广东历年高考数学试卷

广东历年高考数学试卷 2007年广东高考数学(理科)答案 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (本题8小题，每题5分，满分40分) 11(已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M?N= fx(),ln(1)，x1,x (A) (B) (C) (D) ,{|1}xx,,{|1}xx,{|11}xx,,, 答案:C; 2(若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b为实数)，则b= 11 (A) -2 (B) - (C) (D) 2 22 答案:B; 解析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B; 123(若函数，则f(x)是 fxxxR()sin(),,,2 , (A)最小正周期为的奇函数; (B)最小正周期为的奇函数; ,2 (C)最小正周期为2的偶函数; (D)最小正周期为的偶函数; ,,答案:D; 4(客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过 的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是 答案:C; 解析: 25(已知数列,,的前n项和，第k项满足,,,,，则k= Snn,,9aannk (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 答案:B; 解析:此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8。 aSSn,,,,210nnn,1 6(图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人 数依次记为A、A、…A(如A表示身高(单位:cm)在[150，155内的人数]。图2)12102 是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 (A)i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9 答案:C; 解析:S=; AAAA，，，4567 7(图,是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给,、,、,、,四个维修点的某种配件各,,件，在使用前发现需将,、,、,、,四个维修点的这批配件分别调整为,,、,,、,,、,,件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次(,个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为,)为 (,),, (,),, (,),, (,),, 答案:B; 8(设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b?S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)。若对于任意的a,b?S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b?S,下列等式中不恒成立的是 ( (A)( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a (B)b*( b * b)=b (C)( a*b) * [ b*( a * b)] =b 答案:A; 二、填空题(本题7小题，每题,分，满分3,分，其中,3，,,是选做题，考生只能选 做两题，三题全答的，只计前两题得分) 9(甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 2答案: 9 412解析:; ，,669 10(若向量满足，的夹角为60?，则=______; ||||1ab,,ab,ab,aaab,，, 3答案:; 2 13解析:， aaab,，,,，，，,11122 11(在直角坐标系xOy中,有一定点A(2，1)。若线段OA的垂直平分线过抛物线2的焦点，则该抛物线的准线方程是______; ypxp,,2(0) 5答案:; x,,4 51解析:OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=; ,,,2(1)x42 12(如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则;f(n)=______(答案用数字或n的解fn()f(4)____, 析式表示) nn(1)，答案:;8;n(n-2)。 2 nn(1)，解析:;; f(4)428,，,fnnn()(2),,,2 xt,，3,13((坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,yt,,3, x,cos,,,,,[0,2](参数t?R)，圆C的参数方程为(参数)，则圆C的圆心坐标为,y,，2sin2,, _______，圆心到直线l的距离为______. 答案:(0，2);. 22 |26|,,22解析:直线的方程为x+y-6=0，d=; 2 14((不等式选讲选做题)设函数则=_____;若，则xfxxx()|21|3,,,，，f(2),fx()5,的取值范围是________; 1答案:6; [,1],2 15(几何证明选讲选做题,如图所示，圆,的直径为,，,为圆周上一点。,,,,，过,作圆的切线,，过,作,的垂线,,，垂足为,，则?,,,,______;线段AE的长为_______。 D C l ABO ,答案:;3。 6 解析:根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案; AE=EC=BC=3; 三、解答题 16((本小题满分,2分) 已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、,(c,0) (,) 若c=5，求sin?A的值; (,) 若?A为钝角，求c的取值范围; AB,,,(3,4)AC,,(2,4)解析: (1)ACc,,,(3,4)，，若c=5， 则，? ,，616125coscos,，,,,,,AACAB，?sin?A,; 55255， ,，，,39160c,2525 (2)若?A为钝角，则解得c,，?c的取值范围是; (,)，,,33c,0, 17(下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 煤)的几组对照数据 , , , , , , ,(, , , ,(, (,) 请画出上表数据的散点图; ybxa,，(,) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出,关于,的线性回归方程; (,) 已知该厂技术改造前,,,吨甲产品能耗为,,吨标准煤;试根据(,)求出 的线性回归方程，预测生产,,,吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少 吨标准煤, (3×2(5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解析: (,) 略; (,) 方法1(不作要求):设线性回归方程为，则 ybxa,， 2222fabbabababa(,)(32.5)(43)(54)(64.5),，,，，,，，,，，, 22222,，,，,，,，,，,42(1814)(32.5)(43)(54)(64.5)aabbbab 79,b?时， ab,,,3.54.52 2222 取得最小值 (1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)bbbb,，,，,，,fab(,) 5222ba,,0.7,0.35即，?时,(,，,)取得最小值; 0.5[(32)(1)]57bbbb,，,,,，2 yx,，0.70.35所以线性回归方程为; 66.544.53.566.563,，，,方法2:由系数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 可知， xyb,,,,,4.5,3.5,0.7258644.5,， 9yx,，0.70.35，所以线性回归方程为; a,,，,3.50.70.352 yx,，,0.70.3570.35(,),,,,,时，，所以预测生产,,,吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低,,(,,吨标准煤( 18((本小题满分14分) 在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐2 22xy，,1标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 29a (1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标;若不存在，请说明理由。 