下载
加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 人教版八年级上册数学教案教师用书

人教版八年级上册数学教案教师用书.doc

人教版八年级上册数学教案教师用书

最逅壹首离歌lol
2017-09-01 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《人教版八年级上册数学教案教师用书doc》,可适用于职业岗位领域

凯里市冠英中学教育资源人教版八年级上册数学教案第十一章全等三角形全等三角形教学内容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质(教学目标(知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念((过程与方法经历探索全等三角形性质的过程能在全等三角形中正确找出对应边、对应角((情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力体会全等三角形的应用价值(重、难点与关键(重点:会确定全等三角形的对应元素((难点:掌握找对应边、对应角的方法((关键:找对应边、对应角有下面两种方法:()全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对应边()对应边所对的角是对应角•两条对应边所夹的角是对应角(教具准备四张大小一样的纸片、直尺、剪刀(教学方法采用“直观感悟”的教学方法让学生自己举出形状、大小相同的实例加深认识(教学过程一、动手操作导入课题(先在其中一张纸上画出任意一个多边形再用剪刀剪下•思考得到的图形有何特点,(重新在一张纸板上画出任意一个三角形再用剪刀剪下•思考得到的图形有何特点,【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论得出结论(【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形(学生在操作过程中教师要让学生事先在纸上画出三角形然后固定重叠的两张纸注意整个过程要细心(凯里市冠英中学教育资源【互动交流】剪出的多边形和三角形可以看出:形状、大小相同能够完全重合(这样的两个图形叫做全等形用“”表示(概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形要求学生手拿一个三角形做如下运动:平移、翻折、旋转观察其运动前后的三角形会全等吗,【学生活动】动手操作实践感知得出结论:两个三角形全等(【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边(【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母并任意放置与同桌交流:()何时能完全重在一起,()此时它们的顶点、边、角有何特点,【交流讨论】通过同桌交流实验得出下面结论:(任意放置时并不一定完全重合•只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合((这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了((完全重合说明三条边对应相等三个内角对应相等•对应顶点在相对应的位置(【教师活动】根据学生交流的情况给予补充和语言上的规范((概念:把两个全等的三角形重合到一起重合的顶点叫拿出一张美丽的风景照片提出问题:你们看这幅美丽的风景图片如何装饰它会更漂亮,【学生回答】加一个美丽的像框(【引入课题】假如要加一个美丽的像框需要知道这幅图片的大小现在告诉你图片的长为mx宽为x你能计算出图片的面积吗,【学生活动】动手列式图片的面积为mxx=,【教师提问】对于mxx=,的问题前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则现在请你运用已学知识推导出它的结果(【学生活动】先独立思考再与同伴交流(实际上mxx=m(xx)=mx=mx(【拓展延伸】请同学们继续计算mxx=,【学生活动】先独立完成再与同伴交流踊跃上台演示(mxx=mxx=mx=mx(【教师活动】请部分学生上台演示然后大家共同讨论(【继续探究】计算:()xmx()abab()(abc)bc(【学生活动】独立完成再与同学交流(【教师活动】总结新知:我们根据自己做的题目的原则得到单项式与单项式相乘的运算法则:单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母的幂分别相乘其余字母连同它的指数不变放在积的因式中(二、范例学习应用所学【例】计算(()xy(,xy)()(,ab)(,bc)【思路点拨】例的两个小题可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘同底数幂与同底数幂相乘的形式单独一个字母照抄(【例】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为米秒•则卫星运行秒所走的路程约是多少,【教师活动】:引导学生参与到例例的解决之中(【学生活动】参与到教师的讲例之中巩固新知(凯里市冠英中学教育资源三、问题讨论加深理解【问题牵引】(aa可以看作是边长为a的正方形的面积aab又怎样理解呢,(想一想你会说明abaa以及aab的几何意义吗,【教师活动】问题牵引引导学生思考提问个别学生(【学生活动】分四人小组合作学习(四、随堂练习巩固深化课本P练习第、题(五、课堂总结发展潜能本节内容是单项式乘以单项式重点是放在对运算法则的理解和应用上(提问:()请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则(()在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么,六、布置作业专题突破(课本P习题(第题(单项式与单项式相乘一、选择题计算的结果是()x,y(,xy)ABCDxyxy,xyxy计算结果为()(,xy)(xy),(,xy)A,xyBCD,xy,xy计算结果是()()(,),ABCD计算的结果是()xy,(,xyz),(,xy)ABCDxyz,xyzxyz,xyz凯里市冠英中学教育资源二、填空题:(ax)(ax),()(xy),,xy(,xy),(,x),(,y),,ab,(abc),(,ab),(,ab),nn,n,xy,x,y,m,(,mn),(,mn),()()(),三、解答题计算下列各题()()xy,(,xyz)(ab)(,abc)()()mn(,mn)(,xyz),xy,(,yz)板书设计单项式乘以单项式、单项式乘以单项式的乘法法则例:练习:单项式与