基于哈密顿原理钢箱梁剪力滞效应的研究（可编辑）

基于哈密顿原理钢箱梁剪力滞效应的研究（可编辑） 基于哈密顿原理钢箱梁剪力滞效应的研究 单位代码 分类号 学 号 密级 墨麽交迫戈謦 硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 论文题目: 基于哈密顿原理的钢箱梁剪力滞效应研究研究生姓名: 刘建飞 导师姓名、职称: 渝教授 沈小俊 高工 申请学位门类: 工学 结构 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 专业名称: 论文答辩同期: 年月日 重庆交通大学 学位授予单位: 答辩委员会主席: 罗连生 评阅人: 罗连生 肖光宏 年月?\重庆交通大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立进行研究工 作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 同期:?刀,年月/日 学位论文作者签名:刎宣门严 重庆交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权重 庆交通大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本人 学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》,并进行信息服务包括但不限于汇编、 复制、发行、信息网络传播等,同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 学位论文作者签名:驯 指导教师签名:?铲瀚 日期: ?年月,哆同 同 日期:二们年净月 本人同意将本学位论文提交至中国学术期刊光盘版电子杂志社.系列数据 库中全文发布,并按《中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程》规定享受相关权 益。 学位论文作者签名:知交几严 指导教师签名:玉寺淘 同期:洲年么月各日 只期:刀年月,?同摘 要 钢箱梁具有抗扭刚度大、强度高、自重轻、预制加工方便、施工期短、整体 性好、建筑高度小、外形简洁美观等优点。随着交通事业的发展,钢箱梁在桥梁 建设中得到广泛的推广和应用。 箱形截面梁在荷载作用下,会产生剪力滞效应,如果在 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 中忽略了剪力滞 问题,就会低估梁中应力,将会影响桥梁的使用安全。目前,直线混凝土箱梁结 构剪力滞效应相对比较成熟,而对于钢结构箱梁剪力滞效应方面的研究相对较少。 我国现行的公路桥涵设计规范也只是对混凝土箱梁考虑剪力滞效应时的翼板有效 宽度做出了具体规定,而对钢箱梁方面并没有相关条文。所以,对钢箱梁剪力 滞 效应进行研究具有重要意义。“剪力滞效应”根据其经典意义是在对称荷载作用下, 在靠近翼板与腹板交界处的弯曲法向应力大于翼板中点附近的应力。 在求解剪力滞后问题时常用的解析法有传统的经典弹性力学方法以及基于能 量原理的泛函变分法。但是这两种方法都要解二阶微分方程,比较繁琐。有时候 需要假设应力或者位于函数,而得不到全部解。 本文以弹性力学的哈密顿求解体系为基础,对简支钢箱形梁进行了合理的简 化,就钢箱梁在均布荷载下的剪力滞问题进行了的理论研究,并用有限元程序对 影响其剪力滞后效应的参数进行了研究,主要有以下内容: ?介绍了直角坐标系平面弹性问题的哈密顿体系,并通过分离变量和横向本 征问题的求解形成平面问题完备的求解体系,从而可以直接对平面矩形域等问题 进行求解。 ?得到了简支钢箱梁在满跨均稚荷载作用下的翼板部分的圣维南解,给出了 闭合的多项式形式的有效宽度的表达式。 ?通过对箱梁剪力滞问题的求解与有限元求解结果及本文结果进行了对比。 ?利用有限元法建立不同设计参数的钢箱梁板壳模型,对各种尺寸参数在均 对主梁剪力滞系数的影 稚荷载下对剪力滞效应影响进行了对比分析。结果发现, 响最为显著,其次是中纵隔板的厚度和间距,其它几何参数影响可忽略不计。 关键词:钢箱梁;哈密顿体系;剪力滞效应;剪力滞系数。 . ,, ,.. , ? .。 、?. . . ’ ’ ? .‘ ’ .,. , .,,. ‘ ’ ?, .. ,’ . . 卸. . 瑚 . , . . ,,. . , . ? . , ? ’ . : ; ; ;? 目录 第一章绪论. .钢箱梁的结构特点及其在结构上的应用 .钢箱梁的受力特点 .剪力滞效应.剪力滞效应研究的主要方法. ..解析解法? ..数值方法? ..模拟实验.. .本文研究的主要内容??. 第二章基于哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法. .辛空间简介?.. .哈密顿原理与哈密顿『则方程??. .在哈密顿原理下剪力滞问题平面弹性力学解法.. ..平面问题问题哈密顿对偶方程组 ..算子性质.. ..横向本征问题求解? ..平面问题的一般解? .本章小结??.. 第三章均布荷载作用下钢箱梁剪力滞的求解? .翼板的简化?.. .上翼板均布载荷下剪力滞问题求解? ..上翼板方程推导?.. ..零本征值的本征解? ..均布载倚时上翼板特解??.. ..均布载荷时上翼板的有效宽度求解??. .底板均布载荷下求解..