22解析:(1)圆C:; (2)(2)8xy，，,, 22xy (2)由条件可知a=5，椭圆，?F(4，0)，若存在，则F在OQ的中垂线上，，,1259 又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称; 4y,,x,,3,,1,,5xxy，,,340,即，设Q(x,y)，则，解得 直线CF的方程为y-1=,,(1)x,,12xy33,,y,，,,40,,5,22, 412所以存在，Q的坐标为。 (,)55 19((本小题满分14分) 如图6所示，等腰三角形?ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于66 B、D的动点，点F在BC边上，且EF?AB，现沿EF将?BEF折起到?PEF的位置， 使PE?AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P-ACEF的体积。 (1)求V(x)的表达式; (2)当x为何值时，V(x)取得最大值, (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。 P ED AB FC图6 2x62SSx,,,S,96(1)由折起的过程可知，PE?平面ABC，， ,,BEFBDC,ABC5412 612xx(9),V(x)=() 036,,x312 612Vxx'()(9),,(2)，所以时， ，V(x)单调递增;时x,(0,6)vx'()0,636,,x34 ，V(x)单调递减;因此x=6时，V(x)取得最大值; vx'()0,126 BMBFBEBE(3)过F作MF//AC交AD与M,则，PM=， ,,,,,,212MBBE621ABBCBDAB2 66， MFBFPFBC,,,,，,54942336 284722,在?PFM中， ，?异面直线AC与PF所成角的余弦值为; cos，,,PFM7427 20((本题满分14分) 2 已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，fxaxxa()223,，,,yfx,()求实数a的取值范围。 2解析1:函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]fxaxxa()223,，,,yfx,() 上有解， a=0时，不符合题意，所以a?0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或ff(1)(1)0,,, af(1)0,,,,af(1)0,,,,37,,37,或或或a?1. ,,,15aa,a,5a,,,,，，,48(3)0aa,22,1,,,,[1.1],a, ,,37所以实数a的取值范围是a,或a?1. 2 解析2:a=0时，不符合题意，所以a?0,又 22?fxaxxa()223,，,,=0在[-1，1]上有解，,,,,(21)32xax在[-1，1]上有解 22121x,21x,,,y,在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域;设t=3-2x，ax32,32,x 21(3)217t,,yt,,,，,(6)x?[-1，1]，则23xt,,，t?[1,5],， 22tt 277t,t,[1,7)t,(7,5]gttgt().'(),，,设，时，，此函数g(t)单调递减，时，gt'()0,2tt 2[73,1],fxaxxa()223,，,,>0,此函数g(t)单调递增，?y的取值范围是，?=0在gt'() 137，[73,1],,,a1a,,[-1，1]上有解,?或。 a2 21((本题满分14分) 2,,,已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数;设fxxx()1,，,(),,,fx'() fa()n,,aa，(n=1,2,„„) a,1，1nn1fa'()n ,,, (1)求的值; (2)证明:对任意的正整数n，都有>a; an a,,nln(3)记b,(n=1,2,„„)，求数列{b}的前n项和S。 nnnaa,n 2,,,解析:(1)?，是方程f(x)=0的两个根， fxxx()1,，,(),,, ,，,,1515?; ,,,,,22 115aaa，，，,(21)(21)2nnnaa，,1nn244aaa,,,, (2)， fxx'()21,，，nnn1aa，，2121nn 5 1151,51,4a，，,(21)=，?，?有基本不等式可知(当且仅当a,a,,0a,1n211a，421222n 51,51,51,时取等号)，?同，样a,，„„，a,(n=1,2,„„)， ,,a,,023n222 ()()aaa,,,,,,nnn,,，,,1,,，,,1aaa,,,,,，，(1) (3)，而，即， ,,,，1nnn2121aa，，nn 22()a,,()a,,13535,，，,nnb,,,nlln2ln，同理，，又 bb,2a,,a,,,,1，，nn，1nn1112,,21a，35,21a，nn ，35nS,, 2(21)lnn2 2008年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) 数学(理科) 本试卷共4页，21小题，满分150分(考试用时120分钟( AB，参考公式:如果事件互斥，那么( PABPAPB()()()，,， nnnnnn,,,,1221ababaababb,,,，，，，()()已知是正整数，则 ( n 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 02,,a1(已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是( ) zaz (15)，(13)，A( B( C( D( (15)，(13)， 1{}aSS,20S,2(记等差数列的前项和为，若，，则( ) na,nn4612 A(16 B(24 C(36 D(48 一年级 二年级 三年级 3(某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表 y x女生 373 1(已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女 z 男生 377 370 生的概率是0.19(现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( C ) A(24 B(18 C(16 D(12 表1 ,240xy，?， ,xy，250，?,xy，4(若变量满足则的最大值是( ) zxy,，32,x0，?, ,y0，?, A(90 B(80 C(70 D(40 ABC，，?GHI5(将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) A A H G B B B B B B C C 侧视 I E E E D D E E E A( B( C( D( F F 图1 图2 p:q:6(已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) pq,( B( C( D( A()，,pq()()，,，pq()()，,，pq axa,Rx,Ryex,，37(设，若函数，有大于零的极值点，则( ) 11a,,3a,,3A( B( C( D( a,,a,,33 BDAEABCDACOE，OD8(在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线 FCD与交于点(若，，则( ) AF,AC,aBD,b 11211112A( B( C( D( ab，ab，ab，ab，42243333二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分( (一)必做题(9~12题) 开始 m,4n,69(阅读图3的程序框图，若输入，，则输出 i, ， ( a, 输入mn，(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”) ,:,, 268k(1)，kx10(已知(是正整数)的展开式中，的系数小于 xi,1 k,120，则 ( ami,， 22Cxxy，，,2011(经过圆的圆心，且与直线垂直xy，,0 ii,，1 的直线方程是 ( n整除a? 