多项式相乘教学目标(知识与技能让学生通过适当尝试获得一些直接的经验体验单项式与多项式的乘法运算法则会进凯里市冠英中学教育资源行简单的整式乘法运算((过程与方法经历探索单项式与多项式相乘的运算过程体会乘法分配律的作用和转化思想发展有条理地思考及语言表达能力((情感、态度与价值观培养良好的探究意识与合作交流的能力体会整式运算的应用价值(重、难点与关键(重点:单项式与多项式相乘的法则((难点:整式乘法法则的推导与应用((•关键:应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来注意知识迁移(教学方法采用“情境探究”教学方法让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则(教学过程一、回顾交流课堂演练(口述单项式乘以单项式法则((口述乘法分配律((课堂演练计算:()(,x)(x)()(,x)(,x)()xyxy(),m(,mn)(),xy,xy(,xy)【教师活动】组织练习关注中下水平的学生(【学生活动】先独立完成上述“演练题”再相互交流部分学生上台演示(二、创设情境引入新课小明作了一幅水彩画所用纸的大小如图她在纸的左右两边各留了a米的空白请同学们列出这幅画的画面面积是多少,【学生活动】小组合作讨论(【教师活动】在学生讨论的基础上提问个别学生(【情境问题】夏天将要来临有家超市以相同价格n•(单位:元,台)销售A牌空调凯里市冠英中学教育资源他们在一年内的销售量(单位:台)分别是xyz•请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入(【学生活动】分四人小组与同伴交流寻求不同的表示方法(方法一:首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量(单位:台)•再计算出总的收入(单位:元)(即:n(xyz)(方法二:采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入•然后再计算出他们的总收入(单位:元)(即:nxnynz(由此可得:n(xyz)=nxnynz(【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中找到规律:单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式中的每一项再把所得的积相加(三、范例学习应用所学【例】计算:(,a)(ab,ab)(解:原式,(,a)(ab),(,a)(ab)=,abab【例】化简:,x(xy,y),x(xy,xy)解:原式=,xyxy,xyxy=,xyxy【例】解方程:x(,x)=,x(x,)x,x=,xxx,x=x=x=四、随堂练习巩固深化课本P练习(【探研时空】计算:()x(x,x)(),x(x,y)(),a(abb)()(xy,xy)xy【教师活动】巡视关注中差生(五、课堂总结发展潜能(单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘•就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加((单项式与多项式相乘应注意()“不漏乘”()注意“符号”(六、布置作业专题突破凯里市冠英中学教育资源课本P习题(第、题(单项式与多项式相乘课时作业一、选择题(计算(x)(xx)的结果是()A(xxxB(xxxC(xxD(xx(下列各题计算正确的是()A((ab)(ab)=ababB((xxyy)x=xxyyC((a)(aa)=aaD((x)(xx)=xxx(如果一个三角形的底边长为xyxyy高为xy则这个三角形的面积是()•A(xyxyxyB(xyxyxyC(xyxyyD(xyxy(计算x(yz)y(zx)z(xy)结果正确的是()A(xyyzB(yzC(xyyzD(xyxz二、填空题(方程x(x)=x(x)的解是((计算:ab(abab)=((已知ab=则式子aab(ab)b的值是(三、解答题(计算:凯里市冠英中学教育资源(xyxyy)(xy)ab(ababc)nnnnnn(ababb)ab(n为正整数n>)x(xyy)x(xyxy)(化简求值:ab(ababb)其中ab=。四、探究题(请先阅读下列解题过程再仿做下面的题(已知xx=求xx的值(解:xx=xxxxx=x(xx)xx==如果xxx=求xxxxxxxx的值(板书设计凯里市冠英中学教育资源单项式乘以多项式、单项式乘以多项式的乘法法则例:练习:多项式与多项式相乘教学目标(知识与技能让学生理解多项式乘以多项式的运算法则能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算((过程与方法经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程体会其运算的算理((情感、态度与价值观通过推理培养学生计算能力发展有条理的思考逐步形成主动探索的习惯(重、难点与关键(重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用((难点:多项式与多项式的乘法法则的应用((•关键:多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决(教学方法采用“情境探索”教学方法让学生在设置的情境中通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵(教学过程一、创设情境操作感知【动手操作】首先在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形并且分成如下图•所示的四部分标上字母(【学生活动】拿出准备好的硬纸板画出上图并标上字母(【教师活动】要求学生根据图中的数据求一下这个矩形的面积(【学生活动】与同伴交流计算出它的面积为:(mb)(na)(【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开分成如下图两部分凯里市冠英中学教育资源如图(剪开之后分别求一下这两部分的面积再求一下它们的和(【学生活动】分四人小组合作探究求出第一块的面积为m(na)第二块的面积为b(na)它们的和为m(na)b(na)(【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开将图形分成四部分如图•然后再求这四块长方形的面积(【学生活动】分四人小组合作学习求出S=mnS=nbS=amS=ab•它们的和为S=mnnbamab(【教师提问】依据上面的操作求得的图形面积探索(mb)(na)应该等于什么,【学生活动】分四人小组讨论并交流自己的看法((mb)(na)=m