底板方程推导??. ..零本征值的本征解? ..均布荷载下的特解? ..均布荷载下的圣维南解??.. .本章小结??. 第四章空间有限元模型分析?. . 空间有限元模拟?.. ..有限元法的概念?.. ..有限单元法的分析步骤??.. ..有限元分析软件的选择??.. ..有限元模型的建立? .实例计算??.. .. 空间有限元分析??.. ..基于哈密顿体系解法的可行性....本章小结. 第五章钢箱简支梁剪力滞效应影响参数分析 .重庆某钢箱梁天桥的剪力滞效应.. ..工程概况??.. ..剪力滞效应分析.. .宽跨比的影响 .横截面高度的影响?.. .中纵隔板厚度及横向位置的影响.. .横隔板厚度及间距的影响??.. .顶、底板厚度的影响? .本章小结?. 第六章结论与展望... .结论??.. .展望??..?.??..? 致谢 参考文献? 在学期间发表的论著及取得的科研成果?..第一章绪论 绪论 第一章 .钢箱梁的结构特点及其在结构上的应用 钢箱梁由于采用高强材料,构件重量轻,强度高,运输安装简捷,是大跨桥梁 的 理想桥型。钢箱梁用于桥梁的结构形式主要优点有桥式整体性好,外形美观 大方, 行车和行走平稳,冲击性小,抗风性能好,结构轻巧,跨越能力大,施工便捷, 工程造价适中。在当代的建筑结构和交通工程设计中,钢箱梁的设计越来越 被普 遍采用。 随着我国交通工程建设发展,国内近年来多是采用钢箱梁作为大跨桥梁的结 构形式。自从年英国桥主跨的悬索桥第一次采用扁平钢箱 梁作为主梁以来,因其抗风稳定性能好、重量轻、工厂制造质量易于保证、 安装 和制造工期短等优点,现已成为大斜拉桥和悬索桥的主流结构形式。近几年来, 随着我国交通工程、高速公路网的建设,已建成或在建的跨度超过以上的钢 斜拉桥和钢悬索桥有余座。例如南京长江二桥主跨钢箱梁斜拉桥,钢 箱梁截面高为.米,宽为.米。托架钢箱梁块件长.~.米,最重梁段 为吨。世界第一大斜拉桥苏通长江大桥??南北主桥主跨之间的桥面由块 钢箱梁组成,每块钢箱梁长米、宽.米、厚度为米,重达多吨,是国 内目前最大的单体钢箱梁。 同样随着市政工程建设发展,钢箱梁作为大跨度人行过街天桥的结构形式也 广泛的被采用。例如上海市在年就采用米钢箱梁主跨作为过街天桥 的结构形式浦东南路过街天桥,北京市年就采用了米钢箱梁主跨 作为过街天桥的结构形式北京太平桥大街过街天桥,沈阳市年也采用 米主跨钢箱梁作为过街天桥的结构形式沈阳农业大学过街天桥。南京市在 年用米主跨的钢箱梁作为亚东城过街天桥主跨的结构形式。 在城市轨道交通中钢箱梁也是其中的一种结构形式,例如我国第一条商用磁悬浮 运营线??上海磁悬浮轻轨线就采用了单箱单室钢箱梁作为轨道梁约根。我国 从北京到上海的京沪高速铁路干线主要采用高架形式,也采用了大量的钢箱梁。 随着技术的发展,钢箱梁的跨度越来越大,使用也越来越广。 而且现在越来越多的新技术加入到钢箱梁的设计中去,例如预应力技术哈 尔滨市工农兵桥,钢一混凝土混合箱梁广东顺德新德业人行天桥等,使钢箱 梁的应用越来越广。不仅在民用设计中在工业和特种设计中钢箱梁也是被屡屡采 用,例如工业设计中的大跨度吊车梁,大型体育场馆中的一些结构梁体。可以预 计随着设计计算方法的发展和钢产量的逐年增长,钢箱梁在建筑设计中的应用会 第一章绪论 越来越广。 .钢箱梁的受力特点 作用在钢箱梁上的主要荷载是恒载与活载,通常恒载是对称作用的,活载可 以是对称作用,也可以是非对称作用,必须分别加以考虑偏心荷载作用,使箱形 梁既产生对称弯曲又产生扭转。因此,作用于箱形梁的外力可综合表达为偏心荷 载来进行结构分析,如图.所示。 艇鎏 鞋? 酉 苜 十 \丁‘ ’.一 : ;荫 一 酉一 万一 \丁~ 十击 ’?、 旦 图.荷载等效分解 .箱形梁在偏心荷载作用下,将产生纵向弯曲、扭转、畸变及横向挠曲四种基 本变形状态,如图.所示。 ?旨一美翱弯曲一转 图.箱梁在偏心荷载作用下的变形状态 . 纵向弯曲产生竖向变位。,因而在横截面上起纵向正应力%及剪应力如 图.中所示,图中虚线所示应力分布乃按初等梁理论计算所得,这对于肋距不 大的箱形梁无疑是正确的:但对于肋距较大的箱形梁,由于翼板中剪力滞后 的影响, 第一章绪论 其应力分布将是不均匀的,即近肋处翼板中产生应力高峰,而远肋板处则产 生应 力低谷。箱形梁的扭转指刚性扭转,即受扭时箱形的周边不变形变形主要特 征 是产生扭转角,受扭时将发生自由扭转与约束扭转。所谓自由扭转,是指箱梁 受扭时,截面各纤维的纵向变形是自由的,杆件端面虽出现凹凸,但纵向纤维无 伸长缩短,可自由翘曲,因而不产生纵向正应力,只产生自由扭转剪应力%,如 图.。而当受扭时,纵向纤维变形不能自由发生,截面不能自由翘曲,从而导 致纤维受到拉伸或压缩,则为约束扭转。约束扭转在截面上产生翘曲正应力‰和 约束扭转剪应力~,如图.。产生约束扭转的原因是:支承条件的约束,如固端 支承约束纵向纤维变形:截面形状沿梁纵向变化,使截面各点纤维变形不协调而产 生约束扭转,如不等厚壁的矩形箱梁、变截面梁等,即使不受支承约束,也将产 生约束扭转。畸变即受扭时截面周边变形的主要变形特征是畸变角。薄壁宽 箱梁 弋丁目 彤时 气 卿 山 口‘ 知 《 图.偏心荷载作用箱形截面应力图. 的矩形截面受扭变形后,无法保持截面的投影仍为矩形。畸变产生翘曲正应 力% 和畸变剪应力%,同时由于畸变而引起箱形截面各板块横向弯曲,在板内产生横 向弯曲应力%,如图.。 箱形承受偏心荷载作用,除了按弯扭件进行整体分析外,还应考虑局部荷载 的影响。