否 x,R12(已知函数，，则fx()的fxxxx()(sincos)sin,, 是 最小正周期是 ( ai，输出 二、选做题(13—15题，考生只能从中选做两题) CC，13((坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方12结束 图3 π,,,,,,??C程分别为，，则曲线C与交点的极坐标,,4cos00，,,cos3,12,,2,, 为 ( 12a,R14((不等式选讲选做题)已知，若关于的方程有实根，xxaa，，,，,0x4则的取值范围是 ( a PAAPA,2OACO15((几何证明选讲选做题)已知是圆的切线，切点为，(是圆的 BPB,1R,PCOO直径，与圆交于点，，则圆的半径 ( 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤( 16((本小题满分13分) x,R已知函数，的最大值是1，其图像经过点fxAxA()sin()(00,，,,,,,，π) π1,,M，( ,,32,, (1)求的解析式; fx() π312,,,,，，,0(2)已知，且，，求的值( f(),,,,,,,f()f(),,2513,, 17((本小题满分13分) 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件(已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元(设1件产品的利润(单位:万元)为( ,(1)求的分布列; , (2)求1件产品的平均利润(即的数学期望); , 1%70%(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为(如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少, 18((本小题满分14分) y 22xyb,0，椭圆方程为，抛物线方程为设，,1F 222bbG F12x xyb,,8()(如图4所示，过点作轴的平行线，与Fb(02)，，xA O B GG抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的图4 F右焦点( 1 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; PAB，(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使?ABP得为直角三角形,若存在，请指出共有几个这样的点,并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)( 19((本小题满分14分) 1,，x,1,k,Rx,R设，函数，，，试讨论函数1,xFxfxkx()(),,fx(),, ,,,xx11，?, 的单调性( Fx() 20((本小题满分14分) RPABCD,ABCD如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中BDPDABCD是圆的直径，，，垂直底面，，PDR,22，,ABD60，,BDC45P PEDFEEF，PBCD，BCPCG分别是上的点，且，过点作的平行线交于( ,EBFCE G BDABP,(1)求与平面所成角的正弦值; ?EFG(2)证明:是直角三角形; PE1?EFG(3)当时，求的面积( ,A D EB2 F B C 图5 21((本小题满分12分) 2{}xxp,设pq，为实数，是方程xpxq,，,0的两个实根，数列满足，,,，n1 2xpq,,n,34，，xpxqx,,，(„)( 2nnn,,12 (1)证明:，; ,,，,p,,,q {}x(2)求数列的通项公式; n 1{}xS(3)若，，求的前项和( p,1nq,nn4 试卷类型B 2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案 一、选择题:C D C C A D B B 220,a,2z,a，11(C【解析】，而，即， ？1,z,51,a，1,5 ？d,3S,3，15d,482(D【解析】，，故 S,2，6d,2064 3(C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000,373,377,380,370,5003:3:2，即总体中各个年级的人数比例为，故在分 2层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 64，,168 4(C 5(A pq6(D【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有()()，,，pq 为真命题 axaxxR,fxae'()3,，fxae'()30,，,7(B【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即 13axa,0x,0fxae'()30,，,有正根。当有成立时，显然有，此时，由我x,,ln()aa a,,3们马上就能得到参数的范围为a。 8(B 二、填空题: 9(【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那mnaa i,3么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。 man rrrrr22268TCkxCkx,,()(1)，kx10(【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道x，r166 44444Ckk,15kk的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。 15120k,k,86 11(【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为(1,0),xy，,0 bb,1yxb,，，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为xy,，,10。 1cos2121,x,212(【解析】，故函fxxxxxx()sinsincossin2cos(2),,,,,,,，22242 2,数的最小正周期。 ,,T,2 二、选做题(13—15题，考生只能从中选做两题) ,,,23,,,cos3,,,,13(【解析】由解得，即两曲线的交点为。 (23,)(0,0),,,,,,,,,4cos62,,,,,,6, 1，，0,14( ,,4，， PAPB,,PBAPAC15(【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,,2RAB 22PAAB,221，,R,,,3。 即221PB， 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤( ,1,1A,116(解:(1)依题意有，则，将点代入得，fxx()si,，n(),，,sin()M(,),3232 ,,5,fxxx()sin()cos,，,而，，，故; 0,,,,？，,？,,,,2236 312,(2)依题意有，而， ,,,,,(0,),cos,cos,,2513 3412522？,,,,,,,,sin1(),sin1()， 551313 3124556,,,,,,,,,,,,，,，，，,f()cos()coscossinsin。 51351365 12617(解:(1)的所有可能取值有6，2，1，-2;，,,,,,P(6)0.63200 50 ,,,,P(2)0.25200 420,,,,,P(2)0.02， ,,,,P(1)0.1200200 ,故的分布列为: ,6 2 1 -2 0.63 0.25 0.1 0.02 P (2) E,,，，，，，，,，,60.6320.2510.1(2)0.024.34 (3)设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 x Exxxx()60.72(10.70.01)(2)0.014.76(00.29),，，，,,,，,，,,,, 4.764.73,,xx,0.03依题意，，即，解得 Ex()4.73, 3%所以三等品率最多为 122xyb,,8()18(解:(1)由得， y yxb,，8F G x,,4当得，G点的坐标为， ？yb,，2(4,2)b， F1x 1A O B y'|1,， ， yx',x,44 图4 过点G的切线方程为即， ybx,，,,(2)4yxb,，,2 xb,,2？F令得，点的坐标为， y,0(2,0),b1 F？,,2bbb,1由椭圆方程得点的坐标为，即， (,0)b1 2x22xy,,8(1)即椭圆和抛物线的方程分别为，,y1和; 2 AP(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点, x ，PAB，PBARtABP,RtABP,？？以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。 12，APBPAB(2,0),若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和(,1)xx，8 (2,0)， 11522242PAPBxxxx,,，，,，,,2(1)10。 8644 2，APBRtABP,关于的二次方程有一大于零的解，？x有两解，即以为直角的有两个， x ,ABP因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。 19(解: 1,1,,,kxx,1,,,kx,1,,2,1,xFxfxkx()(),,,(1),x ，,,Fx'(),,,1,,,,xkxx1,1,,,,,,kx,1,,21x,, 1对于， Fxkxx()(1),,,1,x k,0当时，函数在上是增函数; Fx()(,1),, 11k,0时，函数在上是减函数，在上是增函数; 当(,1),,,(1,1),Fx() kk 1对于， Fxkx()(1),,,,21x, k,0当时，函数在上是减函数; Fx()1,，,，, 11，,，,k,0当时，函数在上是减函数，在上是增函数。 