(na)b(na)=mnnbamab因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算那么两次的计算结果应该是相同的所以(mb)(na)=m(na)b(na)=mnnbamab(【师生共识】多项式与多项式相乘用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项再把所得的结果相加(字母呈现:=mambnanb(二、范例学习应用所学【例】计算:()(x)(x,)()(x,)(x)【例】计算:()(x,y)(xy)()(xy)(x,y)【例】先化简再求值:(a,b)(ab),(ab)(a,b)其中a=,b=,(【教师活动】例,例启发学生参与到例题所设置的计算问题中去(【学生活动】参与其中领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题(三、随堂练习巩固新知课本P练习第、题(【探究时空】一块长m米宽n米的玻璃长宽各裁掉a•米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面凯里市冠英中学教育资源一样大小)问台面面积是多少,四、课堂总结发展潜能(多项式与多项式相乘•应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果利用乘法分配律来理解(mn)与(ab)相乘的结果导出多项式乘法的法则((多项式与多项式相乘第一步要先进行整理•在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时要“依次”进行不重复不遗漏且各个多项式中的项不能自乘多项式是几个单项式的和每一项都包括前面的符号在计算时要正确确定积中各项的符号(五、布置作业专题突破课本P习题(第、、()、、题(多项式与多项式相乘一、选择题计算(a,b)(ab)的正确结果是()A(abB(a,bC(aabbD(a,abb若(xa)(xb),x,kxab则k的值为()A(abB(,a,bC(a,bD(b,a计算(x,y)(xxyy)的正确结果是()A((x,y)B((xy)C(x,yD(xy(x,px)(x,q)的乘积中不含x项则()A(p,qB(p,qC(p,,qD(无法确定若,x,那么代数式(,x)(x)的值是()A(一定为正B(一定为负C(一定为非负数D(不能确定计算(a)(a,a)(a,)(aa)的正确结果是()A((a)B((a,)C(aD(a方程(x)(x,),x,的解是()A(x,B(x,,C(x,D(x,二、填空题(x,)(x),((,x,y)(,xy),((x)(x),(x,)(x,),((y,)(y,)(y,),((xxx,)(x,x)的展开式中x的系数是(三、解答题凯里市冠英中学教育资源、计算下列各式()(xy)(x,y)()(x)(x),(x)(x,)()(xx)(xx,)()(xy)(xy),(x,y)(xy)、求(ab),(a,b),ab的值其中a,b,(、(x,)(x),x(,xy)x(,x,y)其中x,,y,(板书设计多项式乘以多项式、多项式乘以多项式的乘法法则例:练习:平方差公式(一)教学目标(知识与技能会推导平方差公式并且懂得运用平方差公式进行简单计算((过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程发展学生的符号感和推理能力使学生逐渐掌握平方差公式((情感、态度与价值观通过合作学习体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性体验数学活动充满着探索性和创造性(重、难点与关键凯里市冠英中学教育资源(重点:平方差公式的推导和运用以及对平方差公式的几何背景的了解((难点:平方差公式的应用((关键:对于平方差公式的推导我们可以通过教师引导学生观察、•总结、猜想然后得出结论来突破抓住平方差公式的本质特征是正确应用公式来计算的关键(教学方法采用“情境探究”的教学方法让学生在观察、猜想中总结出平方差公式(教学过程一、创设情境故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事•其他学生认真听着不时补充(【教师归纳】听了这则故事之后同学们应该懂得这么一个道理学习千万不能像狗熊掰棒子一样前面学后面忘那么上节课我们学习了什么呢,还记得吗,【学生回答】多项式乘以多项式(【教师激发】大家是不是已经掌握呢,还是早扔掉了呢,和小狗熊犯了同样的错误呢,下面我们就来做这几道题看看你是否掌握了以前的知识(【问题牵引】计算:()(x)(x,)()(a)(,a)()(xy)(x,y)()(yz)(y,z)(做完之后观察以上算式及运算结果你能发现什么规律,再举两个例子验证你的发现(【学生活动】分四人小组合作学习获得以下结果:()(x)(x,)=x,()(a)(,a)=,a()(xy)(x,y)=x,y()(yz)(y,z)=y,z(【教师活动】请一位学生上台演示然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果寻找规律(【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律这些是一类特殊的多项式相乘那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢,【学生回答】可以用(ab)(a,b)表示左边那么右边就可以表示成a,b了即(ab)(a,b)=a,b(用语言描述就是:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差(【教师活动】表扬学生的探索精神引出课题平方差并说明这是一个平方差公式和凯里市冠英中学教育资源公式中的字母含义(二、范例学习应用所学【教师讲述】平方差公式的运用关键是正确寻找公式中的a和b只有正确找到a和b•一切就变得容易了(现在大家来看看下面几个例子从中得到启发(【例】运用平方差公式计算:()(x)(x,)()(ba)(a,b)()(,mn)(,m,n)(填表:(ab)(a,b)aba,b结果(x)(x,)(x),x(ba)(a,b)(,mn)(,m,n)【例】计算:()()(x,y)(y,x),(x,y)(xy)通过做题应该总结出:在两个因式中符号相同的一项作a符号不同的一项作b(三、随堂练习巩固新知课本P练习第、题(四、课堂总结发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质(运用平方差公式应满足两点:一是找出公式中的第一个数a•第二个数b二是两数和乘以这两数差这也是判断能否运用平方差公式的方法(五、布置作业专题突破课本P第、题(板书设计平方差公式(一)、平方差公式例:(ab)(a,b