渐开线画法44976718
渐开线画法
一、圆的渐开线画法步骤:
、画直径为D的基圆，将基圆分成n等分(如12等分) 如图一，并过圆周长上各等分点作基圆的切线，1
如图二。
图一 图二
2、用直线等分
方法
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把基圆周长πD分成相同等分段(如12等分)，或1×πD/12、2×πD/12 …… ，如图三。
图四
3、量取一个等分段;从切点1起在切线上量取一个等分段得点1′(1×πD/12);量取两个等分段;从切点2起在切线上量取两个等分段得点2′(2×πD/12);量取三个等分段;从切点3起在切线上量取三个等分段三个等分段得点3′(3×πD/12);量取四个等分段;从切点4起在切线上量取四个等分段得点4′(4×πD/12), 依此类推得点5′、6′、7′……12，如图五。
4、用曲线板光滑连接点1′、2′、3′……、12;得圆的渐开线，如图六。
1
图五 图六
二、渐开线极坐标方程和参数方程
1、渐开线极坐标方程
r,r/cosα kb k
θ,tanα,α kkk
2、渐开线参数方程
x,r(cosθ+ radθ×sinθ) b
y,r(sinθ—radθ×cosθ) b
A、渐开线及其形成(development of involute) 直线BK在一圆上作纯滚动,其上K点的轨迹就是渐开线(involute)。其中: AK ? 渐开线(involute)， 圆 ? 基圆(base circle)， BK ? 渐开线发生线(generating line)
r? 基圆半径， r? 渐开线上K点的向径， α? 渐开线K点的压力角 b K K
? 渐开线上K点的展角， θk
B、渐开线的性质(properties of involute)
??BKBK1)发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长 ，即: , ; ABAB
2
2)当发生线沿基圆作纯滚动时，切点B为其速度瞬心, 因此KB必垂直于渐开线上K点的切线，即发生线
BKBK为渐开线在K点的法线，即:，渐开线上任一点的法线恒与基圆相切; nn,nn
3)发生线与基圆的切点B也是渐开线在K点处的曲率中心,即
BKР,,r ×sin r kKK
K点离基圆愈远(r愈大)，Р愈大,K点在基圆上时(r,0时)，Р,0 KkKk4)渐开线的形状取决于基圆的大小,即由不同大小的基圆所形成的渐开线,在相等展角θ处的曲率半径Рkk
的大小随基圆半径r的增大而增大，若r ? ?，则Р? ?，渐开线AK变成直线，故齿条的渐开线齿bbk
廓曲线为直线。
5)基圆以内无渐开线
渐开线方程式(involute equation)，渐开线方程式大多数都用极坐标形式
表
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示，设OA为极坐标轴(O为原
点)，则以压力角α表示的K点的极坐标θ，r(展角,向径)方程式为: Kk K
由图可知:
?BKTanα,/r, / r,r(α+θ)/ r,α+θ kbbbKkbKkAB
所以，渐开线的极坐标方程为:
r,r/cosα kb k
θ,tanα,α kkk
其中r,r/cosα很常用,可用来求解渐开线齿廓上任一点的压力角。 kb
C、渐开线函数(involute function) 渐开线函数指的是展角θ与压力角r的函数关系式，工程上以invα表示该函数，即 kKK
invα,θ ,tanα,α Kkkk
x,r(cosφ+ sinφ) b
y,r(sinφ,cosφ) b
z,0
式中:r? 基圆半径，φ? 渐开线发生线在基圆上的滚动角。 b
由invα,θ ,tanα,α得 Kkkk
φ,θ,α,tgα kKK
当r,r时，φ取最大值，则: ka
22rr,abφmax,tanα, krb
3
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