Fx()1,，，,1,1，,,22,,4k4k，,，, RtBAD,20(解:(1)在中， P ？,,ABRADR,3， ，,ABD60 E G 2222PAPDADRRR,，,，,(22)(3)11而PD垂直底面ABCD， A D 2222PBPDBDRRR,，,，,(22)(2)23, F B C 222图5 ,PAB,PAB，PAB在中，,即为以为直角的直角三角形。 PAABPB，, DPABH设点到面的距离为, PAABHABADPD,VV,由有, PABDDPAB,, ADPDRR322266即 ， HR,,,PA1111R H66; ,,,sinBD11 PEPGPEDF(2),而, EGBC//,？,,EBGCEBFC PGDF？,GFBC？,GFEG？,EFG即,，,是直角三角形; ,？,//GFPDGCDC PE1EGPE1GFCF2(3)时,, ,,,,,PDCD3EB2BCPB3 1122242即, EGBCRRGFPDRR,,，，:,,,，,2cos45,22333333 1124242？,EFG的面积 SEGGFRRR,,，，,,EFG22339 22ppqppq,,，,4421(解:(1)由求根公式，不妨设，得 ,,,,,,,,22 2222ppqppq,,，,44ppqppq,,，,44， ,,,,？，,，,p,，,q2222xsxtxsx,,,()xstxstx,，,()xpxqx,,(2)设，则，由 nnnn,,,112nnn,,12nnn,,12 stp，,,22spsq,，,0xpxq,，,0得，，消去，得，是方程的根， t？s,stq,, ss,,,,,由题意可知， 12 ss,,,,stp，,,,,12?当时，此时方程组的解记为 ,,,或,,,stq,tt,,,,,12,, ？,,,xxxx,,,(),xxxx,,,,,,(), nnnn,,,112nnnn,,,112 s,,s,,即、分别是公比为、的等比数列， xtx,xtx,,,,,12nn11,nn21, n,2n,2xxxx,,,,,,()xxxx,,,,,,()由等比数列性质可得,, nn,121nn,121 nn,,22()()(),,,,,,,,,,,xxxxx两式相减，得 n,12121 222xpqxp,,,,？,，，x,,,,x,，,,，， 2121 nnn,,222nnn,,222？,,,()xx,,,,,()xx,,,,,,,,， 2121 nnnn，，11,,,,,,nn？,,,(),,,,x，即， ？,x？,x,1nn,1n,,,,,, 22xpxq,，,0？,,pq40?当,,,时，即方程有重根，， 22即()40stst，,,，得()0,stst,,？,，不妨设，由?可知 st,,, n,2nn,2xxxx,,,,,,()？,,,,xxxx,,,,()，， ,,,nn,121nn,121 xxxxnnnn,1nn,1？,，xx,,即，等式两边同时除以，得，即 ,,，1,,1,1nnnn,1nn,1,,,,xxx2,nn1数列是以1为公差的等差数列， ？{}？,，,，,，,,，(1)111nnnnn,,,, nn？,，xn,, n nn，，11,,,,,(),,,,综上所述， x,,,,,nnn,n,()，,,,,,, 11122xpxq,，,0(3)把，代入，得，解得 p,1q,,,xx,，,0,,442 11nn xn？,，()()n22 11111111,,,,2323nn Sn,，，，，，，，，，()()()...()()2()3()...()n,,,,22222222,,,, 11111,,nn23 ,,，，，，，n1()()2()3()...(),,22222,, 1111nnnn,1,,，,,,,，nn1()2()()3(3)() 2222 试卷类型:B 2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)。 1Vsh,Sh3参考公式:锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( Mxx,,,,,{212}Nxxkk,,,,{21,1,2,}UR,,(巳知全集，集合和的关系的韦恩(,enn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共 有 A(,个 ,(,个 ,(,个 ,(无穷个 naz()nzz,1,(设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单 ai(),i位， ,(, ,(, ,(, ,(, x(,)aayaaa,,,(0,1)且yfx,(),(若函数是函数的反函数，其图像经过点，则fx(), 1logx12xlogx2x22,( ,( ,( ,( 2naan,,,2(3){}aan,,0,1,2,n,1,nn525n,(已知等比数列满足，且，则当时，logloglogaaa，，，,2123221n, 222(1)n，(1)n,nn(21),n,( ,( ,( ,( 5(给定下列四个命题: ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; ?垂直于同一直线的两条直线相互平行; ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直(其中，为真命题的是 ,(?和? ,(?和? ,(.?和? ,(?和? FF,FFF,,123126(一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态(已知 0FF,F12360成角，且的大小分别为,和,，则的大小为 2527,(, ,(, ,( ,( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7(2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 共有 ,(36种 ,(12种 ,(18种 ,(48种 8(已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶(甲车、乙车 vv和tt和乙01甲的速度曲线分别为(如图2所示)(那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 t1A(在时刻，甲车在乙车前面 t1B(时刻后，甲车在乙车后面 t0C(在时刻，两车的位置相同 t0D(时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分， 满分30分( (一)必做题(,,,,题) aaa,,,12nn,(随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则 s,图3所示的程序框图输出的 ，s表示的样本的数字 特征是 ((注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“?” “:=”) ab，,1ab,ab，x,,(若平面向量满足，平行于轴， b,,(2,1)a,，则 3 GGGx211(巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的 G两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ( EX,0a,XDX,112(已知离散型随机变量的分布列如右表(若，，则 ，b, ( (二)选做题(13 ~ 15题，考生只能从中选做两题) xt,,12,xs,,,,lt:()为参数l:,,12ykt,，2.ys,,12.,,13((坐标系与参数方程选做题)若直线与直线 k,s(为参数)垂直，则 ( x，1,1x，214((不等式选讲选做题)不等式的实数解为 ( ABC,,O15((几何证明选讲选做题)如图4，点是圆上的点， 且 0ABACB,，,4,45O，则圆的面积等于 ( 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16((本小题满分12分) ,,(0,),ab,,,(sin,2)(1,cos),,与2已知向量互相垂直，其中( sincos,,和(1)求的值; 10,,,,,sin(),0,,,cos,102(2)若，求的值( 17((本小题满分12分) 根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进 行分组，得到频率分布直方图如图5 x(1)求直方图中的值; (2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示(已知 3273812377578125,2128,,365735,,，，，，,,，18253651825182591259125) 18((本小题满分,,分) BCCBABCDABCD,111111如图,，已知正方体的棱长为,，点,是正方形的中心，点,、 EG,CDAA,DCCD1111111,分别是棱的中点(设点分别是点,，,在平面内的正投影( DCCDFGAE11(,)求以,为顶点，以四边形在平面内的 正投影为底面边界的棱锥的体积; FGFEE,平面11(,)证明:直线; EGEA与11(,)求异面直线所成角的正统值 19((本小题满分,,分) 2Axy(,)Bxy(,)Cyx:,lxy:20,，,AABB已知曲线与直线交于两点和，且xx,CABABLAB(记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界) Pst(,)DLPAB为(设点是上的任一点，且点与点和点均不重合( QPQABM(,)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 51222Gxaxyya:240,，,，，,a25D(,)若曲线与点有公共点，试求的最小值( 20((本小题满分,,分) ygx,()yx,2ygx,()x,,1已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得 gx()fx(),mm,,1(0)x极小值(设( yfx,()Q(0,2)2mP(,)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值; kkR(),yfxkx,,()(,)如何取值时，函数存在零点，并求出零点。 