)=a,b练习:凯里市冠英中学教育资源平方差公式(二)教学目标(知识与技能探究平方差公式的应用熟练地应用于多项式乘法之中((过程与方法经历平方差公式的运用过程体会平方差公式的内涵((情感、态度与价值观培养良好的运算能力以及观察事物的特征的能力感受到学习数学知识的实际价值(重、难点与关键(重点:运用平方差公式进行整式计算((难点:准确把握运用平方差公式的特征((关键:弄清平方差公式的结构特点左边:()两个二项式的积()•两个二项式中一项相同另一项互为相反数(右边:()二项式()两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方(教学方法采用“精讲(精练”分层递推的教学方法让学生在训练中熟练掌握平方差的特征(教学过程一、回顾交流课堂演练(用平方差公式计算:()(,x,y)(,xy)()(,yx)(yx)()(ab,)(ab)(),(计算:(ab)(a,b),(a,b)(ab)【教师活动】请部分学生上讲台“板演”然后组织学生交流(【学生活动】先独立完成课堂演练再与同学交流(二、范例学习巩固深化【例】计算:()(yx)(x,y)()(,x,ab)(x,ab)()(a,b)(ab)(ab)(ab)(凯里市冠英中学教育资源解:()原式=(xy)(x,y)=yx,()原式=(,ab,x)(,abx)=(,ab),(x)=ab,x()原式=(a,b)(ab)(ab)=(a,b)(ab)=a,b【例】运用乘法公式计算:【思路点拨】因为可改写为,可改写成这样可用平方差公式计算(解:=(,)()=,()=,=(【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式(【学生活动】参与到例,的学习中去(三、课堂演练拓展思维【演练题】想一想:()计算下列各组算式并观察它们的共同特征(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,()从以上的过程中你能寻找出什么规律,()请你用字母表现你所发现的规律并得出结论(【演练题】(计算:()()()(求(,)()()()„()的个位数字(【教师活动】组织学生进行课堂演练并适时归纳(【学生活动】先独立完成上面的演练题再与同伴交流(四、随堂练习巩固提升【探研时空】(计算:a,(ab)(a,b)(,a,b)(,ab)b(解不等式:(x)(x,)<(x,)(x)(利用平方差公式计算:(化简求值:x,(,x)(x)(x)其中x=,(【教师活动】引导学生通过探究领会平方差公式的真正意义(【学生活动】分四人小组合作学习互相交流(五、课堂总结发展潜能提问式总结:凯里市冠英中学教育资源(什么叫做平方差公式,它有什么特征,(你在应用过程中有什么感想,(在应用平方差公式时应注意什么,举例说明(六、布置作业专题突破平方差公式基础题一、选择题下列多项式乘法能用平方差公式进行计算的是()A(xy)(,x,y)B(xy)(x,z)C(,a,b)(a,b)D(m,n)(n,m)下列计算正确的是()A(x)(x,)=x,B(x)(x,)=x,C(x)(x,)=x,D(,b)(,,b)=,b下列多项式乘法不能用平方差公式计算的是()A(,a,b)(,ba)B(xyz)(xy,z)C(,a,b)(ab)D(x,y)(,y,x)(x,y)需乘以下列哪个式子才能使用平方差公式进行计算()A,x,yB,xyC(x,y)D(xy)a(,a)(a)(a)的计算结果是()A,BCa,D,a下列各式运算结果是x,y的是()A(xy)(,xy)B(,x,y)(,xy)C(x,y)(xy)D(x,y)(y,x)二、解答题a(a,),(a)(a,)(xy)(x,y)(xy)凯里市冠英中学教育资源,×,平方差公式提高题一、选择题:下列式中能用平方差公式计算的有()(xy)(xy),(abc)(bca),(xy)(xy),()()A个B个C个D个下列式中,运算正确的是(),,,()aa,()()()mmm,,,,()(),,,xxxabab,ABCD乘法等式中的字母a、b表示()A只能是数B只能是单项式C只能是多项式D单项式、•多项式都可以二、解答题aaa计算(a)(a)()()()计算:()()()(),,,计算:()化简求值:(x)(x)(x)(x)x(x),其中x=凯里市冠英中学教育资源()解方程x(x)(x)(x)(x)=计算:()()()()(),,,,,,已知可以被在至之间的两个整数整除,则这两个整数是多少板书设计平方差公式(二)、平方差公式例:(ab)(a,b)=a,b练习:完全平方公式(一)教学目标(知识与技能会推导完全平方公式并能运用公式进行简单的运算形成推理能力((过程与方法利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义推导出完全平方公式(掌握完全平方公式的计算方法((情感、态度与价值观培养学生观察、类比、发现的能力体验数学活动充满着探索性和创造性(重、难点与关键(重点:完全平方公式的推导和应用((难点:完全平方公式的应用((关键:从多项式与多项式相乘入手推导出完全平方公式•利用几何模和割补面积的凯里市冠英中学教育资源方法来验证公式的正确性(教具准备制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板(教学方法采用“情境探究”教学方法让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵(教学过程一、创设情境导入新知【激趣辅垫】寓言故事:请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事(【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事其他学生补充(【教师活动】提出:你们从故事中学到了什么道理,(寓德于教)【学生发言】比喻没有真才实学的人混在行家里充数或以次货充好货(【教师引导】对~所以我们在以后的学习和工作中千万别滥竽充数一定要有真才实学(好(今天同学们喊得很响亮我要看看有没有南郭先生请同学们完成下面的几道题:()(x,)()(xy)()(mn)()(x,)(【学生活动】先独立完成以上练习再争取上讲台演练()(x,)=x,x()(xy)=xxyy()(mn)=mmnn()(x,)=x,x(【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项观察、猜测它们的共同特点(【学生活动】分四人小组讨论(观察探讨发现规律如下:()•右边第一项是左边第一项的平方右边最后一项是左边第二项的平方中间一项是它们两个乘积的倍(()左边如果为“”号右边全是“”号左边如果为“,”号它们两个乘积的•倍就为“,”号其余都为“”号(【教师提问】那我们就利用简单的(ab)与(a,