数值分析实验报告6

数值分析实验报告6数值分析实验报告6 实验名称:线性方程组迭代解法 1)实验目的: 1. 熟悉Matlab编程。 2. 学习线性方程组迭代解法的程序设计算法。 2)实验题目: 第一题:研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。 A为20阶五对角距阵 31214,,//，， ,,,,,1231214/// ,, ,,,,,,141231214//// ,,A, ,, ,, ,,,,141231214////,, ,,,1412312///,, ,,,,14123//，，要求: (1)选取不同的初始向量x0 及右端向量...

数值分析实验报告 6 实验名称:线性方程组迭代解法 1)实验目的: 1. 熟悉Matlab编程。 2. 学习线性方程组迭代解法的程序设计算法。 2)实验题目: 第一题:研究解线性方程组Ax=b迭代法收敛速度。 A为20阶五对角距阵 31214,,//，， ,,,,,1231214/// ,, ,,,,,,141231214//// ,,A, ,, ,, ,,,,141231214////,, ,,,1412312///,, ,,,,14123//，，要求: (1)选取不同的初始向量x0 及右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯- 赛德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛,若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。 (2)用SOR迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1< ω <2的不同值,在时停止迭代.记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。 Hx,bHnn第二题:给出线性方程组其中系数矩阵为希尔伯矩阵: 1h,n，nijH,(h),Ri，j,1nij，，i = 1, 2……n. **Tn，nb,Hxx,(1,1？,1),Rn假设，，若取n = 6, 8, 10，分别用雅克比迭代及SOR迭代(w = 1, 1.25, 1.5)求解.比较计算结果 3)实验原理与理论基础: 第一题:(一) 雅克比(Jacobi)迭代法算法设计: ?输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i); ?按公式计算得 ,,n,,1，(k1)(k)x,b,ax(i,1,2,？,n) ,iiijj,,a,j1ii,,,ji,, (二)高斯――赛得尔迭代法算法设计: 1. 输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i). ,1in,,1(，1)(，1)()kkk,, 2. (i = 1, 2,…, n) ,,,xbaxax,,iiijjijj,,a,1,，1jjiii,, (三)超松驰法算法设计: ?输入矩阵a与右端向量b及初值x(1,i)。 ,1in,,,(，1)()(，1)()kkkk,,?, 0,,,2,,，,,x(1)xbaxax,,,iiiijjijj,,a,1,，1jjiii,, 4)实验内容 : 第一题:代码: 雅克比(Jacobi)迭代法 ? function []=yakebi(e) %输入矩阵a与右端向量b。 for i=1:20 a(i,i)=3; end for i=3:20 for j=i-2 a(i,j)=-1/4; a(j,i)=-1/4; end end for i=2:20 for j=i-1 a(i,j)=-1/2; a(j,i)=-1/2; end end b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; k=1; n=length(a); for i=1:n x(1,i)=1;%数组中没有第0行。 end while k>=1 for i=1:n m=0; %此步也可以用ifj~=i条件判定一下。 for j=1:(i-1) m=m+a(i,j)*x(k,j); end for j=(i+1):n m=m+a(i,j)*x(k,j); end x(k+1,i)=(b(i)-m)/a(i,i); end l=0; %判定满足条件使循环停止迭代。 for i=1:n l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i)); end if l=1 for i=1:n p=0;q=0; for j=1:(i-1) p=p+a(i,j)*x(k+1,j); end for j=(i+1):n q=q+a(i,j)*x(k,j); end x(k+1,i)=(b(i)-q-p)/a(i,i); end l=0; %判定满足条件使循环停止迭代。 for i=1:n l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i)); end if l=1 if w>=2||w<=1 '请重新输入w的值，w在1与2之间'; break end for i=1:n p=0;q=0; for j=1:(i-1) p=p+a(i,j)*x(k+1,j); end for j=i:n q=q+a(i,j)*x(k,j); end x(k+1,i)=x(k,i)+w*(b(i)-q-p)/a(i,i); end l=0; %判定满足条件使循环停止迭代。 for i=1:n l=l+abs(x(k+1,i)-x(k,i)); end if l i) temp02 = temp02 + Hn(i, j) * X_old(j); end end end X_new(i) = w * (b(i) - temp01 - temp02) / Hn(i, i) + X_old(i); end X = X_new; End 5)实验结果: 第一题?雅克比(Jacobi)迭代法此时初值全取1; >> b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; yakebi(0.00001) ans = Columns 1 through 9 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 Columns 10 through 18 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 Columns 19 through 20 0.9787 0.9793 k = 12 此时初值全取1; >> b=[2.5 1.9 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.9 2.5]; yakebi(0.00001) ans = Columns 1 through 12 1.0969 1.0707 1.0219 1.0103 1.0039 1.0016 1.0006 1.0003 1.0001 1.0001 1.0001 1.0001 Columns 13 through 20 1.0003 1.0006 1.0016 1.0039 1.0103 1.0219 1.0707 1.0969 k = 14 ?