21((本小题满分,,分) 22Cxnxyn:20(1,2,),，,,CP(1,0),nn已知曲线(从点向曲线引斜率为 lkk(0),Pxy(,)nnnnnn的切线，切点为( {}{}xy与nn(,)求数列的通项公式; 1,xxnnxxxx,,,,,,2sin13521,n1，xynn(,)证明: 2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案 一、选择题 1-8 B .C. B. C D. D A A. 二、填空题 (一)必做题 aaa，，,,,，12n s,n9.【解析】;平均数 (,1,0)a，b,(1,0)a,(1,0),(2,,1),(,1,1)11.【解析】或，则或a,(,1,0),(2,,1),(,3,1) 223xye,，,12a,12a,6b,3236911.【解析】，，，，则所求椭圆方程为. 1111222,a，c，,01，a，1，c，2，,1a，b，c,1261212.【解析】由题知，，， 15b,a,124解得，. (二)选做题 k,，(,2),,1k,,1213.【解析】，得. 22,12x，,x，,(1)(2)x，,x，3x，1,,,x,,,1,,220x，,20x，,x，2,,x,,214.【解析】且 0OAOBOA,OB，AOB,90AB,415.【解析】解法一:连结、，则，?，，? 42R,,42,R,2220S,,，(22),8,OA,22sin45圆，则;解法二:， 2S,,，(22),8,圆则. 三、解答题 sin,,2cos,a,b,sin,,2cos,,0ab16. 解:(1)?与互相垂直，则，即，代入 255,sin,,,cos,,,,,(0,),22sin,，cos,,1552得，又，? 255sin,,cos,,,55. ,,,,0,,,,,,,,0,,,,2222(2)?，，?，则 3102cos()1sin(),,,,,,,,,10，? 2,cos[,(,)],coscos(,)，sinsin(,),,,,,,,,,,cos,2. 73812332(，，，，)，50,1,，5050x,1,1825365182518259125912517. (1)由图可知， 119x,18250解得; 1192365，(，50，，50),21918250365(2); (3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 11922193，50，，50,,182503653655，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为321,,55，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 2323766537706611()()()(),C,C,77555578125. DCCDEGEGCCG11E1111118. 解:(1)依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、DDEEEGDEE,DEFGED111111的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其 DEFG11底面面积为 11,，2，2，，1，2,2S,S，SDEFGRt,EFGRt,DGE22111111 ， 12V,S,EE,E,DEFGDEFG11111EE,DEFGEE,1331111又面，，?. yDDE(0,2,1)DCxDDA11z(2)以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、G(0,0,1)G(2,0,1)F(0,1,2)E(1,2,1)FG,(0,,1,,1)FE,(1,1,,1)11，又，，，则，，FE,(0,1,,1)1， FG,FEFG,FE,0，(,1)，1,0FG,FE,0，(,1)，1,01111?，，即，FG,FE11， FE,FE,FFG,FEE111又，?平面. EG,EA211cos,,EGEA,,,116EGEA11EG,(0,,2,0)EA,(1,,2,,1)11(3)，，则，设异 23sin,1,,,EGEA与33,11所成角为，则. 面直线 15Q(,)2y,xx,,1,x,2y,x，2PQAB22AB19. 解:(1)联立与得，则中点，设线段 15，s，t1522s,2x,,t,2y,x,,y,(x,y)2222MP的中点坐标为，则，即，又点在C曲线上， 1151222y,,(2x,)y,x,x，822PLA?化简可得，又点是上的任一点，且不与点和 111512,1,2x,,2y,x,x，,,x,2448BM点重合，则，即，?中点的轨迹方程为15,,x,44(). y51222Gxaxyya:240,，,，，,25(2)曲线， x 749B 22(x,a)，(y,2),r,E(a,2)255Ex即圆:，其圆心坐标为，半径 D A ox51222Gxaxyya:240,，,，，,0,a,225由图可知，当时，曲线 D与点有公共点; 51222Gxaxyya:240,，,，，,a,025DE当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心 |a,2，2||a|772d,,,,,a,0lxy:20,，,522a5到直线的距离，得，则的最 72,5小值为. 2g(x),a(x，1)，m,1a,020. 解:(1)依题可设 ()，则 g'(x),2a(x，1),2ax，2a; ,gx，，yx,2？,22aa,1的图像与直线平行 又 gx，，mfxx,,，，2，，22？g(x),(x，1)，m,1,x，2x，mxx ， ， m22222|PQ|,x，(y,2),x，(x，)0000Pxy，，xoo,0设，则 2m22,2x，，2m,22m，2m,22|m|，2m02x0 2m22x,022x|PQ||PQ|20当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 (22，2)m,2m,0m,2,1当时， 解得 (,22，2)m,2m,0m,,2,1当时， 解得 myfxkxkx,,,,，，,1202，，，，120,，，,kxxm，，x,0x (2)由()，得 *，， mmx,,x,,*yfxkx,,，，，，k,122当时，方程有一解，函数有一零点; *,,,,,,4410mk，，，，k,1当时，方程有二解， 1k,,1m,0m若，， ,2,4,4m(1,k)1,1,m(1,k)x,x,yfxkx,,，，2(1,k)k,1函数有两个零点，即; 1k,,1m,0m若，， ,2,4,4m(1,k)1,1,m(1,k)x,x,yfxkx,,，，2(1,k)k,1函数有两个零点，即; 1k,,1*,,,,,,4410mk，，，，k,1m当时，方程有一解, , 1x,,,myfxkx,,，，k,1函数有一零点 mx,,yfxkx,,，，k,12综上，当时, 函数有一零点; 11k,,1k,,1m,0m,0mm当()，或()时， 1,1,m(1,k)x,yfxkx,,，，k,1函数有两个零点; 11x,,,mk,,1yfxkx,,，，k,1m当时，函数有一零点. 22ly,k(x，1)x,2nx，y,0nn21. 解:(1)设直线:，联立得22222222(1，k)x，(2k,2n)x，k,0,,(2k,2n),4(1，k)k,0nnnnnn，则，?nnk,,n2n，12n，1(舍去) 22kn2nn2n，1nx,,x,ny,k(x，1),22nnnn1，k(n，1)n，1nn，1，即，? n1,1,x1n，1n,,n1，x2n，1n1，n，1(2)证明:? 132n,1132n,11x,x,x,,,,,x,，，,,,，,，，,,,，,1352n,1242n352n，12n，1 1,xnx,x,x,,,,,x,n1352,11，xn? x1,x1nn,,'y2n，11，xf(x),x,2sinxf(x),1,2cosxnn由于，可令函数，则， 2,,(0,)(0,)cosx,''f(x),0f(x),0f(x)442令，得，给定区间，则有，则函数在 ,(0,)f(x),f(0),04x,2sinx上单调递减，?，即在恒成立，又11,0,,,2134n，， 1,xxnn11,2sin,2sin1，xy2n，12n，1nn则有，即. 