b)进行验证请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算(【学生活动】计算出(ab)=aabb(a,b)=a,abb完成后•一位学生上讲台板演(【教师活动】利用学生的板演内容引出本节课的教学内容完全平方公式(归纳:完全平方公式:(ab)=aabb(a,b)=a,abb(语言叙述:两数和(或差)的平方等于它们的平方和加(或减)它们的积的倍(为了让学生直观理解公式可做下面的拼图游戏(【拼图游戏】解释:()现有图所示的三种规格的硬纸片各若干张•请你根据二次三项式aabb选取相应种类和数量的硬纸片拼出一个正方形•并探究所拼出的正方形的代数意义(凯里市冠英中学教育资源()你能根据图谈一谈(a,b)=a,abb吗,【课堂活动】第()题由小组合作在互动中完成拼图游戏比一比哪个四人小组快,第()题可以借助多媒体课件直观地演示面积的变化帮助学生联想到(a,b)=a,b,b(a,b)=a,abb(二、范例学习应用所学【例】运用完全平方公式计算:()(,x,y)()(y,)()解法一:(,x,y)=(,x)(,y)=(,x)(,x)(,y)(,y)=xxyy解法二:(,x,y)=,(xy)=(xy)=xxyy(()解法一:(y,)=(y),y()=y,y(解法二:(y,)=y(,)=(y)y(,)(,)=y,y(【例】运用乘法公式计算(解:=(,)=,=,=(三、随堂练习巩固新知【基础训练】ab()(,)()(xy)()(,ab)()(ab)(【拓展训练】凯里市冠英中学教育资源()(,x,)()(x)()(x,)()(,x)(【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后让学生观察一下结果看看有什么规律(【学生活动】分四人小组合作交流寻找规律如下:把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方(把减去一个数看作加上一个负数)如果两个数是相同的符号则结果中的每一项都是正的如果两个数具有不同的符号•则它们乘积的倍这一项就是负的(【探研时空】已知:xy=,xy=求xy(四、课堂总结发展潜能本节课学习了(ab)=aabb两个乘法公式在应用时()•要了解公式的结构和特征(让住每一个公式左右两边的形式特征记准指数和系数的符号()掌握公式的几何意义()弄清公式的变化形式()注意公式在应用中的条件()应灵活地应用公式来解题(五、布置作业专题突破课本P习题(第、、、题(板书设计完全平方公式(一)、完全平方公式例:(ab)=aabb练习:完全平方公式(二)教学目标(知识与技能引导学生通过观察、分析使他们掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义会正确地运用这些公式((过程与方法通过探索和理解乘法公式感受乘法公式从一般到特殊的认知过程拓展思维空间((情感、态度与价值观培养良好的分析思想和与人合作的习惯体会到数学算理的重要价值(重、难点与关键(重点:正确应用乘法公式(平方差公式完全平方公式)((难点:对乘法公式的结构特征以及内涵的理解(凯里市冠英中学教育资源(关键:对公式的结构特征进行具体的分析•从中感悟公式的特点并加以概括(教学方法采用“精讲(精练”的教学方法增强教学的有效性(教学过程一、回顾交流拓展延伸【教师提问】(请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容((这两个公式有什么区别,如何使用,【学生活动】踊跃发言(平方差公式:(ab)(a,b)=a,b完全平方公式:(ab)=aabb这里的字母a、b可以是数、单项式、多项式(二、范例学习拓展知识【例】计算(a,b,)(ab)该题关键在于正确的分组一般规律是:把完全相同的项分为一组符合相反、绝对值相等的项分为另一组(【例】例a=,b=时求代数式(ab)(a,b)(a,b)的值(【例】已知ab=,ab=,求ab的值(解:(ab)=aabb变形后可有ab=(ab),ab(把ab=,ab=,代入上式则ab=(,),(,)=(三、随堂练习巩固深化【课堂演练】演练题:应用乘法公式计算:,(演练题:已知ab=,ab=求()ab()(a,b)(四、课堂总结发展潜能(本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法•注意平方差公式与完全平方公式的区别((在乘法计算中能用公式简便计算的应该使用公式•要注意公式的应用条件记住公式的模样在此前提下对具体题目进行细致观察想办法将题目调整或变形使之能使用公式当然有些不能使用公式的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进行了(五、布置作业专题突破课本P第、、题习题精选凯里市冠英中学教育资源一、选择题,(下列各式中能够成立的等式是()(A(B(C(D((下列式子:中正确的是()A(B(C(D((()A(B(C(D((若则M为()(A(B(C(D((一个正方形的边长为若边长增加则新正方形的面积人增加了()(A(B(C(D(以上都不对(如果是一个完全平方公式那么a的值是()(A(B(,C(D((若一个多项式的平方的结果为则()A(B(C(D((下列多项式不是完全平方式的是()(A(B(C(D((已知则下列等式成立的是()A(B(C(D(二、填空题((((((((三、解答题(运用完全平方公式计算:凯里市冠英中学教育资源()()()()(计算:()(()(()(()(()()()()(板书设计完全平方公式(二)、完全平方公式例:(ab)=aabb练习:同底数幂的除法教学目标(知识与技能了解同底数幂的除法的运算性质并会用其解决实际问题((过程与方法经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程进一步体会幂的意义发展推理能力和有条件的表达能力((情感、态度与价值观感受数学法则、公式的简洁美、和谐美(重、难点与关关键(重点:同底数幂的除法法则((难点:同底数幂的除法法则的推导((关键:采用数学类比的方法引入幂的除法法则(教学方法采用“问题解决”教学方法(教学过程一、创设情境导入新知凯里市冠英中学教育资源【情境引入】教科书P问题:一种数码照片的文件大小是K一个存储量为M(M=K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片,你是如何计算的,【教师活动】组织学生独立思考完成然后先组内交流(人小组)•接着再全班交流鼓励学生积极探索应用数学转化的思想化陌生为熟悉鼓励学生算法多样化同样强调算理的叙述(【学生活动】完成课本P“问题”踊跃发言利用除法与乘法的互逆关系求出==(【继续探究】根据除法的意义填空并观察计算结果寻找规律:()()=()()=()()xx=x(mnm,