车辆荷载作于顶板,除直接承受荷载部分产生横向弯曲外,由于整个截 面为超静定结构,因而引起其它各部分产生横向弯曲,如图.所示箱形截面, 顶板上作用的车辆荷载,在各板中产生横向弯矩,这些弯矩将在各板的纵截面上 产生横向弯曲正应力%及剪应力。 第一章绪论 综上所述,钢箱形梁在偏心荷载作用下横截面产生的应力为: 纵向正应力 . :一%仃矿吼? 剪应力 . 吼.】矽矽 .剪力滞效应 在桥梁设计存在的诸多问题中,箱形截面梁在受力过程中的剪力滞后效应是 一个不容忽视的问题。初等梁弯曲理论的基本假定是变形的平截面假定,它 不考 虑剪切变形对纵向位移的影响,因此,弯曲正应力沿梁宽方向是均匀分布的。但 是箱形梁在仅有对称纵向弯曲荷载的情况下,产生弯曲的横向力通过腹板传递给 翼板,而剪应力在翼板上的分布是不均匀的,在腹板与翼板的交接处剪应力最大, 随着离开 腹板而逐渐减小,因此,剪切变形沿翼板的分布是不均匀的。由于翼板剪切 变形的不均匀性,引起弯曲时远离腹板的翼板之纵向位移滞后于近腹板之纵向位 移,所以其弯曲正应力的横向分布呈曲线形状。这种由于翼板的剪切变形造成的 弯曲正应力沿梁宽方向不均匀分布的现象称为“剪力滞后”现象。箱梁壁越薄, 肋板相距越宽,“剪力滞”现象越显著。如果翼板与腹板交接处的正应力大于按初 等梁的计算值,称为正剪力滞,反之为负剪力滞,如图.所示??。对于宽翼缘 的箱梁,在结构设计中,不可忽略其剪力滞后效应。如果这一影响因素被忽略, 或低估其影响,设计就会不合理,导致梁的不安全。 粱璎凳 衍丽丽薪 , 镥 卿必.允等缝 酶惩剪力游后效应 负剪力滞后效应 图.剪力滞效应示意图 . 为方便描述箱梁剪力滞效应的影响程度,工程上引入剪力滞系: 考虑剪力滞后效应所求得的法向应力 ; 按初等梁理论所求得的法向应力 它是衡量剪力滞效应大小的指标。用/ 表示翼板与腹板交界处的剪滞系数, 表示翼板中点处的剪滞系数。当大于时,称之为正剪力滞效应,反之为 第一章绪论 负剪力滞效应。 .剪力滞效应研究的主要方法 近几十年来,国内外许多学者致力于该课题的研究对剪力滞问题提出了许多 新设想和不少新理论,获得了许多研究成果,可以部分地解决实际桥梁中的 问题, 其中一些成果已纳入规范之中,如英国规范和德国工业 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 规范等。归纳起 来大 体可分为: ..解析解法 包括了以弹性理论为基础的经典解析法;以简化结构图式为基础的比拟杆法; 以能量原理为基础的泛函变分法。 ?弹性理论解法 弹性理论解法是建立在经典弹性理论基础上的,主要包括调谐函数法、下交 异性板法、折板理论法、板壳理论和梁格法等。 调谐函数法 调谐函数法是以肋板结构为基础,取肋板和冀板为隔离体,肋板用初等梁理 论分析,而翼板由平面应力分析,用逆解法求解应力函数,然后根据肋板和翼板 之间的静力平衡条件和变形条件,建立方程组,求出未知数,从而导得翼板的应 力和挠度解。早在年,卡曼.就利用该方法解决了无限宽翼缘板 的应力分布及其有效分布宽度问题,李哲在卡曼的基础上分析了无限宽 翼缘简支梁的有效分布宽度问题。宋旗根根据一些的假定,用平面弹性应力为 型、型以及箱形横截面梁在翼缘中应力发展了一种调谐剪滞分析,并导出了简化 的计算公式。伊文斯?等采用调谐函数法分析了单箱多室截面的剪力滞 问题,并与有限元法和实验结果作了比较。威拉得默和可瑞斯特克, 等用此法求解了无加劲肋的、有加劲肋的和组合截面的三种钢悬臂板的 负剪力滞。 正交异性板法 正交异性板法是把肋板结构比拟成正交异性板,假定其肋的面积均摊在整个 板上,然后应用弹性薄板理论,从弹性力学的边界条件出发,导出肋板结构的法 向应力和挠度公式,获得剪力滞问题的解。瑞斯纳.早在年就 把上下板为波纹状的悬臂矩形箱梁截面的剪力滞问题比拟成一正交异性板进行了 分析,并作了一些近似简化处理。希尔布朗德假定板的横向伸长量忽 略不计,从弹性理论中的边值问题出发,将箱梁比拟成正交异性板,获得了箱梁 剪力滞问题的解答。爱伯德.赛德.曾在年把正交异性板法应用 第一章绪论 于钢箱梁的桥道板剪力滞分析,得到的方程被称之为“赛德微分方程。后来 等人进一步用它来分析加劲箱梁的剪力滞问题。阿德克拉..等人将该 方法应用于组合梁的剪力滞效应分析中,得到了考虑剪力连接件刚度影响的组合 梁剪力滞效应解析解。正交异性板法所考虑是整个箱梁,而并非单个板条,所施 加的荷载要用富里叶级数表达,因而比较繁琐,在应用上也受到一定程度上 的限 制。 折板理论法 折板理论法是将箱梁离散为若干矩形板,以弹性平面应力理论和板的弯曲理 论为基础,利用各板结合处的变形和静力平衡条件,建立方程组,可用矩阵形式 进行计算。弹性折板理论首先由戈尔德贝格和李维等提出,后 由狄弗罩、史肯和史考特里斯 写成矩阵形式而适用 于计算机的分析。楚和皮加尔卡则把此法用于对宽矮箱梁的剪 力滞问题进行研究,并指出翼板的宽跨比和梁的边界条件是影响剪滞效应的主要 因素。约史默得将折板理论推广应用于曲线梁桥的剪力滞分析,并研 究了曲率对剪滞效应的影响。文献将带悬臂翼缘的箱形梁离散成若干块平板, 对各板按弹性力学的平面应力问题进行处理,利用各板之间的变形协调条件求得 箱梁的应力和位移的解析解。折板理论假定板平面内与平面外的性能是完全独立 的,板端在平面外位移和转角以及平面内的横向位移都是受到约束的,但对翘曲 则为自由的。这些支承约束保证了上部结构的简支状态。朱汉光和爱露特.杜罩克 .