绝密?启用前 试卷类型:A 2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 1参考公式:锥体的体积公式V=sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高( 3 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1.若集合A={x|-2,x,1},B=A={x|0,x,2},则集合A?B= A.{x|-1,x,1} B.{x|-2,x,1} C.{x|-2,x,2} D.{x|0,x,1} 2.若复数z=1+i,z=3-i,则z1`z1= 12 A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i x,xxx,3.若函数f(x)=+与g(x)=的定义域均为R，则 3333, A(f(x)与g(x)均为偶函数 B(f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C(f(x)与g(x)均为奇函数 D(f(x)为偶函数(g(x)为奇函数 saaaaa54(已知数列{}为等比数列，是它的前n项和,若*=2a(，且与2的等n2347n 5s差中项为，则= 54 A(35 B(33 C(3l D(29 125.“”是“一元二次方程有实数解”的 xxm，，,0m,4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ''VABC6.如图1，为正三角形，，AABBCC'//// 3'''''''CCBBCCAB,,,,平面ABC且3AA 则多面体的正视图(也称ABCABC,2 主视图)是 7.已知随机量X服从正态分布N(3,1)，且P(2?X?4)=0.6826，则P(X,4)= A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这个5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记住5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 二、填空题:本大题共7小题(考生作答6小题(每小题5分，满分30分 (一)必做题(9,13题) 9.函数，f(x)=lg(x-2)的定义域是 10(若向量=(1,1，x)，=(1，2,1)，=(1，1,1)满足条件abc (c—a)?2b=-2，则x= 311.已知a，b，c分别是?ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= . 212.若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 . 13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行 xx了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为，…， (单位:吨)(根据图2所示14 2xx的程序框图，若，，分别为1，，则输出的结果s为 . 12 (二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图3，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB 2aPD,3，的中点P，,OAP=30?则CP= 02,,,,15((坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ，θ)()中，曲线,,,,,,,2sincos1与的极坐标为 . 三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16((本小题满分l4分) ,已知函数,，，,,)，在时取得最大值。fxAxAxx,，,,,，,,sin3(0,04,,,，，，，，，12(1)求f(x)的最小周期 (2)求f(x)的解析式 212,(3)若(f+)=，求sin.,,3125 17.(12分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克)，重量的分组区间为(490,495】，(495,500】，„„，(510,515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4 (1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量, (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列; (3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。 18.(本小题满分14分) EAC如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的AECACa BADFCAEC中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点 6aFDFC满足==，FE= EBFD,(1)证明:; 2FQFE,(2已知点为线段上的点，，QR,FEEB,3 2BEDFRFB,，求平面与平面所成的两面角的正弦RQD3 值. 19.(本小题满分12分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐,已知一个单位的午餐含,,个单位的碳水化 C合物，,个单位的蛋白质和,个单位的维生素;一个单位的晚餐含？个单位的碳水化合 C物，,个单位的蛋白质和,,个单位的维生素,另外，该儿童这两餐需要的营养中至少 C含,,个单位的碳水化合物，,,个单位的蛋白质和,,个单位的维生素, 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是,,,元和,元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐, 20.(本小题满分14分) x2已知双曲线的左、右顶点分别为AA,，点Pxy(,)，Qxy(,),是双曲线,,y11211112 上不同的两个动点. (1)求直线AP与AQ交点的轨迹E的方程 12 h(2若过点的两条直线l和l与轨迹E都只有一个交点，且ll,，求的值. 1212 21.(本小题满分14分) AB设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种Axy(,)Bxy(,)xOy1222 折线距离为 pAB(,) pABxxyy(,)||||.,,，, 2121 对于平面上给定的不同的两点Axy(,)，Bxy(,), xOy1222 是平面上的点，试证明 (1)若点Cxy(,)xOypACpCBpAB(,)(,)(,);，,(2)在平面上是否存在点，同时满足 xOyCxy(,) ? ? pACpCBpAB(,)(,)(,)，,pACpCB(,)(,),若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明. 答案 1. D. ABxxxxxx,,,,,,,,,{|21}{|02}{|01} 2. A(zziiii,,，,,,，，，，,,，(1)(3)1311(31)42 12 ,,xxxx3(D(fxfxgxgx()33(),()33(),,，,,,,,, q4(C(设{a}的公比为，则由等比数列的性质知，aaaaa,,,,2，即a,2。n231414 55aa，,，22aa由与2的等差中项为知，，即474744 15151aa,，,,，,,(2)(22)( 7424244 1a11337aaqa,,，,2a,16 ?，即(，即( q,,q,41118a824 114,m122m,()0x，,,5(A(由知，( ,xxm，，,0424 6(D( 1PXPX(34)(24),,,,,7(B(=0.3413， 2 =0.5-0.3413=0.1587( PXPX(4)0.5(24),,,,, 8(C.每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×(120-1)=595s(总共就有600+595=1195s( x,,10x,19( (1,+?) (?，?( cax,,,(0,0,1)()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxx,,,,,,,,,10(C(，，解得x,2( 13,11(1(解:由A+C=2B及A+ B+ C=180?知，B =60?(由正弦定理知，，sinsin60A 1sinA,ab,即(由知，，则， AB,,60A,302 ，. CAB,,,,,,,180180306090sinsin901C,, |20|a，，22(5)5xy，，,a,,512((设圆心为，则，解得( (,0)(0)aa,r,,52212， 11.51.5263，，，3s,,,13(填(( 4422 9OPAB,14((因为点P是AB的中点，由垂径定理知，. a8 3RtOPA,在中，.