n【归纳法则】一般地我们有aa=a(amn都是正整数m>n)(文字叙述:同底数的幂相除底数不变指数相减(【教师活动】组织学生讨论为什么规定a,二、范例学习应用所学【例】计算:()xx()mm()(xy)(xy)()(m,n)(m,n)(【特殊性质】探究课本P“探究”题(根据除法的意义填空并观察结果的规律:()=()()=()nn()aa=()(a),【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后教师引导学生观察结论:()==,()==nnn,n()aa=a=a(a)规定a=(a)文字叙述如下:任何不等于的数的次幂都等于(mnm,n【法则拓展】一般我们有aa=a(amn都是正整数并且mn)•即文字叙述为:同底数幂相除底数不变指数相减(三、随堂练习巩固深化课本P练习第、、题(【探研时空】下列计算是否正确,如果不正确应如何改正,凯里市冠英中学教育资源()(,xy)(,xy)=,xymm()==()xxx=xx=(四、课堂总结发展潜能教师提问式总结:(同底数幂的除法法则,(a=(a)意义,(到目前为止我们学习了哪些幂的运算法则,谈谈它们的异同点(五、布置作业专题突破课本P第题(同底数幂的除法a=ak,若=则k=,(()=,(用小数表示=。((a)(a)==。(计算(a)(a)的结果是()A(aBaCaDa下列计算正确的是(),,A()=B()=C=Daa=a(a)mxm如果aa=a那么x等于()A(BmCmD,设a以下的运算结果:(a)a=aaa=a,,(a)a=a(a)a=a其中正确的是()ABCD计算下列各题:()(m)(m)()(xy)(yx)(xy)mnmnmn()(a)(a)(a)凯里市冠英中学教育资源,,()()()板书设计同底数幂的除法、同底数幂的除法法则例:mnm,naa=a练习:(amn都是正整数m>n)单项式除以单项式教学目标(知识与技能会进行单项式除以单项式运算理解整式除法运算的算理发展有条理的思考及语言表达能力((过程与方法经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则的过程掌握整式除法运算((情感、态度与价值观培养学生探索的勇气和信念增强挑战困难的勇气和信心(重、难点与关键(重点:单项式除以单项式的运算法则((难点:理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算((•关键:运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以单项式运算法则的理解之中(教学方法采用“引导发现”法进行教学(教学过程一、创设情境导入新知【激趣引入】问题提出:林宁今年刚刚岁是幼儿园里最聪明的孩子•李老师教他做算术告诉他=后他马就知道=你说他是怎样计算的呢,【学生活动】回答上述问题:林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果(【教师活动】提出话题:我们前几天学习了整式的乘法现在不用老师讲解你们能开始解决整式的除法运算吗,谁可以告诉我单项式与单项式相除的法则,凯里市冠英中学教育资源【学生活动】思考回答:把它们的系数先相除然后再把相同字母的幂相除其他的字母连同它的指数不变作为商的因式(【教师活动】引入课题引导学生运用单项式除以单项式的法则计算下列几道题目(【课堂演练】计算:()(xy)x()(mn)(mn)()(xyz)(xy)【学生活动】开始计算然后总结归纳上台演示引入课题(【归纳法则】单项式相除把系数与同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数作为商的一个因式(二、范例学习应用所学【例】计算:()xyxy(),abcab(三、随堂练习巩固深化课本P练习第、题(【探研时空】mnm,n已知==求的值(四、课堂总结发展潜能单项式除以单项式运算时要注意:(系数相除与同底数的幂相除的区别:后者运算时是将指数相减•然而前者是有理数的除法((对于单项式除以单项式仅仅考虑整除的情况(五、布置作业专题突破课本P习题(第、、题单项式除以单项式一、选择题(括号内应填的代数式为()(xyz,(),xyA(B(C(D(xyzxyxyzxyz(下列计算中正确的是()(x,x,xab,ab,A(B(mma,a,aC(D(abc,(,ab),,cmn(若xy,xy,x则()(m,,n,m,,n,A(B(凯里市冠英中学教育资源m,,n,m,,n,C(D(,,(在abc,(,abc),abc(),,nnn,()中不正确的个数是()(xy,,y,xy,,(x),x,xA(个B(个C(个D(个(下列计算正确的是()(a,a,aa,a,aA(B(C(D(,ab,,a,ab,ab,ab,,ab(计算其结果是()(abc,,abc,abcA(B(C(D(mn(若则()(xy,xy,xA(B(m,n,n,n,C(D(n,n,m,n,(在等式中的括号内应填入()(a,,b,,,ababA(abB(C(D(,ab二、填空题(x,x,((,mn),(,mn),((),(,),((a,b),(a,b),(=((,abc),abc((a,a),(a,a),a,((x,y)(xy),,(y,x)(xy),mm((,(),三、解答题(计算:凯里市冠英中学教育资源,,,,axax,,()(),xy,xy,,,,,,,,abc,,abx,y,xy()()nnxy,,xy()()(,,(板书设计单项式除以单项式、单项式除以单项式的除法法则例:练习:多项式除以单项式教学目标(知识与技能要求学生能够进行多项式除以单项式的运算并且理解除法运算的算理发展思维能力和表达能力((过程与方法利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则掌握整式除法的运算((情感、态度与价值观通过分组讨论学习体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性培养学生的团结协作精神使学生获得合作交流的学习方式(重、难点与关键(重点:多项式除以单项式的运算法则的推导以及法则的正确使用((难点:多项式除以单项式的运算法则的熟练应用((关键:从逆运算入手•利用单项式与单项式相除的除法法则和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则(教学方法采用“激趣导学”的教学法(教学过程一、小组合作激趣导学【课堂演练】凯里市冠英中学教育资源((,ab)(ab)(,(xy)(,xy)((xy)(,xyz)(,xyz)(xy(,xy),xy(,xy)(【教师提问】“(xyy)(y)”如何计算,【学生活动】相互讨论大多数学生没有找到计算思路(【教师活动】铺垫一道题目:计算(adbd)d计算:()(xyxy)x()(xy,xy)(xy)【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则:多项式与单项式相除可以用分配律将它转化为单项式与单项式相除再利用单项式与单项式相除的法则进行计算(【师生共识】多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以单项式再把所得的商相加(二、范例学习应用所学【例】计算:()(x,x,x)x()(xy,xy,xy)(,xy)()(m,n),n(mn),mm三、随堂练习巩固深化课本P练习题(【探研时空】下列计算是否正确,如不正确应怎样改正,(),abab=b()(a,aa)a=a,a(四、课堂总结发展潜能多项式除以单项式时应注意运算中的问题:一是所除的商要写成省略括号的代数和二是除式与被除式不能交换还要注意运算顺序应灵活地运用有关运算公式(五、布置作业专题突破课本P第、、、题(多项式除以单项式课时作业填空:()(aa)a==()(xxx)(x)==计算:凯里市冠英中学教育资源()(aaa)a()(xyxyxy)(xy)(),(xy)y(xy)x,x板书设计多项式除以单项式、多项式除以单项式的除法法则例:练习:因式分解教学目标(知识与技能了解因式分解的意义以及它与整式乘法的关系((过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程掌握因式分解的概念感受因式分解在解决问题中的作用((情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中培养学生有条理的思考、表达与交流的能力培养积极的进取意识体会数学知识的内在含义与价值(重、难点与关键(重点:了解因式分解的意义感受其作用((难点:整式乘法与因式分解之间的关系((关键:通过分解因数引入到分解因式并进行类比加深理解(教学方法采用“激趣导学”的教学方法(教学过程凯里市冠英中学教育资源一、创设情境激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的个问题:问题:能被哪些数整除,谈谈你的想法(问题:当a=b=时求a,b的值(二、丰富联想展示思维探索:你会做下面的填空吗,(mambmc=()()(x,=()()(x,xyy=()(【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解也叫做分解因式(三、小组活动共同探究【问题牵引】()下列各式从左到右的变形是否为因式分解:(x)(x,)=x,a,b=(a)(a,)bx,=(x,)(()在下列括号里填上适当的项使等式成立(x()y=(xy)()x,xy()=(x,)(四、随堂练习巩固深化课本练习(【探研时空】计算:,能被整除吗,五、课堂总结发展潜能由学生自己进行小结教师提出如下纲目:(什么叫因式分解,(因式分解与整式运算有何区别,六、布置作业专题突破选用补充作业(板书设计因式分解、因式分解例:练习:凯里市冠英中学教育资源提公因式法教学目标(知识与技能能确定多项式各项的公因式会用提公因式法把多项式分解因式((过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程依据数学化归思想方法进行因式分解((情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想增进学生的合作交流意识主动积极地积累确定公因式的初步经验体会其应用价值(重、难点与关键(重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式((难点:正确地确定多项式的最大公因式((关键:提公因式法关键是如何找公因式(方法是:一看系数、二看字母(•公因式的系数取各项系数的最大公约数字母取各项相同的字母并且各字母的指数取最低次幂(教学方法采用“启发式”教学方法(教学过程一、回顾交流导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解为什么,()x=(x)()t,t=(t,tt)t()xxy,y=x(xy),y()m(xy)=mxmy()x,xyy=(x,y)(问题:(多项式mnmb中各项含有相同因式吗,(多项式x,x和xy,yz,y呢,请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式并说明理由(【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式如在mnmb中的公因式是m在x,x中的公因式是x在xy,yz,y中的公因式是y(概念:如果一个多项式的各项含有公因式那么就可以把这个公因式提出来从而将多项式化成两个因式乘积形式这种分解因式的方法叫做提公因式法(二、小组合作探究方法【教师提问】多项式x,xab,ab,ab各项的公因式是什么,凯里市冠英中学教育资源【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式找公因式一看系数、二看字母公因式的系数取各项系数的最大公约数字母取各项相同的字母并且各字母的指数取最低次幂(三、范例学习应用所学【例】把,xyz,xyzxyz分解因式(解:,xyz,xyzxyz=,(xyzxyz,xyz)=,xyz(xy,)【例】分解因式a(x,y),b(y,x)【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式(y,x)或(x,y)于是有两种变形(x,y)=,(y,x)和(x,y)=(y,x)从而得到下面两种分解方法(解法:a(x,y),b(y,x)=,a(y,x),b(y,x)=,(y,x)a(y,x)b(y,x)=,(y,x)a(y,x)b=,(y,x)(ay,axb)解法:a(x,y),b(y,x)=(x,y)a(x,y),b(x,y)=(x,y)a(x,y),b=(x,y)(ax,ay,b)【例】用简便的方法计算:,(【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便(解:,=(,)==(【教师活动】在学生完全例之后指出例是因式分解在计算中的应用提出比较例例例的公因式有什么不同,四、随堂练习巩固深化课本P练习第、、题(【探研时空】利用提公因式法计算:五、课堂总结发展潜能(利用提公因式法因式分解关键是找准最大公因式(•在找最大公因式时应注意:()系数要找最大公约数()字母要找各项都有的()指数要找最低次幂(凯里市冠英中学教育资源(因式分解应注意分解彻底也就是说分解到不能再分解为止(六、布置作业专题突破课本P习题(第、()、题(板书设计提公因式法、提公因式法例:练习:公式法(一)教学目标(知识与技能会应用平方差公式进行因式分解发展