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高等数学下册试卷及答案.doc

高等数学下册试卷及答案

王村坚
2018-01-08 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高等数学下册试卷及答案doc》,可适用于高等教育领域

高等数学下册试卷及答案高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题分共计分)、z=loga(xy)(a)的定义域为D=。、二重积分ln(xy)dxdy的符号为|x||y|、由曲线ylnx及直线xyey所围图形的面积用二重积分表示为其值为。、设曲线L的参数方程表示为x(t)y(t)(x),则弧长元素ds。、设曲面为xy介于z及z间的部分的外侧则(xy)ds。、微分方程dyyytan的通解为。dxxx、方程y()y的通解为、级数n(n)的和为。n二、选择题(每小题分共计分)、二元函数zf(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是()(A)f(x,y)在(x,y)处连续(B)fx(x,y)fy(x,y)在(x,y)的某邻域内存在(C)zfx(x,y)xfy(x,y)y当(x)(y)时是无穷小(D)limzfx(x,y)xfy(x,y)y(x)(y)x。yxyuu、设uyf()xf(),其中f具有二阶连续导数则xy等于()yxxy(A)xy(B)x(C)y(D)。、设:xyz,z,则三重积分IzdV等于()(A)ddrsincosdr(B)ddrsindr(C)ddrsincosdr(D)ddrsincosdr。、球面xyza与柱面xyax所围成的立体体积V=()(A)dddacosardr(B)acosrardr(C)acosrardr(D)dacosrardr。、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成L取正向函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数则PdxQdy(L)(A)(DPQQP)dxdy(B)()dxdyyxyxDPQQP)dxdy(D)()dxdy。xyxyD(C)(D、下列说法中错误的是()(A)方程xyyxy是三阶微分方程(B)方程ydydyxysinx是一阶微分方程dxdx(C)方程(xxy)dx(yxy)dy是全微分方程(D)方程dyyx是伯努利方程。dxx、已知曲线yy(x)经过原点且在原点处的切线与直线xy平行而y(x)满足微分方程yyy则曲线的方程为y()(A)esinx(B)ex(sinxcosx)(C)ex(cosxsinx)(D)esinx。、设limnun,则nxxunn()(A)收敛(B)发散(C)不一定(D)绝对收敛。三、求解下列问题(共计分)、(分)设f,g均为连续可微函数。uf(x,xy),vg(xxy)求uu,。xy、(分)设u(x,t)xtxtf(z)dz求uu,。xt四、求解下列问题(共计分)。、计算I、计算I(分)dxeydy。x其中是由yz,z及z所围成的空间(xy)dVx闭区域(分)。五、(分)计算ILxdyydx其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过xy原点O(,)的封闭曲线的逆时针方向。六、(分)设对任意x,y,f(x)满足方程f(xy)f(x)f(y)且f()存在求f(x)。f(x)f(y)(x)n七、(分)求级数()的收敛区间。nnn高等数学(下册)考试试卷(二)一、填空题(每小题分共计分)、设sin(xyz)xyz则zzxy、limyxyxxy、设Idxxxf(x,y)dy交换积分次序后I、设f(u)为可微函数且f(),则limttxytf(xy)d、设L为取正向的圆周xy则曲线积分Ly(yex)dx(yexx)dy。、设A(xyz)i(yxz)j(zxy)k则divA。、通解为ycexcex的微分方程是。、设f(x),,x则它的Fourier展开式中的anx二、选择题(每小题分共计分)。xy,、设函数f(x,y)xy,xyxy,则在点()处()(A)连续且偏导数存在(B)连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在(D)不连续且偏导数不存在。