将箱梁看作一种复式折板结构进行分析。虽然该方法结果精确, 但亦过于复杂。卡尔温达芝 等运用上述方法对宽低箱梁的剪力 滞进行研究,分析了箱梁截面尺寸的多种比值对剪力滞系数的影响,并指出:翼缘 板的宽跨比、梁的边界条件是影响剪力滞的主要因素,而翼缘板宽厚比、箱梁与 悬挑长度之比及材料的弹性模量的大小对剪力滞的影响不是很大。 板壳理论 .吉普逊..和..米特瓦利..在年提出了 用板壳理论分析箱形梁及其剪力滞效应。他们认为各种截面形状的箱梁包括矩形、 梯形、圆壳形等都可以看作是板单元和简单元的组合体,因而可以利用板的理论 和筒理论加以处理。 梁格法 梁格法的主要思路是将上部结构用一个等效梁格来模拟,将分散在板式或箱 梁每一区段内的弯曲刚度和抗扭刚度集中于最邻近的等效梁格内,实际结构的纵 向刚度集中于纵向梁格构件内。从理论上讲,梁格必须满足以下等效原则:当原型 结构和对应的等效梁格承受相同荷载时,两者的挠曲线应是相等的,而且在任一 第一章 绪论 梁格内的弯矩、剪力和扭矩都应等于该梁格所代表的实际结构部分的内力。由于 实际结构和梁格体系有着不同的结构特性,上述“等效”的理想状况是难以达到 的,模拟只是近似的。 梁格法是借助计算机分析桥梁上部结构的一种有效实用方法,它易于理解和 使用,在桥梁结构设计中得到了广泛的应用晦。 以上的种方法虽然以经典的弹性理论为基础,是求解等截面简支梁等简单 力学模型的有效方法,能获得较精确的解答,但弹性力学方程的求解体系并未发生 根本性的变革,分析和计算公式繁琐,使其在工程实际问题中的应用受到了一定的 限制。 ?比拟杆法 比拟杆法首先用于航空工程中飞机薄板的构造设计上,最早探讨该问题的是 杨格,他提出了“加劲薄板理论,用等效的连续等厚薄板来代替离散 的纵向加劲肋,并假定由它来承受所有的轴向荷载,从泊松比为零,可以导出用 级数表示的纵向应力和剪应力。这个理论尽管保证了原来的板和等效加劲薄板位 移的相容性,但认为这两种板仍有所不同。阿格瑞斯?采用了与杨 格完全不同的结构设想,提出了“有限加劲肋理论”,在该理论中,他把纵向加劲 肋视为离散的仅承受轴向力的杆件,杆件之间用仅承受剪力的系板连接,原板的 承载力可以等效地折算为一块附加在这些离散纵向加劲杆件上的面积。上述这两 种方法的共同点都是假定轴向荷载主要是由纵向加劲肋承受,而板本身是承受剪 力的系板。分别在年和年对这两种方法作了 库恩和威廉姆 详细的论述。早在年前后,库恩就在前人的有限加劲肋板理论的基础上,提 出了简化的方法,即简单加劲肋代换法,解决了在轴向力作用下具有三根加劲肋 的板的剪力滞计算问题和悬臂箱形梁受弯时的剪力滞效应的分析。后者与前者的 不同点就是考虑腹板剪力流的影响。年马尔康..和瑞德乌特 ...第一次把加劲薄板理论应用于土木工程的箱梁研究中。加劲薄板 理论的应用虽然局限于一端固定的梁,且所承受的荷载可以用数学式来表达其变 化,但它的精度确毫不逊色,可以与有限元的结果相媲美。年,英国学者. 伊文斯及塔海伦又对“有限加劲肋理论和“简单加劲肋代换法”作 了进一步的讨论和改进?,提出了“比拟杆法’,和“三杆比拟法”,使之适 用于箱 形梁的剪力滞分析。比拟杆法是将处于受弯状态的箱梁结构比拟为只承受轴力的 杆件与只承受剪力的等效薄板的组合体,然后根据杆与板之间的平衡条件和变形 协调条件建立起一组微分方程,每块翼板中所产生的剪力滞特性,可以通过理想 化加劲杆的内力来确定,理想化加劲杆等于实际加劲杆面积加上邻近薄板所提供 第一章绪论 的面积。比拟杆的数目视精度要求而确定。在一般情况下,不带悬臂翼板的单室 矩形箱梁取根杆件来计算,其精度就足够高了,于是又提出了简化的近似求解 方法旧,即所谓的三杆比拟法,只需求解一个微分方程,也能达到一定的精度。 国内学者湖南大学教授程翔云及汤康恩门在上述研究的基础上,对等效翼板面 积、板厚和各比拟杆面积的计算公式作了改进,在求解高阶微分方程组时,提出 了用样条函数逼近法,解决了带悬臂翼板的等截面矩形箱形结构以及形梁剪力 滞的计算问题。年在天津召开的第五届中国土木工程年会上,同济大学张士 铎等人又将三杆比拟法用到求解变截面连续梁中去。比拟杆法通过一些基本 假设, 简化了力学模型,但它一般适合于等截面箱梁,对于一些复杂力系和复杂结 构的 剪力滞分析仍然有一定的困难。 ?能量变分法 能量变分法首先是由瑞斯纳提出的。对于腹板高度为,翼板宽度为的 薄壁矩形箱梁的剪力滞问题,选取了两个广义位移函数诹和,并假设翼板 的纵向位移沿横向成二次抛物线分布: . 蹦,:?半一菩? 【 式中 ,一箱梁考虑剪力滞时翼板上任意一点的纵向位移 职一梁的竖向挠度 一箱梁净宽的一半 一剪切转角的最大差值 ,一从截面形心到所研究构件形心的距离 从最小势能原理出发,导出了梁的挠曲微分方程式,获得了集中荷载及均布 荷载作用下简支梁和悬臂梁的剪力滞问题的解答,开创了研究箱梁剪力滞的 新途 径。继瑞斯纳之后,同本学者相继在此基础上,对加劲钢厅形、矩形箱和形等 截面形式的简支、悬臂和连续梁的剪力滞和负剪力滞现象进行了研究,提出了钢 箱梁桥的有效分布宽度的计算方法和图表。美国堪萨斯州立大学教授库兹曼菲克 .’及格拉海姆在年沿用瑞斯纳微分方程,对带悬臂翼缘 板的宽度为的混凝土矩形截面箱梁的剪力滞效应进行分析,并对一个实际的三 跨连续梁受均布线荷载作用的剪力滞效应进行解析,其结果与德国工业规范 做了比较,吻合较好。年,伊利诺斯大学的福启..与 ..张..嘲就是用瑞斯纳方法发现了与正剪力滞完全相反的负剪力滞效 第一章绪论 应。 