doc：高一数学典型例题分析 函数的单调性
2(3(1 函数的单调性?例题解析
【例1】求下列函数的增区间与减区间
2(1)y,|x，2x,3|
2xx,2(2)y,x11,,||
2(3)y,xx,,，23
22解 (1)令f(x),x，2x,3,(x，1),4(
先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到
2x轴就得到y,|x，2x,3|的图像，如图2(3,1所示( 由图像易得:
递增区间是[,3，,1]，[1，，?)
递减区间是(,?，,3]，[,1，1]
(2)分析:先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间( 解 当x,1?0且x,1?1时，得x?1且x?2，则函数y,,x( 当x,1,0且x,1?,1时，得x,1且x?0时，则函数y,x,2( ?增区间是(,?，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，，?)
2(3)解:由,x,2x，3?0，得,3?x?1(
2令u,,g(x),,x,2x，3,,(x，1)2，4(在x?[,3，,1]上是在x?[,1，
1]上是(
而,在?上是增函数(yu0u
?函数y的增区间是[,3，,1]，减区间是[,1，1](
22【例2】函数f(x),ax,(3a,1)x，a在[,1，，?]上是增函数，求实数a的取
值范围(
解 当a,0时，f(x),x在区间[1，，?)上是增函数(
31a,当?时，对称轴,，a0x2a
,a0 , ,若,时，由a0得,?(0a1,3a,1?，1,2a,
若a,0时，无解(
?a的取值范围是0?a?1(
【例3】已知二次函数y,f(x)(x?R)的图像是一条开口向下且对称轴为x,3的
抛物线，试比较大小:
(1)f(6)与f(4)
(2)f(2)f(15)与
解 (1)?y,f(x)的图像开口向下，且对称轴是x,3，?x?3时，f(x)为减函数，
又6,4,3，?f(6),f(4)
(2)x3f(2)f(4)34f(x)x3?对称轴,，?,，而,,，函数在?15 时为减函数(
?,，即,(f(15)f(4)f(15)f(2)
ax 【例4】判断函数,?在区间,，上的单调性(f(x)(a0)(11)2,1x
解 任取两个值x、x?(,1，1)，且x,x( 1212
axxxx()()，,11221?,,f(x)f(x)2212()()xx,,1112
22 ?,,,,，，,，,,，,,，,,(1xx1xx10xx0x10x1011121221
()()xxxx，,11221?,022()()xx,,1112
当a,0时，f(x)在(,1，1)上是减函数(
当a,0时，f(x)在(,1，1)上是增函数(
3【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x),,x，1在(,?，，?)上是减函数(
证 取任意两个值x，x?(,?，，?)且x,x( 1212
22?,,,，，这里有三种证法:f(x)f(x)(xx)(xxxx)21122121
222 证法一()xx0xxxx(xx)xx0当,时，，，,，,,1211221212
22当?时，，，,xx0xxxx0121122
又?x,x,0，?f(x),f(x) 1221
故f(x)在(,?，，?)上是减函数(
1312222证法二()xxxx(xx)xxx?，，,，，，这里，112212212242
1 与不会同时为，否则若，,且,，则,这与,x0xx0x0x0xx21221122
22矛盾，?，，,(xxxx01122
得f(x)在(,?，，?)上是减函数(
22222证法三()txxxxx4x3x令,，，，其判别式Δ,,,,2121111
22 ?，若00x0x0tx03xΔ,时，则,，那么?，?,,，若Δ,,1221
22,，则,，即，，,，从而,，?在,?，0t0xxxx0f(x)f(x)f(x)(212121
，?上是减函数()
1 【例6】讨论函数,，的单调性，并画出它的大致图像(f(x)xx
解 定义域为(,?，0)?(0，，?)，任取定义域内两个值x、x，且x,x(1212
xx,112 ?,,,，又,,，f(x)f(x)(xx)xx0121212xx12
?当0,x,x?1或,1?x,x,0时，有xx,1,0，xx,0，f(x),f(x)1212121212
?f(x)在(0，1]，[,1，0)上为减函数(
当1?x,x或x,x?,1时，有xx,1,0，xx,0，f(x),f(x)，?f(x)1212121212
在(,?，,1]，[1，，?)上为增函数(
根据上面讨论的单调区间的结果，又x,0时，f(x),f(1),2，当x,0时，f(x)minmax
,f(,1),,2(由上述的单调区间及最值可大致
1 画出,，的图像如图(,(yx232x
说明 1?要掌握利用单调性比较两个数的大小(
2?注意对参数的讨论(如例4)(
3?在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等((如例5)
4?例6是分层讨论，要逐步培养(
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