、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数且满足uuu及xxyy则()(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上(C)最大值点在D的内部最小值点在D的边界上(D)最小值点在D的内部最大值点在D的边界上。、设平面区域D:(x)(y)若I则有()(A)II(B)II(C)II(D)不能比较。、设是由曲面zxy,yx,x及z所围成的空间区域则=()(A)xyzdxdydz(xy)DdI(xy)dD(B)(C)(D)。、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)(t)y(t)其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数且(t)(t)则曲线积分Lf(x,y)ds()(A)(C)f((t),(t))dt(B)f((t),(t))(t)(t)dtf((t),(t))(t)(t)dt(D)f((t),(t))dt。、设是取外侧的单位球面xyz则曲面积分xdydzydzdxzdxdy=()(A)(B)(C)(D)。、下列方程中设y,y是它的解可以推知yy也是它的解的方程是()(A)yp(x)yq(x)(B)yp(x)yq(x)y(C)yp(x)yq(x)yf(x)(D)yp(x)yq(x)。、设级数ann为一交错级数则()(A)该级数必收敛(B)该级数必发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)若an(n)则必收敛。三、求解下列问题(共计分)、(分)求函数uln(x的方向的方向导数。、(分)求函数f(x,y)xy(xy)在由直线xy,y,x所围成的闭yz)在点A()沿A指向点B()区域D上的最大值和最小值。四、求解下列问题(共计分)、(分)计算Idv其中是由x,y,z及xyz(xyz)所围成的立体域。、(分)设f(x)为连续函数定义F(t)其中(x,y,z)|zh,xyt五、求解下列问题(分)、(分)求Izf(xy)dv。求dFdtL(exsinymy)dx(excosym)dy其中L是从A(a)经yaxx到O()的弧。、(分)计算I的外侧。六、(分)设函数(x)具有连续的二阶导数并使曲线积分其中是xyz(za)xdydzydzdxzdxdyL(x)(x)xexydx(x)dy与路径无关求函数(x)。高等数学(下册)考试试卷(三)一、填空题(每小题分共计分)、设uyzxzetdt则uz、函数f(x,y)xysin(xy)在点()处沿(,)的方向导数fl(,)、设为曲面zxy,z所围成的立体如果将三重积分If(x,y,z)dv化为先对z再对y最后对x三次积分则、设f(x,y)为连续函数则Ilimttf(x,y)d其中DD:xyt。、L(xy)ds其中L:xya。、设是一空间有界区域其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成如果函数P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式:该关系式称为公式。、微分方程yyyxx的特解可设为y。*()n、若级数发散则p。pnn二、选择题(每小题分共计分)f(xa,b)f(ax,b)=()xx(A)fx(a,b)(B)(C)fx(a,b)(D)fx(a,b)。、设fx(a,b)存在则lim、设zx结论正确的是()yzzzz(A)(B)xyyxxyyxzzzz(C)(D)。xyyxxyyx、若f(x,y)为关于x的奇函数积分域D关于y轴对称对称部分记为D,Df(x,y)在D上连续则(A)(B)f(x,y)d()DDD(C)f(x,y)d(D)f(x,y)d。f(x,y)dD、设:xyzR则(xy)dxdydz=()(A)R(B)R(C)R(D)R。、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L在点(x,y)处的线密度为(x,y)则曲线弧,的重心的x坐标x为()(,)x=x(x,y)dxLMLxds,其中M为曲线弧,的质量。(C)x=x(x,y)ds(D)x=LLMx(x,y)ds(B)x=M,、设为柱面xy和x,y,z在第一卦限所围成部分的外侧则曲面积分yzdxdyxzdydzxydxdz,()(A)(B)(C)(D)。,、方程yyf(x)的特解可设为()x(A)A若f(x)(B)Ae若f(x)e(C)AxBxCxDxE若f(x)xxx(D)x(AsinxBcosx)若f(x)sinx。,,、设f(x)(A)x则它的Fourier展开式中的an等于()x()n(B)(C)(D)。