由相交线定理知， BPAPaa,,,cos302 9332CPa,BPAPCPDP,,,，即，所以( aaCPa,,,8223 x,,,cos,,3,(2,)15((由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通,4y,sin,,, x,,1,x,,,cos,,,22xyyx，,,,2,1方程分别为(解得由得点(-1，1)的极坐标,,y,1.y,sin,,,, 为 3,(2,)(4 ,3331522，,,,,,,,,sin(2)cos212sinsin,,,sin，，，，( ,255555 17 18. BEDDG与平面RQD的交线为. (2)设平面 22由BQ=FE,FR=FB知, QREB||. 33 EB,BDFBDF而平面，?QR||平面， BDFDG而平面平面= ， RQD . ?QRDGEB|||| BE,BDF,BDFDG由(1)知，平面，?平面， DR,BDFBD,BDF而平面，平面， ?， DGDRDGDQ,,, ，RDBBED?是平面与平面所成二面角的平面角( RQD 2222RtBCF,在中，CFBFBCaaa,,,,,(5)2， FCa2212，( sin，,,,RBDcos1sin，,,，,RBDRBDBF55a5 52a,22935( sin，,,RDB2929a3 229BED故平面与平面所成二面角的正弦值是( RQD29 xy,19.解:设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则。 zxy,，2.54 可行域为 12864,xy，,3216,xy，,,, ,,6642,xy，,xy，,7,,,,,61064,xy，,3532,xy，, 即 ,, ,,xxN,,0,,x,0,,, yyN,,0,.y,0.,,,, 作出可行域如图所示: 经试验发现，当时，花费最xy,,4,4 2.544426，，，,少，为元( 20( 21x222yx,,,(2)故，即，,y1。 22 1lyxh:,,，lykxh:,，ll,(2)设，则由知，。 2112k 2x2lykxh:,，将代入，,y1得 12 2x2222(12)4220，，，,,kxkhxh，，,()1kxh，即， 2 2222,,,，,,164(12)(22)0khkhl由与E只有一个交点知，，即 1 22。 12，,kh 11222212，,,hl同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，hk,1,k222kk 从而 22，即。 h,3hk,，,123 21((本小题满分14分) 设A(xy,),B(xy,)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种1122 折线距离p(A,B)为PABxxyy(,)||||,,，,. 2121 ()()0,()()0xxxxyyyy,,,,,,当且仅当时等号成立，即三点共线时ABC,,1212 等号成立. (,) 当点C(x, y) 同时满足?P+P= P，?P= P时，(,)AC(,)CB(,)AB(,)AC(,)CB xxyy，，1212ABxy,,,C点是线段的中点. ，即存在点22 xxyy，，1212C(,)满足条件。 22 2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 线性回归方程中系数计算公式 ybxa,， xy,其中表示样本均值。 nnnn,,12nn,,21abab,,,(aab，，，， N是正整数，则„) abb，一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 zz12，,izi，，1. 设复数满足，其中为虚数单位，则=B 1，i1,i22，i22,iA( B. C. ,( 22xy,xy,Axy,,xy，,1Bxy,,，，，，,,,2(已知集合 ?为实数，且，为实数，yx,,AB,且，则的元素个数为C ,(0 ,(1 ,(2 ,(3 cab,，,(2)3. 若向量,，,，;满足,?,且,?,，则D ,(4 ,(3 ,(2 ,(0 fxgx，，，，4. 设函数和分别是,上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A fxgx，fxgx,，，，，，，，，,(是偶函数 ,(是奇函数 fxgx，fxgx,，，，，，，，，,(是偶函数 ,(是奇函数 ,02,,x ,xOyMxy(,)y,2D5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若, ,xy,2, DA(2,1)为上的动点，点的坐标为，则的最大值为C zOMON, A( B( C(4 D(3 4232 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为D 1323A( B( C( D( 25347. 如图1,3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为B A. B. C. D. 6393123183 ,,abS,,abS,设S是整数集Z的非空子集，如果8.有，则称S关于数的乘法 TUZ,,,,,abcT,,,是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有abcTxyzV,,,;,,,xyzV,有，则下列结论恒成立的是A TV,A. 中至少有一个关于乘法是封闭的 TV,B. 中至多有一个关于乘法是封闭的 TV,C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 TV,D. 中每一个关于乘法都是封闭的 二、 填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一)必做题(9-13题) [1,)，,xx，,,,1309. 不等式的解集是 . 72,,410. 的展开式中，的系数是 84 (用数字作答) xxx,,, x,,aaa,，,1,014ka11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则k=_____10 n _______. 2fxxx()31,,，12. 函数在x=____2 ________处取得极小值。 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm13. 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的方法预测他孙子的身高为__185___cm. (2)选做题(14 - 15题，考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为 52 ,,x5cos,25,, 和，它们的交点坐标为_____ (1,) 5(0),,,,,______. ysin,pO,15.(几何证明选讲选做题)如图4，过圆外一点分别作圆的切线 ,, CBCABPB和割线交圆于,=7，是圆上一点使得=5， 且， BACAPBAB?=?, 则= 35 。 xt, , ()tR, 4 , , yt, , faf 三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程 和演算步骤。 16、 (本小题满分12分) 1,,,, 已知函数 5,f()的值; (1)求4fxxxR()2sin(),. ,,106，，cos(),,，(2)设求的值. 2，2135， 55,,,,36,,,,16(解:(1); ,105,12,[0,]，,,？,,？,,(2)，，又，， f()2sin()2sin2, 2f(3)2sin,,sin3,6cos？,,，,，,,，， cos4126421313,4,[0,]？,,f(32)2sin()2cos,,,,又，， 13,sin5216,,,,,,，,,,. 5 25 17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的 产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫cos()coscossinsin克).下表是乙厂的5件产品的测量数据: 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 65y 75 80 77 70 81 (1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x?175，且y?75时,该产品为优等品。 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中 ,优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。 ,，,，, ,0,,(3),(32),,,,, ,, 1417(解:(1)乙厂生产的产品总数为; 535,, 22(2)样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为; 9853514，, ii2,CC(),,,,,,0,1,2(0,1,2)i,(3)， ，的分布列为 5 0 1 2 , 23PiP331 51010 314,,，，，,均值. PP 2E()12C FF 18.