高斯――赛得尔迭代法此时初值全取1; >> b=[2.2 1.7 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.7 2.2]; >> gaoshisaideer(0.00001) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 14 此时初值全取1; >> b=[2.5 1.9 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.9 2.5]; gaoshisaideer(0.00001) ans = Columns 1 through 12 1.0969 1.0707 1.0219 1.0103 1.0039 1.0016 1.0006 1.0003 1.0001 1.0001 1.0001 1.0001 Columns 13 through 20 1.0003 1.0006 1.0016 1.0039 1.0103 1.0219 1.0707 1.0969 k = 14 ?超松驰法 >> caosongci(0.00001,1.5) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 25 >> caosongci(0.00001,1.4) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 19 >> caosongci(0.00001,1.3) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 15 >> caosongci(0.00001,1.6) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 34 >> caosongci(0.00001,1.7) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 47 >> caosongci(0.00001,1.9) ans = Columns 1 through 12 0.9793 0.9787 0.9941 0.9970 0.9989 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 13 through 20 0.9999 0.9998 0.9995 0.9989 0.9970 0.9941 0.9787 0.9793 k = 150 第二题: 对于雅克比迭代法，通过执行以下代码 >> p211_1_JJ(6) >> p211_1_JJ(8) >> p211_1_JJ(10) 可以分别得到: Now Jacobi method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.4500 1.1036 0.6265 0.4060 0.2831 0.2071 Now Jacobi method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.7179 1.4101 0.8524 0.5809 0.4221 0.3198 0.2497 0.1995 Now Jacobi method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 2.9290 1.6662 1.0517 0.7423 0.5554 0.4315 0.3445 0.2807 0.2325 Column 10 0.1951 对于SOR迭代法，执行相对应代码 n=6, ω=1,1.25,1.5的时候 >> p211_1_SOR(6, 1) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.4500 1.1036 0.6265 0.4060 0.2831 0.2071 >> p211_1_SOR(6, 1.25) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 3.0625 0.2310 0.8704 0.3389 0.3141 0.2097 >> p211_1_SOR(6, 1.5) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 3.6750 -1.1009 2.0106 -0.3994 0.7670 -0.0384 与n=8, ω=1,1.25,1.5的时候 >> p211_1_SOR(8, 1) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 2.7179 1.4101 0.8524 0.5809 0.4221 0.3198 0.2497 0.1995 >> p211_1_SOR(8, 1.25) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 3.3973 0.4887 1.0898 0.5062 0.4501 0.3203 0.2573 0.2042 >> p211_1_SOR(8, 1.5) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = 4.0768 -0.9424 2.2923 -0.2753 0.9252 0.0578 0.4071 0.1275 与n=10, ω=1,1.25,1.5的时候 >> p211_1_SOR(10, 1) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 2.9290 1.6662 1.0517 0.7423 0.5554 0.4315 0.3445 0.2807 0.2325 Column 10 0.1951 >> p211_1_SOR(10, 1.25) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 3.6612 0.7098 1.2835 0.6617 0.5807 0.4299 0.3506 0.2844 0.2363 Column 10 0.1984 >> p211_1_SOR(10, 1.5) Now Successive Over Relaxtion method! Start with the vector that (0, 0, 0, ...)^T ans = Columns 1 through 9 4.3935 -0.7958 2.5326 -0.1523 1.0720 0.1565 0.5050 0.2041 0.2819 Column 10 0.1766 6)实验结果分析与小结: 1.在实习中，进行学习MATLAB，有助于将两者都更加的熟悉并加以充分利用。 2.此次取的b对于雅克比迭代法、高斯――赛得尔迭代法都是收敛的，对于相同的初值与右端向量明显可以看出高斯――赛得尔迭代法比雅克比迭代法快，这与理论上的分析完全一致嘛。 3.对于SOR迭代方法选择不同的松弛因子收敛次数大大不同，当松弛因子为1.1时，在同等条件下迭代最快.

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