nnn三、(,,分)设yf(x,t),有一阶连续偏导数求t为由方程F(x,y,t)确定的x,y的函数其中f,F具dy。四、(,分)在椭圆xy上求一点使其到直线xy的距离最短。五、(,分)求圆柱面xyy被锥面z六、(,,分)计算I的外侧。七、(分)设xy和平面z割下部分的面积,。其中为球面xyz的x,y部分xyzdxdydf(cosx)sinx求f(x)。d(cosx)八、(分)将函数f(x)ln(xxx)展开成x的幂级数。高等数学(下册)考试试卷(四)一、填空题(每小题分共计分)、由方程xyzxyz所确定的隐函数zz(x,y)在点()处的全微分dz。、椭球面xyz在点()处的切平面方程是、设D是由曲线yx,yx所围成则二重积分I(xD)dxdy、设是由xy,z,z所围成的立体域则三重积分I(xy)dv。、设是曲面zxy介于z,z之间的部分则曲面积分I(xy)ds。、xyzaxyzxds。、已知曲线yy(x)上点M(,)处的切线垂直于直线xy且y(x)满足微分方程yyy则此曲线的方程是。、设f(x)是周期T=的函数则f(x)的Fourier系数为二、选择题(每小题分共计分)、函数zarcsinyxy的定义域是()x(A)(x,y)|xy,x(B)(x,y)|xy,x(C)(x,y)|xy,x(x,y)|xy,x(D)(x,y)|x,y(x,y)|x,y。、已知曲面zxy在点P处的切平面平行于平面xyz则点P的坐标是()(A)()(B)()(C)()(D)()。、若积分域D是由曲线yx及yx所围成则(A)(C)f(x,y)d=()Dxxdxdyxxyyf(x,y)dy(B)f(x,y)dx(D)xdxf(x,y)dyxdyf(x,y)dx。、设:xyzR,z:xyzR,x,y,z则有()(A)(C)xdvxdv(B)ydvydvxyzdvxyzdv(D)zdvzdv。、设为由曲面zxy及平面z所围成的立体的表面则曲面积分(xy)ds=()(A)(B)(C)(D)。,、设是球面xyza表面外侧则曲面积分xdydzydzdxzdxdy,()(A)a(B)a(C)a(D)a。xlnx则xylnx,、一曲线过点(e,)且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率k此曲线方程为()xxxln(lnx)(B)yxlnxeex(C)yexxln(lnx)(D)yln(lnx)。e(A)y,、幂级数(n)xnn的收敛区间为()(A)()(B)(,)(C)()(D)。三、(,,分)已知函数uyf()xg()其中f,g具有二阶连续导数求xyyxuuxy的值。xyx四、(,,分)证明:曲面xyzc(c)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。五、(,,分)求抛物面zxy的切平面使得与该抛物面间并介于柱面(x)y内部的部分的体积为最小。六、(,,分)计算IL(exsinyy)dx(excosyx)dy其中,为yx由,(,,)至,(,,,)的那一弧段。七、(,分)求解微分方程yy=。yxn八、(,分)求幂级数的和函数S(x)。nn高等数学(下册)考试试卷(五)一、填空题(每小题分共计分)zyx、设zf(x,y)是由方程zyxxe所确定的二元函数则dzxyzx,、曲线在点(,,,)处的切线方程是。xyz,、设是由xyz则三重积分edv,。z,、设f(x)为连续函数a,m是常数且a将二次积分化为定积分为。adyem(ax)f(x)dxy,、曲线积分L(AB)PdxQdy与积分路径L(AB)无关的充要条件为。,、设为zaxy则(xyz)ds,、方程yyex的通解为,、设级数ann收敛bnn发散则级数(annbn)必是二、选择题(每小题分共计分)xy,,、设f(x,y)xy,(x,y)(,)(x,y)(,)在点(,,)处下列结论()成立。(,)有极限且极限不为(,)不连续(,)fx(,)fy(,)(,)可微。f,、设函数zf(x,y)有且f(x,)fy(x,)x则f(x,y)=()y(,)(,)(,)(,)xyyxyyxyyxyy。,、设,:xyf在D上连续则Df(xy)d在极坐标系中等于()(,)rf(r)dr(,)rf(r)dr(,)rf(r)drrf(r)dr(,)rf(r)drrf(r)dr。,、设是由x,y,z及xyz所围成则三重积分xf(x,y,z)dv()(,)dxydzxyxf(x,y,z)dy(,)dxdyxyxf(x,y,z)dzxf(x,y,z)dz(,)dxxdyxy(,)dxdyxf(x,y,z)dz。,、设是由x,y,z,xy,z所围立体表面的外侧则曲面积分xdydzydzdxzdxdy()(,)(,)(,)(,)。