学生推理能力((过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程发展学生的逆向思维感受数学知识的完整性((情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯体会数学在实际问题中的应用价值(重、难点与关键(重点:利用平方差公式分解因式((难点:领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性((关键:应用逆向思维的方向演绎出平方差公式•对公式的应用首先要注意其特征其次要做好式的变形把问题转化成能够应用公式的方面上来(教学方法采用“问题解决”的教学方法让学生在问题的牵引下推进自己的思维(教学过程一、观察探讨体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式(()(a)(a,)()(mn)(m,n)(【学生活动】动笔计算出上面的两道题并踊跃上台板演(()(a)(a,)=a,=a,()(mn)(m,n)=(m),(n)=m,n(凯里市冠英中学教育资源【教师活动】引导学生完成下面的两道题目并运用数学“互逆”的思想寻找因式分解的规律((分解因式:a,(分解因式m,n(【学生活动】从逆向思维入手很快得到下面答案:()a,=a,=(a)(a,)(()m,n=(m),(n)=(mn)(m,n)(【教师活动】引导学生完成a,b=(ab)(a,b)的同时导出课题:用平方差公式因式分解(平方差公式:a,b=(ab)(a,b)(评析:平方差公式中的字母a、b教学中还要强调一下可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式)(二、范例学习应用所学【例】把下列各式分解因式:(投影显示或板书)()x,y()x,y()ax,by()(xy),(x,y)()m(x,y)n(y,x)(【思路点拨】在观察中发现,题均满足平方差公式的特征可以使用平方差公式因式分解(【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解请位学生上讲台板演(【学生活动】分四人小组合作探究(解:()x,y=(xy)(x,y)()x,y=(xy)(x,y)=(xy)(xy)(x,y)()ax,by=(ax,by)=(axby)(ax,by)()(xy),(x,y)=(xy)(x,y)(xy),(x,y)=y(x,y)()m(x,y)n(y,x)=(x,y)(m,n)=(x,y)(mn)(m,n)(三、随堂练习巩固深化课本P练习第、题(【探研时空】(求证:当n是正整数时n,n的值一定是的倍数((试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除(连续偶数的平方差能被一个奇数整除(四、课堂总结发展潜能运用平方差公式因式分解首先应注意每个公式的特征(分析多项式的次数和项数然后再确定公式(如果多项式是二项式通常考虑应用平方差公式如果多项式中有公因式可提应先提取公因式而且还要“提”得彻底最后应注意两点:一是每个因式要化简二是分解因式时每个因式都要分解彻底(凯里市冠英中学教育资源五、布置作业专题突破课本P习题(第、()、题(板书设计公式法(一)、平方差公式:例:a,b=(ab)(a,b)练习:公式法(二)教学目标(知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法发展推理能力((过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程感受逆向思维的意义掌握因式分解的基本步骤((情感、态度与价值观培养良好的推理能力体会“化归”与“换元”的思想方法形成灵活的应用能力(重、难点与关键(重点:理解完全平方公式因式分解并学会应用((难点:灵活地应用公式法进行因式分解((关键:应用“化归”、“换元”的思想方法把问题进行形式上的转化•达到能应用公式法分解因式的目的(教学方法采用“自主探究”教学方法在教师适当指导下完成本节课内容(教学过程一、回顾交流导入新知【问题牵引】(分解因式:(),xy()(xy),(x,y)()x,y(【知识迁移】凯里市冠英中学教育资源(计算下列各式:()(m,n)()(mn)()(ab)()(a,b)(【教师活动】引导学生完成下面两道题并运用数学“互逆”的思想寻找因式分解的规律((分解因式:()m,mnn()mmnn()aabb()a,abb(【学生活动】从逆向思维的角度入手很快得到下面答案:解:()m,mnn=(m,n)()mmnn=(mn)()aabb=(ab)()a,abb=(a,b)(【归纳公式】完全平方公式aabb=(ab)(二、范例学习应用所学【例】把下列各式分解因式:(),abab,b()a,a,mnmn()(xy),(xy)()n(【例】如果xaxyy是完全平方求a的值(【思路点拨】根据完全平方式的定义解此题时应分两种情况即两数和的平方或者两数差的平方由此相应求出a的值即可求出a(三、随堂练习巩固深化课本P练习第、题(【探研时空】(已知xy=xy=求下列各式的值(()xy()(x,y)(已知x=,求x的值(xx四、课堂总结发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反因此把整式乘法公式反过来写就得到多项式因式分解的公式主要的有以下三个:a,b=(ab)(a,b)aabb=(ab)(在运用公式因式分解时要注意:()每个公式的形式与特点通过对多项式的项数、•次数等的总体分析来确定是否可以用公式分解以及用哪个公式分解通常是当多项式是二项式时考虑用平方差公式分解当多项式是三项时应考虑用完全平方公式分解()•在有些情况下多项式不一定能直接用公式需要进行适当的组合、变形、代换后再使用公式法分解()当多项式各项有公因式凯里市冠英中学教育资源时应该首先考虑提公因式•然后再运用公式分解(五、布置作业专题突破课本P习题(第、、、题(因式分解课时作业一、填空(分解因式:abab=xyxyxy=分解因式:ab=xy=(am)(an)=分解因式:aabb=二、计算()()a(ab)b(ba)()(m)(n)mn三、综合aabb已知ab=,求的值abc,ab,ac,bc,三角形三边长度满足,判断三角形ABC的形状。已知(b)(b)=,求(b)(b)的值已知aabb与,b,互为相反数求ab的值凯里市冠英中学教育资源板书设计公式法(二)、完全平方公式:例:aabb=(ab)练习

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/197

人教版八年级上册数学教案教师用书

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利