国内,同济大学张士铎介绍了剪力滞位移函数按三次函数变化更符合实际 的情况后,福州大学的郭金琼、房贞政川等在瑞斯纳微分方程基础上,假定纵向 位移按三次抛物线变化,对带悬臂翼板的预应力混凝土矩形箱梁桥的剪力滞效应 进行了分析,并做了模型实验加以验证,提出了利用叠加法求解超静定连续梁的 剪力滞效应。随后同济大学张士铎、丁芸们在此基础上,对等截面悬臂梁的正、 负剪力滞现象用变分法和平面有限元法进行了探讨。与此同时,张士铎、谢 琪 又假定位移函数按四次抛物线变化,再次利用变分法对直线变截面悬臂梁的负剪 力滞规律作了详细讨论。张士铎、房贞政、丁芸阳儿心’在年对悬臂常截面负剪 力滞现象的研究,引起国内外学者的关注。 能量变分法的显著优点就是不仅能确定翼板内的应力横向分布,而且能计算 梁考虑剪力滞之后的挠度值。因此,这种方法在桥梁初步设计中,颇受欢迎。但 该法一般也只适合于等截面箱梁,目前仍无法直接用于求解变截面箱梁的剪力滞 问题。另外,该法将翼板做了平面应力假设,尽管所获得的最大应力与实际应力 相接近,但在翼板的自由端处仍存在较大的误差。 ..数值方法 有限单元法是解决各种复杂工程问题的一种行之有效的数值分析法,它能用 来分析复杂梁桥的剪力滞问题。?等通过有限单元法对影响箱梁剪力滞效 应的各种参数作了系统的分析与研究,提出了各种荷载下的不同宽跨比、支承形式、 截面加劲情况的有效宽度比。利用八节点平面膜单元分析了下交各向异性 梁板结构的剪力滞。采用六节点平面膜元分析了单箱单室和单箱多室箱梁的剪 力滞,并对有效宽度作了讨论。采用四节点壳单元分析了简支箱梁的剪 力滞。国内学者黄剑源口钔用有限单元法计算了钱塘江二桥变截面箱形连续梁桥的 剪力滞效应。徐柏林对座预应力混凝土变截面长悬臂宽箱梁桥进行了有限元分 析,并提出计算翼缘板有效宽度的经验公式。彭大文和李新平采用空间板壳有限 元法分别计算了单箱室、单箱三室箱梁的剪力滞效应。彭大文和潘建杰采用空问 板壳有限元法,分析了连续曲线箱梁桥和曲线箱梁斜腿刚构系杆拱的剪力滞效应 及主要结构参数的影响。繁华炳采用八节点块体元对连续刚构宽箱梁进行了空间 有限元计算,分析了宽跨比和宽高比对连续刚构箱梁的剪力滞影响。张元海将薄 板弯曲问题的广义协调元与平面应力问题的薄膜单元组合,得到平板壳元以分析 斜交连续箱梁桥的剪力滞效应。王小岗采用三维退化梁、板单元组合的方法,分 析简支箱梁的剪力滞。彭卫用有限元计算,分析了混凝土箱梁的剪力滞效应对徐 变的影响。王应良采用空间梁单元和平面壳单元的组合有限元计算了芜湖长 江大 第一章绪论 桥三跨连续结合桁梁的剪力滞,并分析了桥面板的有效宽度。对高层建筑剪 力墙的剪力滞进行了分析,并提出了计算剪力滞系数的简易方法。 有限条法是从有限单元法发展出来的一种半解析方法,与有限单元法相比,它 具有简单、计算量小的优点。此法是分析等截面简支梁桥的有效方法。目前国内 。 外许多学者采用了这种方法分析箱形梁的剪力滞 有限差分法是一种传统的方法,此法是在能量变分法所求得的剪力滞微分方 程组的基础上,给出相应的有限差分格式,进行变截面箱梁桥的剪力滞分析。张士 铎?硼用此法对直线变截面悬臂梁的剪力滞进行了分析,并探讨了负剪力滞规律;文 献用差分法计算了变截面多跨梯形箱梁的剪力滞,并与模型试验作了比较。 有限段法也是从有限单元法发展出来的一种半解析法。罗旗帜棚提出了一种 分析剪滞效应的有限段法,后又被推广应用于斜拉桥、变截面箱梁桥町及曲线箱 梁桥比叫的剪力滞分析。有限单元法尽管能获得较全面而准确的应力分布图像,可作 为一种数值验证比较的好方法,亦可以检验解析理论中所作的各种假设和近似的 敏感性、合理性,同时又可以使试验中无法模拟、无法控制的要素通过数值模拟实 现。但它所花的机时和贮存量较大,一般难以满足实用要求,尤其在初步设计阶段, 工程中一般采用简捷方法。有限差分法是一种传统的数值计算方法,它的计算时间 和贮存量比有限单元法小,但比有限段法大。有限段法是以薄壁理论为基础,采用 半解析方法,可以减少计算工作量,但由于目前采用等截面单元,在相邻单元的边 界上仍然存在着高阶位移函数不连续问题,有待进一步改进。 ..模拟实验 实验是为重大工程建设提供数据和结论的主要手段之一,是检验计算理论正 确与否的标准。由于计算机的发展,结构分析的方法的进步,虽然用计算机对结构 模拟在时间和费用上比做结构模型实验更节省,但结构模型实验因不受简化假定 的影响,能更实际地反映结构的行为,可清晰且直观地展示整个结构从受载到破 坏的全过程。郭金琼瞳门等完成了有机玻璃制作的梁式桥模型的实验,测试了个 方案个截面的剪力滞效应,验证了简支矩形箱梁的剪力滞理论。 , 完成了直线变截面悬臂梁的负剪力滞实验研究。张士铎、邓小华、王 文洲制作了两个不同横截面尺寸的箱梁有机玻璃模型,针对箱梁在轴向和横向荷 载共同作用下的剪力滞问题进行实验研究,获得了一些重要结论。. ,, 制作了个不同钢箱梁模型,分别对单箱单室、单箱双室及组合 箱梁的剪力滞进行实验研究,为制定英国桥梁规范提供了参考。近几年来,随着 大跨径桥梁的迅速发展,为确保工程的安全性和可靠性,设计人员常采用模似实 桥进行实验研究。我国钱塘江公路二桥进行了的桥梁结构模型实验研究了:第一章绪论 变截面多跨连续梁的剪力滞效应,并提出了简化的计算方法。铜陵长江公路大桥 进行了:的桥梁整体模型实验,对斜拉桥的剪力滞计算提供了重要的依据。 模型实验是一门古老的技术,对现代桥梁工程技术的发展仍起到了应有的作 用。