正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 备课平台～ 正弦定理、余弦定理 目标认知 学习目标: 1. 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形; 2.熟记正弦、余弦定理及其变形形式; 3. 通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 、分类讨论的思想。 重点:正、余弦定理的推导及应用。 难点:正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。 知识要点梳理 知识点一:初中的三角知识 1.中 ,ABC (1)一般约定:中角A、B、C所对的边分别为、、; ,ABCbac 0ABC，，,180(2); (3)大边对大角，大角对大边，即; BCbc,,, 等边对等角，等角对等边，即; BCbc,,, (4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，. acb，,acb,, 0，,C902.中，， RtABC, 0BA，,90(1)， 222abc，,(2) ba(3)，，; sin1C,sinA,sinB,cc ba，，cos0C, cosA,cosB,cc 知识点二:正弦定理 abc,,正弦定理:在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即: sinsinsinABC(一)直角三角形中的正弦定理的推导 ba证明:， ， sin1C,， sinA,sinB,cc abcc,c,c,即:，，， sinAsinBsinC abc,,?( sinsinsinABC (二)斜三角形中的正弦定理的推导 证明: 法一:构造直角三角形 ,ABC(1)当为锐角三角形时 ABABDCD如图，作边上的高线交于，则: 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～ 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台～ CD在中, ，即， RtCBD,CDaB,sin,sinBa CD在中, ,即, RtACD,CDbA,sin,sinAb ab?，即,. aBbAsinsin,sinsinAB bc同理可证, sinsinBC abc,,? sinsinsinABC (2)当为钝角三角形时 ,ABC 如图，作AB边上的高线交AB于D，则: CD CD在中, ，即， RtCBD,CDaB,sin,sinBa CDo在中, ,即, RtACD,,,sin(180)ACDbAbA,,,sin(180)sinb ab,?，即. aBbAsinsin,sinsinAB bc,同理可证 sinsinBC abc,,? sinsinsinABC 法二:圆转化法 (1)当为锐角三角形时 ,ABC ADR,2如图，圆O是的外接圆，直径为，则， ,ABC，,，CD c?， sinsinCD,,2R cR?(为,ABC的外接圆半径) 2R,sinC ab同理:， 2R,2R,sinAsinB abc故: ,,,2RsinsinsinABC (2)当,ABC为钝角三角形时 a如图，. sinsinsinAEF,,,2R 法三:面积法 ,ABCCHAB,CHACA,sin任意斜中，如图作，则 111 SABCHABACAbcA,,,,,sinsin,ABC222 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～ 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台～ 11同理:， SabC,SacB,sinsin,ABC,ABC22 111故， SabCacBbcA,,,sinsinsin,ABC222 1abc两边同除以 2 abc,,即得: sinsinsinABC 法四:向量法 (1)当为锐角三角形时 ,ABC A过作单位向量垂直于，则+= jABACACCB 两边同乘以单位向量，得(+)=， jj,j,ABACCB 即 jACjCBjAB,，,,, 0?， ||||cos90||||cos(90)||||cos(90)jACjCBCjABA,，,,,,, ?，，，，， jAC,,0||1j,||CBa,||ABc,cos(90)sin,,CCcos(90)sin,,AA acasinC,csinA,?， ?， sinsinAC bc,同理:若过作垂直于得: CjCBsinsinBC abc,, ?， sinsinsinABC (2)当,ABC为钝角三角形时 ，,A90A设，过作单位向量垂直于向量， jAC abc,,同样可证得:( sinsinsinABC 说明: (1)正弦定理适合于任何三角形; abcR(2)可以证明(为,ABC的外接圆半径); ,,,2RsinsinsinABC (3)每个等式可视为一个方程:知三求一。 (三)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ?已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角; ?已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 知识点三:余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即: 222a,b，c,2bccosA 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～ 222b,a，c,2accosB 222c,a，b,2abcosC 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台～ (一)余弦定理的推导 已知:中，，及角，求角的对应边. ,ABCBCa,ACb,CCc证明: 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一:几何法 (1)当为锐角三角形时 ,ABC 如图，作边上的高AD BC 222222ABADBD,，ACADCD,，根据勾股定理有:，， ?中，， RtADC,CDACC,cos 2222222? ABACCDBDACACCCBCD,,，,,，,()(cos)() 2222 ,,，,bbCabCcos(cos) 22baabC，,2cos = 222cababC,，,2cos 即:. (2)当为钝角三角形且C为钝角时 ,ABC AD如图，作边上的高 BC 222222ABADBD,，ACADCD,，根据勾股定理有:，. CDACCACC,,,,cos()cos,?RtADC,中，， 2222222? ABACCDBDACACCCBCD,,，,,,，，()(cos)() 2222 ,,，,bbCabCcos(cos) 22,，,baabC2cos 222cababC,，,2cos即:仍然成立。 ,222cab,，C,(3)直角,ABC中，时，cos0C,,则，恰好满足勾股定理。 2 方法二:向量法 ,ABC(1)锐角中(如图)， ?， ACCBAB，, ?ABABACCBACCB,，，()() 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～ 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台～ 22 ,，，ACCBACCB2 22 ,，,，||2||||cos()||ACCBACCCB, 22,,，bbaCa2cos 222cababC,，,2cos即: (*) 222222bacacB,，,2cosabcbcA,，,2cos, 同理可得: 注意: (1)推导(*)中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的CBCBACAC 夹角应为，而不是. ,,CC (2)钝角三角形情况与锐角三角形相同。 ,222cab,，C,(3)对于直角三角形中时，,则，恰好满足勾股定理。 cos0C,2 方法三:解析几何方法——利用两点间距离公式 这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。 如图所示建立坐标系. A(0,0)Bc(,0)CbAbA(cos,sin)则点，， 22||(cos)(sin0)BCbAcbA,,，,BC由、两点间的距离可知， 22即abcbcA,，,2cos 222abcbcA,，,2cos整理得到. (二)余弦定理的变形公式: 222222222bcaacbabc，,，,，,cos,cos,cosABC,,, 222bcacab (三)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ?已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角; 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～ 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台～ ?已知三角形的三条边，求其三个角。 知识点四:解三角形 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 规律方法指导 1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角; 2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边，求三个角; (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 3.解斜三角形的基本三角问题: 已知条件 解法 解的情况 一边和两角 1(利用A+B+C=180:，求A (例如a,B,C) 2(应用正弦定理求b,c 唯一解 两边和夹角1(应用余弦定理求边c (例如a,b,C) 2(应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角(该角一定是锐角) 唯一解 3(利用A+B+C=180:，求第三个角. 三边 法一:1、应用余弦定理先求任意两个角 (例如a,b,c) 2(用A+B+C=180:，求第三个角 唯一解 法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角 2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个(该角一定是锐角) 3、利用A+B+C=180:，求第三个角 两边及其中 此类问题首先要讨论解的情况 一边的对角 1(应用正弦定理，求另一边的对角(即角B) 两解、一解或(例如a,b,A) 2、利用A+B+C=180:，求第三个角 无解 3、应用正弦或余弦定理求第三边 特别说明: 已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况; absinA,无解, ,absinA(),一解直角,(1)若A为锐角时: ,bsinAab(),,二解一锐，一钝, ,ab(),一解锐角, 如图: 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～ 数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台～ ab ,无解,(2)若A为直角或钝角时: ,ab (),一解锐角, 注意:对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系(例如，大边对大角)进行讨论从而舍掉不合理的解。 4.判断三角形形状 判断三角形形状的常用方法: (1)统一成边; (2)统一成角; (3)边角一起化. 数学备课大师 www.eywedu.net 今日用大师 明日做大师～