首页 编码方式中的数学知识.doc

编码方式中的数学知识.doc

举报
开通vip

编码方式中的数学知识.doc编码方式中的数学知识.doc 摘要 20世纪,数学经历了前所未有的繁荣和发展,它的许多分支都已经成为当前的研究热点,其中编码理论就是热点之一。目前,讲编码的教材,大都直接给出结论,很少解释原理。本文以线性分组码为例,说明数学在编码理论中的重要作用;另一方面,也想唤起人们对知识连贯重要性的认识。 关键词 线性分组码 生成矩阵 监督矩阵 线性无(相)关 线性空间 线性子空间 常见编码方式中的数学知识 在当前高等教育中普遍存在基础知识与后续知识脱节的问题,虽然很多老师已经注意到这一点,但由于课时受限,两者联系...

编码方式中的数学知识.doc
编码方式中的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 知识.doc 摘要 20世纪,数学经历了前所未有的繁荣和发展,它的许多分支都已经成为当前的研究热点,其中编码理论就是热点之一。目前,讲编码的教材,大都直接给出结论,很少解释原理。本文以线性分组码为例,说明数学在编码理论中的重要作用;另一方面,也想唤起人们对知识连贯重要性的认识。 关键词 线性分组码 生成矩阵 监督矩阵 线性无(相)关 线性空间 线性子空间 常见编码方式中的数学知识 在当前高等教育中普遍存在基础知识与后续知识脱节的问题,虽然很多老师已经注意到这一点,但由于课时受限,两者联系的工作很难在课堂上完成。这就要求学生课下自己总结,如果不能做到温故而知新,那么就会总觉得学的是陌生知识,并认为原来学的基础课程没有用,不能加深对知识理解,无法形成科学 ,,|G的知识体系。比如,刚开始学习编码时,只知道生成矩阵可表示为,QI,,,, ,,Q,,H监督矩阵可表示为,但并不知道为什么要这样构造,因此印象和理解都,,I,, 不深刻。经过用学过的线性代数的知识 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 后,不但概念清晰了许多,也保持了知识的连贯性,一举两得。 以下主要以线性分组码为例,看看它们中运用了哪些熟悉的知识。 线性分组码的数学定义表达: kn信道编码可表示为由编码前的信息码字空间到编码后的码字空间的UC一个映射,即: f kn (1) f:,UC n,k其中。 若进一步满足下列线性关系: f '' (2) f(,,,),,f(),,f()uuuu 'k其中,与,与,则称为线性编码映射。进一步,,,GF(2),{0,1},fuUu 若为一一对应映射,则称为唯一可译线性编码。而由编写的码字fff k称为线性分组码。为编码前的信息码字,其中,(,,,),(,,,)ccccuuuu12n12k 1 k为信息位数,为码长,而R,为编码速率。 nn k 由上述定义可见,一个线性分组编码是一个从矢量空间到另一个fGF()2 n矢量空间上的一组线性变换。 GF()2 (3) ,cuG 位码组,它可以由k各信息位的输入信息序列通 即在一般情况下,一个nu过一个矩阵来产生。我们称为生成矩阵。 GG G二元(7,3)线性分组码的生成矩阵可表示为,,,其中,是一|QII3334 3,4个3阶单位阵,是一个所有行都只有一个0元素的矩阵。因此,G是一Q34 TH3,77,4个的矩阵。监督矩阵可表示为,它是一个的矩阵。[3] [|]QI434 Q343,4 那么就有 (结果为一的全,,[|][],,,QQQG;HI3343434I4 0阵)。 两个分块矩阵做运算,可以把每个小块看成书一样处理。[4] *1001110* 把G展开有,先看单位矩阵,它们的行是3维向量,[0100111]*0011101* 且明显线性无关,因此,把这三个3维向量扩展到7维时,无论后4维添加什么元素,这样的三个7维向量都是线性无关的,所以生成矩阵行线性无关,也就是行满秩,该矩阵的秩为3。同理,监督矩阵列线性无关、满秩,其矩阵的秩为4。 线性无关的向量组中每个向量增加相同个数的分量后还是线性无关。[4] g17H,[]G,[],()令,,则,gspanGFghhhh21234i2 g3 ,7,()[3] spanGFh2j ()编码器输入为一3维向量,编码器输出为一7维向量uuu123 (),则 ccccccc1234567 2 g13 (注:此处是模二,,()[],,,,ggggg,cuGuuuuuuui123123i2123i,1 g3 加求和) 可见,输出码序列由,i=1,2,3决定,必然是,,,的线性组合,gggui231例,, ;,;,,,,,(100),(011),(111)gggccuuu123 ,且只有8种码序列,称为码字空间。