,、以下四结论正确的是()(,)(xyz)dvaxyza(,)xyzaxyzdsa(,)(xyz)dxdyaxyza外侧(,)以上三结论均错误。,、设g(x)具有一阶连续导数g()。并设曲线积分(,)(,)Lyg(x)tanxdxg(x)dy)与积分路径无关则yg(x)tanxdxg(x)dy((,)(,)(,)(,)。()n,、级数的和等于()nn(,)(,)(,)(,)。三、求解下列问题(共计,,分),、(,分)设ux,求yzuuu,。xyz,、(,分)设uf(,)f具有连续偏导数求du。四、求解下列问题(共计,,分),、(,分)计算I,、(,分)计算Ixyyzaf(x)bf(y)d其中。D:xyRf(x)f(y)D其中。:xyzR(xyz)dv五、(,,分)确定常数使得在右半平面x上Lxy(xy)dxx(xy)dy与积分路径无关并求其一个原函数u(x,y)。六、(,分)将函数f(x)x展开为x的幂级数。(x)七、(,分)求解方程yyy。高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案一、、当a时xy当a时xy、负号、ddyDeyeydx、(t)(t)dt、、sinyCxxx、yCcosxCsinxCeCex、二、、D、D、C、B、D、B、A、C三、、uufyfxg(xxy)xyuuf(xt)f(xt)f(xt)f(xt)xtyyyy四、、dxedydyedxyedy(e)x、、I柱面坐标ddrrdzddrrdzryx五、令P,QxyxyPyxQ则(x,y)(,)y(xy)xPQ,在D内连续。所以由GreenyxPQ,在D内除O(yx*于是当L所围成的区域D中不含O()公式得:I=当L所围成的区域D中含O()时)外都连续此时作曲线l为xy()逆时针方向并假设D为L及l所围成区域则ILllLlGreen公式(lD*QP)dxdyxyxy六、由所给条件易得:f()f()f()f()f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(xx)f(x)又f(x)lim=limxxxxf(x)f(x)f()limf()f(x)xf(x)f(x)x即f(x)f()f(x)fn(x)f()xc即f(x)tanf()xcarcta又f()即ck,kZf(x)tanf(()x)tn七、令xt考虑级数()nnntntlimntnn当t即t时亦即x时所给级数绝对收敛当t即x或x时原级数发散当t即x时级数()nn收敛n当t即x时级数()nn收敛n级数的半径为R=收敛区间为。高等数学(下册)考试试卷(二)参考答案一、、、、dyyyf(x,y)dxdyyf(x,y)dx、f()、、(xyz)、yyy、二、、C、B、A、D、C、D、B、C三、、函数uln(xyz)在点A()处可微且uxuyuzAxyzxyzxyz(,,)Ayyzzyz(,,)A(,,)而(,,),所以(,,),故在A点沿方向导数为:uzAulAuxAcosuyAcoscos()fxxy(xy)xy()、由得D内的驻点为M(,),且f(,)fx(xy)y又f(,y),f(x,)而当xy,x,y时f(x,y)xx(x)令(xx得x,x于是相应y,y且f(,),f(,)f(x,y)在D上的最大值为f(,)最小值为f(,)x四、、的联立不等式组为:yxzxy所以Idxxdyxydz(xyz)xdxdy(xy)x()dxlnx、在柱面坐标系中F(t)所以ddrzf(r)rdzhf(r)rhrdrthtdFhf(t)ththtf(t)hdt五、、连接OA由Green公式得:ILOAOALOAOAGreen公式xyax,yxx(ecosyecosym)dxdyma、作辅助曲面:Izaxya上侧则由Gauss公式得:==xyz,za(xyz)dxdydzxyaadxdy=adzaxyzzdxdyazdzaax六、由题意得:(x)(x)xe(x)即(x)(x)(x)xe特征方程rr特征根r,对应齐次方程的通解为:ycece*x又因为是特征根。故其特解可设为:yx(AxB)exxxr代入方程并整理得:A即y*,Bx(x)exxx故所求函数为:(x)cecex(x)ex高等数学(下册)考试试卷(三)参考答案一、、yeyzxexz、、dxxxdyxyf(x,y,z)dz、f(,)、(、aPQR)dvPdydzQdzdxRdxdyxyzGauss公式、AxBxC、P。二、、C、B、A、C、A、D、B、B三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dtFxdxFydyFtdt由上两式消去dt即得:dyfxFtftFxdxFtftFy四、设(x,y)为椭圆xy上任一点则该点到直线xy的距离为dxy令L(xy)(xy)于是由:Lx(xy)xLy(xy)yLxy得条件驻点:M(,),M(,),M(,),M(,)依题意椭圆到直线一定有最短距离存在其中dminxyM即为所求。