:(1)因为， (ln)x,x 212所以。 dxx,,,,ln|ln2ln1ln21,1x 112''(2))因为， ()2,()xx,,,2xx 33311所以 (2)2xdxxdxdx,,,,,,22111xx 1122233。 ,，,,，,,x||(91)(1)11x3312练习:计算xdx ,0 123x解:由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 x3 1111123331xdx === x|,,,100,03333 例2(计算下列定积分: ,,,22sin,sin,sinxdxxdxxdx。 ,,,00, 由计算结果你能发现什么结论,试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 '解:因为， (cos)sin,,xx 所以 ,,sin(cos)|(cos)(cos0)2xdxx,,,,,,,,， 0,0 2,2,， sin(cos)|(cos2)(cos)2xdxx,,,,,,,,,,,,,2,2,sin(cos)|(cos2)(cos0)0xdxx,,,,,,,,. 0,0 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积; 图1 . 6 一 3 ( 2 ) (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数; ( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0(图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积( 例3(汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8a2米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离, 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/v0 321000，小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为,3600 v(t)=0v(t)=8.88-1.8t=0当汽车停住时,速度,故从解得vva(t)=t=8.88-1.8t,0 8.88秒 t=4.93,1.8 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.934.934.9312svdtdt,,,(t)(8.881.8t)=米,即在刹车后,(8.881.8t)21.90,，,,,0020 汽车需走过21.90米才能停住. 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法(微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果( 四、课堂小结 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱 布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习 五、教学后记 从教以来，一直困惑于一个问题:课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。 1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生 辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ?导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢, 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: vto(),设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)()， T2vtdt()则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。 [,]TT12,T1 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在上的增量来表STST()(),[,]TT1212 达，即 T2vtdt() = STST()(),12,T1 ,Stvt()(),而。 说出你的发现 ? 微积分基本定理 ,fx()Fxfx()(), 对于一般函数，设，是否也有 b fxdxFbFa()()(),,, ,a ,fx()Fxfx()(),若上式成立，我们就找到了用的原函数(即满足)的数值差FbFa()(),[,]abfx()来计算在上的定积分的方法。 ,Fxfx()(),[,]abFbFa()(),设则在上，?y= [,]ab将分成n 等份，在第i个区间[xi-1,xi]上，记?yi=F(xi)-F(xi-1),则 ?y=??yi 如下图，因为?hi=f(xi-1) ?x 而?yi??hi 所以 ?y???hi=?f(xi-1) ?x 故 bf(x)dx?y=lim??hi=?f(xi-1) ?x= ,a bFbFa()(),即f(x)dx= ,a Fx()[,]abfx()所以有微积分基本定理: 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则 bbfxdxFbFa()()(),,f(x)dx ,,aa (此处并不要求学生理解证明的过程) bFbFa()(),为了方便起见，还常用Fx()|表示，即 a bbfxdxFxFbFa()()|()(),,, a,a 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 ?应用举例 例1(计算下列定积分: 2311(1); (2)。 dx(2)xdx,2,,11xx 1'解:(1)因为， (ln)x,x 212所以。 dxx,,,,ln|ln2ln1ln21,1x 112''(2))因为， ()2,()xx,,,2xx 33311所以 (2)2xdxxdxdx,,,,,,22111xx 1122233。 ,，,,，,,x||(91)(1)11x3312练习:计算xdx ,0 123x解:由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 x3 1111123331 xdx=== x|,,,100,03333 例2(计算下列定积分: ,,,22sin,sin,sinxdxxdxxdx。 ,,,00, 由计算结果你能发现什么结论,试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 '解:因为， (cos)sin,,xx 所以 ,,sin(cos)|(cos)(cos0)2xdxx,,,,,,,,， 0,0 2,2,sin(cos)|(cos2)(cos)2xdxx,,,,,,,,,,， ,,,2,2,sin(cos)|(cos2)(cos0)0xdxx,,,,,,,,. 0,0 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积; 图1 . 