该空间是封闭的,因为 ,,,gggc123 3333 ,,,,(,),,,其中gggg,,,,ccuuuuuc1mnminiminililiiii,1,1,1,1iiii 3,,,因,仍在该空间中。 ,GF()ccccu2mnlll 由于,,i=1,2,3,的线性组合也垂直于,j=1,2,3,4。 ,gghchjjii Q34 ,,,,,[|][],,QCUGUU;;HHI334I4 设收端接收的信号为,是错误向量若,则有两种,,H,;yycee 可能:一,,即未发生误码;二,为8种码序列中的一个,上文已经证,0ee 明,此时仍属于码子空间,这种错误情况在译码时无法察觉,但引起的误码y 往往严重,比如、,此时,译码时,(0111010),(1001110),(1110100)yce 认为正确,信息序列从(100)错到(011),3位全错~该情况应予以避免。 下面分析在实际应用中是怎样把这种概率降到最小的。通过初等变换,任何 非系统码生成矩阵,等价于系统码生成矩阵。那么就用系统码生成矩阵来讨论。 ,, G,|,,,,根据生成矩阵的构造规则,它左边的单位阵G,|QQII333434 不能变,是为了保留信息位,理论上是任意的,都能保证有Q34 Q34G,H,[|][],,,;,为什么(7,3)码的生成矩阵是QQQI3343434I4 **10011101000100**[0100111](1),而不是[0100001](2)或是别的呢,这**00110000011101** 3 是因为(1)矩阵的平均码重最大。 矩阵(1)的可生成的码序列:(0000000),(1001110),(0100111),(0011101),(1101001),(1010011),(0111010),(1110100)。 矩阵(2)的可生成的码序列:(0000000),(1000100),(0100001),(0011000),(1100101),(1011100),(0111001),(1111101)。 考虑到输出任一码序列的概率相等, 88 则,同理,再看另一种极端情况,,3.5,,3pp,,WwWwii1122iii,i,11 *10011118*(3),此时,可见由(1)矩阵生成的码[0101111],,3p,Wwi33i*i,10011111* 成为码子空间的一员的概率就最小,有效避免了发向量平均码重最大,那么e 生重大错误而未能发觉的情况。 *:10011100*:3 再看,中的列记为,GF(),都是不[01001110]j,1,2...8,2j*:00111010*: 同的3维向量,分别对应于10进制的0-7,共8列,是完备的。 L,4 因为是完备的,所以每一行,中的“0”、“1”数目相等,都是,i,1,2,3,i2 22,8注意到去掉任一行后,剩余的为一矩阵, 中共有4个不同的2维向GF()2 量,而该矩阵有8列,可知每个2维向量重复了两次。例如,去掉第2行后,矩 *:TTTT10011100阵为,其中,2维列向量,,,各出现[*:],,,,,,,,0*: 两次。类似地,当人去掉两行后,矩阵退化为行向量,若把该行向量每一位当成1维列向量,则列向量,各出现4次。 ,,,,01 推广到n列k行的矩阵,删掉其中任一行后,剩下一个n列,k-1行的矩阵,这些列向量由所有k-1维2进制向量构成,但每个重复两次。 类似地,如果删去j(j 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 高等代数》,北京邮电大学出版社,1997 5
本文档为【编码方式中的数学知识.doc】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享,如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服,我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
下载需要: 免费 已有0 人下载
最新资料
资料动态
专题动态
is_963767
暂无简介~
格式:doc
大小:20KB
软件:Word
页数:6
分类:生活休闲
上传时间:2019-01-09
浏览量:8