zxy五、曲线在yoz面上的xyyzy投影为x(yz)于是所割下部分在yoz面上的投影域为:yDyz:zyADyz(xx)()dxyzDyzdydzyydydzyy六、将分为上半部分:zxy和下半部分:zxy,在面xoy上的投影域都为:Dxy:xy,x,y,于是:xyzdxdyDxyxydxdy极坐标dsincosdxyzdxdyxy(xy)(dxdy)DxyI=七、因为df(cosx)sinx即f(cosx)sinxd(cosx)xc所以f(x)xf(x)x八、f(x)ln(x)(x)ln(x)ln(x)()nn又ln(u)u,u(,nn()nn()nnxx,x(,f(x)nnnn()nnx(xn),nnx(,高等数学(下册)考试试卷(四)参考答案一、、dxdy、xyz、x、a、y(x)e、、、abkf(x)dxakf(x)coskxdxk,,n,f(x)sinkxdxk,,n,二、、C、C、A、D、A、B、A、C三、uxyyyf()g()g()xyxxxyyuxyyyyf()g()g()g()xxyyxxxxxyyxf()g()xyyxyyuxxyyf()g()g()g()xxxyyxxxxyyyxxg()f()xxyyuu故xyxyx四、设M(x,y,z)是曲面Fxyzc上的任意点则xyzc在该点处的法向量为:(Fx,Fy,Fz)Mccc(yz,zx,xy)(,,)c(,,)xyzxyz(xx)(yy)(zz)=yxz于是曲面在M点处的切平面方程为:即xyz=xyzxyzxyzc因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为:V这是一个定值故命题得证。五、由于介于抛物面zxy柱面(x)y及平面z之间的立体体积为定值所以只要介于切平面柱面(x)y及平面z之间的立体体积V为最大即可。设与zxy切于点P(x,y,z)则的法向量为(x,y,)且zxy切平面方程为:x(xx)y(yy)(zz)即zxxyyxy于是V(x)yzd极坐标(xcosysinxy)d(xxy)Vx(x)则由得驻点()Vyy且V(,),z由于实际问题有解而驻点唯一所以当切点为()时题中所求体积为最小。此时的切平面为:zx六、联接并设由L及所围成的区域为D则ILBABALBABAGreen公式(excosyexcosy)dxdyD七、令yz(y)则yzdzdzz于是原方程可化为:zdyydydydzy其通解为zce即c(y)dyydydyc(y)即cdxdx(y)故原方程通解为:ycxc八、易求得该幂级数的收敛区间为(,)xnxnx(,)令S(x)则S(x)()xnxnnnnn注意到S()S(x)xS(x)dxdxln(x)xx高等数学(下册)考试试卷(五)参考答案axyzdx(xezyx)dym(ax)一、、、ef(x)(ax)dxzyxxe、对任意闭曲线lPdxQdy或lPQ或u(x,y),使得duPdxQdyyx、a、ycexex、发散二、、C、B、A、C、C、B、D、A三、、zzzuuuyzxyyzxylnxlnyxyyzzlnxxzy、ufxyuxffyzyuyfzzduuuuxydxdydzfdx(ff)dyfdz。xyzyzyz四、、因为积分域D关于yx对称所以IDaf(x)bf(y)af(y)bf(x)df(x)f(y)f(y)f(x)Daf(x)bf(y)af(y)bf(x)dDf(x)f(y)f(y)f(x)D故I=、I(ab)d(ab)RD(xyz)dVx(yz)dVyzdVydVzdVdV因为关于三个坐标轴都对称而xy,yz,zx,x,y,z都(至少)关于某个变量为奇函数故以这些项为被积函数的三重积分都等于。于是:IzdVR(xyz)dVdVRdzzdxdyRR(R)。xyRz五、令Pxy(xy),Qx(xy)则Px(xy)xy(xy)yQx(xy)x(xy)x由已知条件得QP即有(xy)()所以xy所求的一个原函数为:u(x,y)(x,y)xyx(,)xyxydyxdxyxxydyyx六、易知x((x)x)(x)(x)(x)又xnx(x)nn(x)(x)nxn(x)((x))n(n)xnn(n)nxnnx(x)(n)nxnnxn其中nnnxnn七、方程的特征方程为:rr其特征根为rr故方程的通解为:y(ccx)ex(x)

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