但是模型实验一方面要花费大量的人力和物力,另一方面诸多因素在实验中 仍不可模拟和不可控制,所以单纯依赖实验手段有很大的局限性。 .本文研究的主要内容 目前,数值分析法在剪力滞分析中占有主要地位,但这并不能降低解析方法 的意义,其原因是:首先,数值法其理论基础脱离不了解析法;其次,简单快捷 的解析解也是工程应用中工程师们乐于采用的首选方法。前面介绍的弹性理 论解 法是解决简单力学模型的有效方法,它以经典的弹性理论为基础,能获得较精确 的解答,但《弹性力学》的求解方法以半逆法为主,这种解法依赖于具体问题而 缺乏一般性。半逆法往往只能找到某些解而不能证明已找到其全部解。使读者感 到难于措手之点是怎么凑合才能使手中问题得以求解。采用半逆法的原因在于方 程的复杂性。历来的解析求解方法都是在一类变量的范围之内进行的,或者是应 力函数力法,或者是位移法,其求解总是用各种方法对未知函数予以消元,得 到一个高阶偏微分方程再对一个未知函数进行求解。从数学体系的角度看,一类 变量的求解属于拉格朗日体系的方法,因此必然导致高阶偏微分方程,以至于分 离变量及本征函数展开法等有效的数学物理方法未能对此实施,结果是半逆法求 解这个环节长期未能突破。其原因是求解体系并未发生根本性的变革,分析和计 算公式的繁琐使其在工程实际问题中的应用受到了一定的限制。因此,弹性理论 解法只能解决很少的一部分问题。 世纪年代,冯康教授等瞳矧经过深入研究,将辛算法应用于动态问题的计 体系的优越性:钟万勰教授等乜。?则将哈密顿体 算,显示了哈密顿体系 系引入到弹性力学中,建立和发展了弹性力学哈密顿体系,从而使许多有效的数学 物理方法如分离变量法、共扼辛正交和辛本征函数向量展开法等得以实施,开创 了弹性力学的哈密顿求解体系。弹性力学哈密顿体系的建立为解决工程问题提供 了新的理论方法。 本文以弹性力学的哈密顿求解体系为基础,对钢箱形梁进行了合理的简化, 就其剪力滞问题进行了理论研究,主要有以下内容。 ?介绍了直角坐标系平面弹性问题的哈密顿体系,并通过分离变量和横向本 征问题的求解形成平面问题完备的求解体系,从而可以直接对平面矩形域等问题 进行求解。 ?推导了简支钢箱梁在满跨均布荷载作用下的翼板部分剪力滞系数的圣维南 第一章绪论 解,给出了闭合的有效宽度的表达式。 ?通过工程实例,用建模求解钢箱梁的剪力滞问题,并将其得到的数 值解得结果与本文解进行比较分析。 ?讨论了影响钢箱剪力滞效应的影响参数。 第二章基于哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 第二章基于哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 .辛空间简介 本章介绍直角坐标系下平面弹性问题的哈密顿体系,并通过分离变量和横向 本征问题的求解,形成平面问题完备的求解体系,从而可以直接对平面矩形 域问 题进行求解。 定义.设是实数域上的一个维线性空问,’为其对应的维对偶线 性空间,定义 ., 吾?,?’ 则称线性空间为由与’组成的实数域上的维相空间。 定义.设是实数域上的一个维相空间,对中的任意两个向量, 依~定法则对应着一个实数,这个数称为辛内积,记作仅,,且辛内积瓴运 算满足下列个条件: .. ? 《口,一《,口 ? 为任意实数 .. 仪,, ? .. 《口《口,,卢丫是‖中的任意向量 .. ? 若向量对中任一向量均有《%口,则仅 称定义有这样辛内积的相空间为辛空间。 定义.设是维辛空间,如果线性算子对任意向量、满足 口,厅,卢卢,百,口 .则称线性变换疗为辛空间哈密顿算子。哈密顿算子疗本征问题是非自半的, 可能出现复本征值,还可以产生重本征值。关于辛空间的详细介绍可参见。 .哈密顿原理与哈密顿正则方程 在经典力学中最小作用量原理归结为哈密顿原理。设有限自由度维的广义位 移呸【一,,..以或将其表达为向量来描述。用表示其对时间的微商,则动力 系统的拉格朗同函数动能.势能为 . ,口或‘,一.,;口,审,...,‘ 哈密顿原理可表述为:一个保守系统自初始点。运动到终结点吼,;其 真实的运动轨道应使作用量?成为驻值 新 . ‘,口, 展开变分式.,并作分部积分有 第二章基丁哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 . 砌瞄』岛】 由于可任意变分,因此就导出了拉格朗同方程: .? 旦,鳃要 \ 由上推导可知,哈密顿原理式.对应于拉格朗日方程.,它是二阶常 微分方程组。以上的表述只有位移这一类变量,所以拉格朗日方程是单类变 量的 变分原理。 通过勒让德变换,可把拉格朗函数‘中的一类独立变量由臼广义速度变 换为广义动量,即对偶变量 . 关 由式.可解出臼,使是和的函数。即 . 口口, 按照勒让德变换的规则,引入变换函数,即哈密顿函数动能势能 . ,丁审一,, .式经变换有 . 。 凳一,’百 荔一瓦,瓦 另一方面由式.知 . 丢器著妒 ’娑, 。一塑 。 面, 一一 式.就是哈密顿正则方程,其中采用了二类变量:广义位移与广义动量’。 与哈密顿方程相对应的变分原理是 . 咖奄一, 其中与应看成互不相关独立变分的变量。只要展开变分式.,就可 立即得到式.。 .在哈密顿原理下剪力滞问题平面弹性力学解法 在工程实际中,许多问题经过简化和力学的处理,就可以归结为弹性力学的 平面问题,通常可划分为平面应力问题与平面应变问题。