6 一 3 ( 2 ) (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等 于曲边梯形的面积的相反数; ( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0(图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积( 例3(汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8a2米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离, 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小v0 321000，时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当vva(t)=t=8.88-1.8t,,03600 8.88v(t)=0v(t)=8.88-1.8t=0汽车停住时,速度,故从解得秒 t=4.93,1.8 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.934.934.9312svdtdt,,,(t)(8.881.8t)=米,即在刹车后,汽(8.881.8t)21.90,，,,,0020 车需走过21.90米才能停住. 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法(微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果( ?课堂练习 课本p55练习?----? 四:课堂小结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习～ 五:教学后记: 从教以来，一直困惑于一个问题:课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。 ?1.6微积分基本定理 学习目标 1(理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理; 2(掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分; 3(能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足,Fxfx()(),Fx()的函数. 预习与反馈(预习教材P~ P，找出疑惑之处) 5761 1.微积分基本定理 (1)定理内容 b如果f(x)是区间[a，b]上的________，并且F′(x),________，那么f(x)dx,?_______. ,,a 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______ _. bb(2)定理的符号表示f(x)dx,F(x)|,________ a,,a 理解微积分基本定理需注意以下几个方面: (1)在微积分基本定理中，F′(x),f(x)，且f(x)在[a，b]上连续可积，则F(x)称为f(x)的一个原函数( (2)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数之间的逆运算关系，为定积分的计算提供了一个简单有效的方法——转化为计算其原函数在积分区间上的增量( (3)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x),f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)。 (4)根据导数知识，连续函数f(x)的原函数F(x)不唯一，这是由于[F(x)，C]′,f(x)，所以F(x) b，C也是函数f(x)的原函数，其中C为常数(求定积分可以选取任意一个原函数，由于f(x)dx,,a b,[F(x)，C]|,[F(b)，C],[F(a)，C],F(b),F(a)，这对于定积分的求解没有影响( a 教学指导 利用微分的基本定理求定积分 例1 计算下列定积分: 4π23(1)?(cosx,sinx)dx; (2)(2,x)(3,x)dx; 0,,2 变式: 计算下列定积分( 11042233(1)?5xdx; (2)(1，x，x)dx; (3)(x，)6xdx. 2,,x,,11 求分段函数的定积分 例2 求定积分: ,，，,42,0,xx,,,,,,,222，，(2)()()fxdxfx，其中,(1)1xdx,,0,,，,0 ,cos,,xx,,,,,2，,, 课堂小结 b1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式. fxdxFbFa()()(),,,a 2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键 3.定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0: (1)当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积; x (2)当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积; x (3)当位于轴上方的曲边梯形面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值xx 为0，且等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积. xx课堂训练 1(若F(x)满足F′(x),sin x，则F(x)的解析式一定是( ) A(F(x),cos x B(F(x),,cos x C(F(x),1,cos x D(F(x),,cos x，c(c?R) 2,x，x?[0，1]，,2,2(设f(x),则f(x)dx,( ) , ,2,x，x?[1，2]，,,0 345A. B. C. D(不存在 456 ,23((2009?福建) ( ) (1cos)，,xdx,,,2 A(π B(2 C(π,2 D(π，2 b4.f′(3x)dx,( ) ,,a 1A(f(b),f(a) B(f(3b),f(3a) C.[f(3b),f(3a)] D(3[f(3b),f(3a)] 3 1711※5(f(x)是一次函数，且f(x)dx,5，xf(x)dx,，那么f(x)的解析式是( ) ,,6,,00 A(4x，3 B(3x，4 C(,4x，2 D(,3x，4 21dx6.= ,21x x42edx 7.,________. 0, 218((2008?山东高考)设函数f(x),ax，c(a?0)(若f(x)dx,f(x),0?x?1，则x的值为000,,0________ 21※9.已知f(x),ax，bx，c(a?0)，且f(,1),2，f′(0),0，f(x)dx,,2，求a、b、c的值( ,,0 变式:计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释. ,3,,22;; cosdxcosdxcosdx,,,,,0,,22 小结: ※ 动手试试 21练1. 计算: ()xdx,,1x 0练2.计算 sinxdx,,, 三、总结提升 ※ 学习小结 . ※ 知识拓展 微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远 的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: bfx()0,1. 设连续函数，则当时，定积分的符号( ) ab,fxdx(),aA(正 B.当时为正，当时为负 0,,abab,,0C(负 D(以上结论都不对 x2. 函数的一阶导数是( ) yxdx,cos,0 A( B( C( D( ,sinxcos1x,sinxcosx 3,2|sin|xdx3. 与定积分相等的是( ) ,03,3,22|sin|xdxsinxdxA( B( ,,003,,,3,222sinsinxdxxdx,C( D. sinsinxdxxdx，,,,,,00,2 24. = (1)xdx,,1 课后作业 1. 计算定积分: 222xx,,232(1);(2). (42)(4),,xxdxdx,,10x 3,2. 计算定积分的值，并从几何上解释这个值表示什么. sinxdx,0