第三章 中值定理与导数的应用
1. 验证拉格朗日中值定理对函数
在区间
上的正确性。
解：函数
在区间
上连续，在区间
内可导，故
在
上满足拉格朗日中值定理的条件。又
，解方程
得
。因此，拉格朗日中值定理对函数
在区间
上是正确的。
2．不求函数
的导数，说明方程
有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：函数
可导，
且
。由罗尔定理知，至少存在
使
即方程
有至少三个实根。又因方程
为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程
有且只有三个实根，分别位于区间
内。
3．若方程
有一个正根
证明:
方程
必有一个小于
的正根。
解：取函数
。
上连续，在
内可导，且
由罗尔定理知至少存在一点
使
即方程
必有一个小于
的正根。
4．设
求证不等式：
证明：取函数
在[a,b]上连续，在（a, b）内可导，
由拉格朗日中值定理知，至少存在一点
，使
，
即
，
故
5．设
在
上连续，在
内可导，证明存在
使
证明：取函数
，则
在
上连续，在
内可导，由柯西中值定理知，存在
，使
，
即
。
6．证明恒等式:
证明：取函数
，则
. 则
因为
，故
。
7．证明：若函数
在
内满足关系式
且
则
.
证明：
故
，又
8．用洛必达法则求下列极限
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：因为
，而
.
所以
（9）
解：因为
，而
,
所以，
9. 验证
存在，但是不能用洛必达法则求出。
解：由于
不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：
。
10. 当
时，求函数
的
阶泰勒公式。
解：因为
故
其中
介于x与
之间.
11. 求函数
的
阶麦克劳林公式。
解：因为
故
其中
介于x与0之间。
12． 确定函数
的单调区间。
解：函数除
外处处可导，且
令
，得驻点
这两个驻点及点
把区间
分成四个部分区间
当
时，
，因此函数在
内单调减少。
当
时，
，因此函数在
内单调增加。
13．证明不等式：当
时，
证明：取函数
因此，函数
在
上单调增加，故当
时，
，即
亦即，当
时，
14. 设
在
时都取得极值，试确定
的值，并判断
在
是取得极大值还是极小值？
解：
，
在
取得极值，则
，
，故
又因
，故
，所以
在
时取得极大值；
，所以
在
时取得极小值。
15．求函数
在闭区间
上的最大值与最小值。
解：函数除
外处处可导，
令
，得驻点
又因
，
，
，
，
故，最小值为
，最大值为
。
16．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为
问底宽
为多少时，
才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
解：设界面周长为
，已知
及
即
故
令
，得驻点
由
知
为极小值点。
又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为
时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。
17．求函数
图形的拐点及凹或凸的区间。
解：
令
，得
。
当
时，
，因此函数在
内是凸的；
当
时，
，因此函数在
内是凹的；
当
时，
，因此函数在
内是凸的。
曲线有两个拐点，分别为
18．利用函数图形的凹凸性，证明:
证明：取函数
则
当
时，
，故函数在
上是凹的，故对任何
，恒有
即
19．试决定曲线
中的
使
为驻点,
为拐
点，且通过
.
解：由题设知
，即
.
解得
20．描绘函数
的图形。
解：（1）定义域
；
（2）
.
（3）列表如下：
x
0
(0,1)
1
-
-
-
0
+
不存在
-
-
0
+
+
+
不存在
+
拐点
极小值
（4）
，
.
x=1是垂直渐近线；y=0是水平渐近线.
(5)取辅助点
.
（6）作图：
21．求椭圆
在点
处的曲率及曲率半径。
解：
两边对x求导得
, 从而
.
两边对再x求导得
.
把
代入
得
,
把
代入
.
因此椭圆在点
处的曲率为
,
曲率半径
22．试问：抛物线
上哪一点处的曲率最大？
解：
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