平面应力问题研究 的是 很薄的等厚度薄板,即物体沿一个坐标轴方向例如轴方向的尺寸远小于其他 两个坐标轴方向的尺寸,并且假定作用在薄板上的体积力和侧表面力与板平 面平 行,沿厚度不变,同时板所受的几何约束也沿厚度不变。 . 第二章基于哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 ..平面问题问题哈密顿对偶方程组 \/,???。??.一?。?~?.?. 。 一 一” 图.平面域问题 . 考虑如图.所示的薄板矩形域,因为板很薄,而且外力沿厚度不变,所以 可近似地认为板内的应力沿厚度方向也是不变的,又由于板面上不受力,因 此在 板内各点有 . 昵耻 的函数。根据应力?应变关系 同时其他几个应力唧,呱和~都仅是、 . 协,乞一掣 及简化的平面应力问题的应力一应变关系 . 岛【?】, 勺言【一弘%】,协垫产嘶 当然位移、都仅是、 的函数,它们与应变的关系为 .岛石,勺石,协‘,? 岛芸,勺雾,协‘。.兰 位移与应力的关系为 .’ 百 一‖勺,面甜 ,面瓦 产嘶 筹昙一‖勺】,万 ,茜塞垫产嘶 则平衡方程可简化为 . 案鲁., 垫垫 一 ’ 此外,还有相应的边界条件。如在给力边界弓上的边界条件为 . 第二章 基丁.哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 . 昂吩, 晶磊 给定位移边界咒上的边界条件为 祝,一 . 其中,为边界表面的外法线与、的正向夹角的方向余弦。对于控制 方程.、.,通过替代和简化可化成对偶方程。首先将. 中前两个方程中的消去,可得到 .、 七 石一肛筹半 石一肛丽子 由.中第三个方程和.中第一个方程司得到 . ’ 嚣筹刿嘶?.?? . 将.、.中第二个方程的吩消去可得到 . 一 , 纽一家一弘努 于是式.、.、.、.即组成哈密顿对偶方程组 一磅下. /\ 一品 半 亿, 兰% 一品 》 三 。一岳一磅 对于图.所示问题, . 髟,晟 . 勺,勺瓦 表示对坐标的微分。引入全 将向模拟为时间坐标。呱,简写为,。 状态变量 丁 盯 . 则.变为 矿 . 当然,也可以通过引入哈密顿密度函数 ,,以心一‘,“,伽,也 第二章基于哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 . 害盯. 瓦?瓦一占 上式中‘,,饥也为拉格朗同密度函数。这里没有体力,拉格朗密度函数 即为应变能密度。有了哈密顿密度函数,就可以写出其哈密顿变分原理或称 混 合能变分原理 . ‘【丁,,】:陋:一阱:。 其中 . ,,艮,。 对式.执行变分,即给出域内对偶方程组和两侧边边界条件。也可以 直接从两类变量的赫林格一赖斯纳变分原理导出平面矩形域问题哈密顿对 偶方程 组,其赫林格一赖斯纳变分原理为: 瞳 栅罢茜一否穆《一肛吒一半嘭? 孔 . 晟”髟:一晟;。】 对.式,首先对勺变分后有 . 勺等弘% 将式.代入.消去,即得哈密顿变分原理,变分后即给出域内对偶 方程组和两侧边边界条件。 ..算子性质 前面所求得的算子矩阵必须为辛几何空间的哈密顿算子矩阵。这一点很重 要,、、、、中都有详细论述。对于上面的问题,首先讨 论其齐次线性微分方程 矿 . 及齐次侧边边界条件口,当;时 通过分部积分可以证明 ,?妒杪?日《妒,口/.万肛】:一【\ . ‖ 对于上式,只要,满足侧边边界条件,则恒有 . 《,, 第二章基于哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 所以算子‖为辛几何空间的哈密顿矩阵。对于其它边界条件,只要妒,杪 满足侧边边界条件,则式.也是恒等式。 ..横向本征问题求解 若求解方程组.可用分离变量法求解,当然首先要讨论齐次线性微分方 程.和两侧边的齐次侧边边界条件.的求解。 刊 .. 筹/,当 .. 当时 筹弘仃, 对方程.可由分离变量法求解,令 . ,,手甲 将.带入.,可以得到 . 孝 及本征方程 . 其中是本征值,待求。而是本征函数向量,它应满足侧边齐次边界条件 .,这里纵向坐标已分离出去,所以是横截面上的本征问题。 对于式.的解可分为两类,一类是非零的本征解,一类是为零本征 值的解。对于非零本征值的本征解有下述特点: 如果是哈密顿型算子的本征值,则.一定是其本征值。由于现在 讨论的是连续体,所以是无限维的,有无穷多个,可以将分为两组。 . ,? , . 哈密顿型算子本征向量之间有共轭辛正交关系。设本征值和对应的 本征向量是%和%则当叩?时有辛正交关系 . %,%‘哪 任何一个全状态函数向量总可以用本征解来展开 . 杪?三】%掣一 其中与是待定系数,哪与是本征函数向量,它们满足共轭辛正交归~ 关系。 对于当前讨论的矩形域问题,需要寻求零本征值的本征解,即求解微分方程 . 第一二章基丁哈密顿体系的剪力滞问题平面弹性力学解法 式.中零本征值的本征解并无指数函数,它对于自相平衡的截面上的 力系是不敏感的,而截面上的非自相平衡的外荷载正是通过这些解向远区域 传播 的。所以由零本征值的本征解可以组成当前讨论的矩形域问题的圣维南解。 ..平面问题的一般解 ..讨论的是其次方程的求解。当有外荷载作用时,可求出非其次项的特解。 一旦得到特解,就可根据叠加原理,将通解表示为特解与齐次解之和。原问题 的 通解可由下式表达 . 哥?冬口砧?暑,,...?? 式.中为非齐次特解,为零本征值的本征解,,?为非零本征值的本 征解。,,表示在式.的展不式中仅取,的本征值的本征解。 圣维南原理说明一个自相平衡的力系的影响是局部的,是随距离而快速衰减 的。