(本小题满分13分) 5105 5 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的CCDDG E ,, ,, 棱形， AABB ,, ,, :且?DAB=60，,PB=2, PAPD,,2 E,F分别是BC,PC的中点. , (1) 证明:AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值. ？,PGAD18.解:(1) 取AD的中点G，又PA=PD，， ？,BGAD由题意知ΔABC是等边三角形，， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线， ？,ADPGB平面， EFPBDEGB//,//， ？平面//平面DEFPGB， ？,ADDEF平面 ，PGBPADB,,(2) 由(1)知为二面角的平面角， 21713222RtPGA,RtBGA,在中，;在中，; 22 PG,,,2()BG,,,1() 24 24 222PGBGPB，,21,PGB在中，. 19.(本小题满分14分) cos，,,,PGB 2222(5)4,(5)4xyxy，，,,，,设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。 (1)求圆C的圆心轨迹L的方程; 27PGBG, 3545MPFP,(2)已知点M，且P为L上动点，求的最大值 (,),(5,0)F 及此时点P的坐标. 55F(5,0),F(5,0)19(解:(1)两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、， 12 RCFCF,,,，||2||2RCFCF,,,，||2||2或， 由题意得1221 ？,,,,||||||425||CFCFFF， 1212xy 22 FF,,,1可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 12 x2ab222,,y124,2,5,1,1aacbcab,,,,,,,，所以轨迹L的方程为( 222 4||||||||2MPFPMF,,,PMPF,,,,(0)(,)?，仅当时，取:,:， x2 k,,2lyx:2(5),,,,,y1由知直线，联立并整理得MFMF2 46514565252P解得或，此时 1532590xx,，,x,555 3545||||||MPFP,所以最大值等于2，此时( 20.(本小题共14分) x,(舍去)nban,1,,(2)a,,设b>0,数列满足a=b，1n. annP(,)，,22a,,(1)求数列的通项公式; nann,1 n，1b,，1.(2)证明:对于一切正整数n， 15a 2 nn，155 (,-) abaan，,2(1)nn,1n,1nn121,,20(解(,)法一:，得， 2(1) n,b21(2)n,设，则， n，,bb,,，ann,1bnb 11bb,2,,(?)当时，是以为首项，为公差的等差数列， nannn,122 111a,2bnn,，,，,,,，,即，? nn (1) 222b,2bb，,,，,,bb,,，,,(?)当时，设，则， nn,1nn,1222(1)()121121bb(2)n,,,,,,？，,,，bb令，得，， bnn,1 ,2b(1)11112n,1b，b,？，,，,bb知是等比数列，，又， n1b,b2nnnnbb(2),12112,bbbababbannn,,11，( 11bb,2,,法二:(?)当时，是以为首项，为公差的等差数列， n22n？,a？,,,,,b()111a,2bnn,，,，,即，? nn (1)223322(2)bbb,33(2)bbb,ab,b,2a,,(?)当时，，，， 1n222b，2b,2222()nnn2,bn222,,,bbbbnbnbb(2),猜想，下面用数学归纳法证明: n,1,,bbb?当时，猜想显然成立; ()()k,kbb(2)nk,a,,?假设当时，，则 kb,2n1kk，1(1)kba，,(1)(2)(1)(2)kbkbbkbb，,,，,， ,,bbbnk,，1所以当时，猜想成立， nnbb(2),,,nN*由??知，，( 2 233n，1bbb，，,2422b,2b,2(,)(?)当时， ，故时，命题成立; a,,，kk 22 ka,,, 22 a, k，1 kkkkk，，11 an，,2(1)kbbkbb(2)2(2)2,，,,, a, 21k n nnb,2 n n nnb,2 n，12a, b,222221nnnnnn，(?)当时，， bbb，,,,2222 2121221nnnnnn,,，， bbbb,，,,,,22222 nnnnnnnn，,,，，1111221，以上n个式子相加得 ,22222bbbb,，,,,, 2121nnnn,，nnnn，,,，1111221nn,， ，,，,,bnb222，,，,，bb22bb，,，2 nnnnnnnn，,,1221212nbbbbbbb,,，,，，,，,,,2(2)[(222)2](2) 221212nnnnnn,,(222)(2)2(2)bbbbbb，,，，,，,,,, 212111nnnnnn，，，，(2)22bbb,,,，, a,,211121nnnnnn，，，，n，1(2)(22)bbb,,，,,,bb,2,，1(故当时，命题成立; n，12, 综上(?)(?)知命题成立( , 21.(本小题满分14分) 12yx, 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:实数p，q满足nnn，12(2)b,nnn，1.4nnn，1pn2(2)b,2(2)b, nnnnnn，，112(2)2(2)bb,,22,(,)max,pqxx,pq,,40xpxq,，,0,,，x，x是方程的两根，记。 1212 12 (1)过点作L的切线教y轴于点B. 证明:对线段AB Appp(,)(0),000 0,(,);pq,上任一点Q(p，q)有 4 2 (2)设M(a，b)是定点，其中a，b满足a-4b>0,a?0. 过M(a，b)作L 1122ll,ll,的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与1212 ,EppEpp(,),(,)1122F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b) 2p144,PP,,,,(,)ab,X122; 152,(,)pq(3)设D={ (x,y)|y?x-1,y?(x+1)-}.当点(p,q)取遍D时，求的44 ,,最小值 (记为)和最大值(记为). minmax 11， 21(解:(,)kyxp,,,ABxpxp,,000 ppp111122直线AB的方程为，即， yppxp,,,()000112222,,,,,pqpp4()，方程的判别式， xpxq,，,0p 420pppp,,||p？,,qppp000ypxp,,00p,两根或， ppp002ppx,,1,200pp,,00||||,,pp？,,,||||||||pp24，，又， 00 22 22000000？,,,,||||||||p？,,,,||||||||||pp，得， 24 0？,,(,)||pq( 2Mab(,)(,)由知点在抛物线L的下方， ab,,40 222pp,,0||||pp,ab,,0,0MabX(,),?当时，作图可知，若，则，得; 1212 ||||pp,MabX(,),,,||||pp？,MabX(,)若，显然有点; ( 1212'|()| Mab(,)ab,,0,0?当时，点在第二象限， pp,,0||||pp,MabX(,),作图可知，若，则，且; 1212 ||||pp,MabX(,),若，显然有点; 12222 ,,||||pp？,MabX(,)( 122 ,,||||ppMabX(,),a,0根据曲线的对称性可知，当时，， 12 MabX(,),,,||||pp综上所述，(*); 12 pp11x,2a,由(,)知点M在直线EF上，方程的两根或， xaxb,，,01,222ppx,222a,EF''同理点M在直线上，方程的两根或， xaxb,，,01,222 22 x p p pppp12121||||a,||||a,,(,)||ab,若，则不比、、小， p2222 ||||pp,？,||||pp，又， 1212,,MabX(,) p11MabX(,),MabX(,),？,,,(,)||ab,,,(,)||ab;又由(,)知，; 2 1MabX(,),？,,,(,)||ab，综合(*)式，得证( 2152yx,,102,,p(0,1),(2,1),(,)联立，得交点，可知， 21212(,)pq作抛物线L的切线，设切点为，则， 过点2(,)xx00yx,，,(1) 422xpxq,，,240得，解得， xppq,，,4 1522pqp,,,442，即， 又000 115224442,,pt？,，,xpp42，设，， 0 qp,，,(1)55？,,，，xtt20xx,？,,0,,||，又，; 0max2 2qp,,1，？,，,，,，,,xppppp44|2|2， 42 0？,,,||144( ,,,，(1)txq, 0 0 minmin 2 22 1 4 ,x 0 maxmax xp,2 0 2