非零本征值的解正具有这样的特征,所以.式中前两项组成的解为圣 维南解。 .本章小结 本章对辛空间进行了介绍,同时介绍了哈密顿原理与正则方程。在哈密顿体 系下对弹性力学平面问题解法进行了推导,得出了平面问题的本征解以及一般解, 为第三章的应用做了铺挚。 第二章均布荷载作用‘卜.钢箱梁剪力滞的求解 第三章均布荷载作用下钢箱梁剪力滞的求解 本章对简支箱梁在满跨均布荷载作用下的翼板部分进行了简化,求解相应的 圣维南解析解,推导闭合的多项式形式的剪力滞系数表达式和有效宽度的表达式。 .翼板的简化 简支箱梁受均布荷载,如图.。截面具有对称面且荷载作用到腹板上图 .。将箱梁的翼板和腹板各部分分不,如图.。假设平面外刚度相对平面内刚 度可忽略,则翼板和腹板可分别看成平面应力问题。外载荷可看作作用在各部分 的交接面上,这样将上翼板和下翼板从箱梁中分离出,可分别看成独立的板结构 图.、图.。翼板上的剪力可以用初等梁理论求得 . 一墼掣 这里伍表示横截面处的剪力,和分别为截面处的惯性矩和静矩。 矿 ?上??????? ?上?????一??? 图.简支箱梁受均布荷载简图 . ;’. , ?? ?????????一??? ,。 , ????型垒????????? .??????????????????? , 图.箱梁截面图 . 第三章均布荷载作刚下钢箱梁剪力滞的求解』 , 。。。一一一一一一一一.“ 一 九,//四 ./ ???, ? ,? 图.箱梁截面图 图.箱梁截面图. . ??少 图.一半下翼板示意图 . .上翼板均布载荷下剪力滞问题求解 ..上翼板方程推导 基于前面的分析,上翼板可看作一个有两个单元的平面矩形域问题,如图.。 令鼠‖分别表示弹性模量和泊松比。则每个单元,的平衡方程可表达为平面 内的平面应力方程 , . 譬害,等警 这里 ’,西’和髫分别为单元的正应力和切应力。各项同性的应力应变关系 为 . 簟’甜《?秽’】,锣’昙【秽’一《】,椤等笋瑶 这里《’,毋’和记分别为单元的线应变和切应变。位移与应变的关系为. ‖百,‖警,椤百百 上式中‘和‘分别表示单元的向和向的位移。通过.和.式消去应变 项得 百琳。一卅,警擀?刮,警百竿瑚. 现在,控制方程?和?包括三个应力项《’,《’,驾和两个位 移项‘,‘‘’,通过替换和简化可将.和.式化为对偶方 程。首先,由.中前两式将消去秽’,则位移可用和《‘’表达为 。 . 警一警一《, 一:一一,.’ 由.中第三式和.中第一式可得 ’ ’ .警一警.刿罐, 一一一?‘???二? 婴一望 . 由.和.式中第二式消去《‘’可得 . 肌一 ?型 一 妒一“警 这样,式.~.可表达成如下所示的矩阵形式 ?一 ?石 /\催、 .引 三 一 。 ?瓦 单元交接面处的协调性边界条件为 ?,,等现百现. ,, . 侧边和处的边界条件为 , ,当娩, . , 当叫 . 引入向量‘ . 杪‘‘《南’ 第三章均布荷载作用下钢箱梁剪力滞的求解 贝..表达为 . 娑秒 口石 式.称为对偶方程, 其中为算子矩阵。.式可由分 离变量法求解,令 . 妒‘,,‘甲‘ 将.式代入.式可得 . ‘/‰ 本征方程为 . ‘‘甲‘ 其中是本征值,待求。而吵‘是本征函数向量,它应满足侧边齐次边界条 件.,这里纵向坐标已分离出去,所以是横截面上的本征问题。由于现在 是连续体,所以是无限维的。不难证明?为哈密顿型算子矩阵,因此其本征函 数 向量之间有共轭辛正交关系,任何一个全状态函数向量总可以用本征解来展 开, 将其前有限项代入变分原理,即可给出问题的一个直接解法。 ..零本征值的本征解 对于式.的齐次边界条件,存在零本征解及其约当型本征解。求解方程 //矿例仍可首先得到基本的零本征解即平移的刚体位移。 . 哦,,,,%蠕 求解哦峨得零本征值的约当型本征解,即 . 峨,渺,,丁 由.式可组成式.、.和.的解 . %%喘 进一步寻求二阶约当型本征解。求解峨峨,由方程中式可得一砂卢, 其中为任意常数,不能同时满足侧边边界条件铂因此无解。 ..均布载荷时上翼板特解 根据初等梁理论,简支箱梁受均布载荷,在边上为线性剪应力。这样 边受力可由.式求解 彳?,一?/?百一. 为得到线性特解,首先要求解式.为边界条件为常值的特解。 . ,足一一, ? 根据.以及边界条件..、.、.,求解叫卿, 得. 峨等,,,,’ ., ’孵一言,?,等 由前面的求解可组成式.、..、.和.的解。 , . 皑叫一言叫 蟛 进一步求解蟛叫得到 专睁一嘞,,。一譬,丁 . 孵心詈叫川,一. . 咖一 川,。,。’ 由前面的求解可组成简支箱梁上翼板在均稚荷载作用下的特解。也即式.、 ..、.的解。 //一 一翁鲁等一笔芋、 中衩。荨焉筠掌?。卜。, \ // 一下百, 鲁??娩?一魏卜?。习一勃?习一簪 曙 .? 一等掣邮州州训慨:一:广皑 字慨‖手三娩啦一百片 “ 一跳一/“‘ 第二章 均布荷载作用下钢箱梁剪力滞的求解 ..均布载荷时上翼板的有效宽度求解 前面我们已经求出了均布荷载下满足两侧边的特解和零本征解。对于图. 所示的平面矩形域问题,还需要满足、两端的边界条件。运用圣维南原理 忽略非零本征值的本征解,则问题可仅采用特解加零本征值的本征解。 . ?矽 ‘皑口%卢嵋 上式中,、为待求系数。展开式.,任意截面的暇可表达为式. . 以一萼孚一口半 . 《一等了一州,孚一口孚 依据简支边界条件,当或有 . 譬 ::。嚣《:。 :姜呱: 求解.,得 . 言一嘻一 一 由上可得 畦一等一?,,孚一吾一咖 . 《一萼