[最新]§1.5 矩阵的初等变换和初等方阵

[最新]§1.5 矩阵的初等变换和初等方阵 ?1.5 矩阵的初等变换和初等方阵 一 矩阵的初等变换 矩阵的行初等变换来源于解线性方程组时常用到的同解变形。因此， 为了用矩阵法解线性方程组，就需要引入矩阵的行初等变换的概念。一般地，我们给出 定义10 以下变换统称为矩阵的初等变换: rr,cc,ij,ij,ijij1)对调两行(列)(对调两行，记作;对调两列，记作) krk,0k,0k,0iii2)以数乘某一行(列)中的所有元素[以乘第行记作(以乘第 kci列记作)]; k3) 某一行(列)所有元素的倍加到另一行(列)的对应元素上去 rkr，ckc，ijij[对行的这种变换记作(对列的这种变换记作)]。 ABAB设矩阵经过有限次初等变换化成了矩阵，我们称矩阵与矩阵等价，记作AB~。一般地，一个矩阵经过若干次初等变换，所得到的矩阵与原矩阵不再相等，但它 A仍保持着原矩阵的一些重要特性，这就是说，“等价”是矩阵间的一种重要关系。矩阵经 AB,B过初等变换化成矩阵，我们记作. 矩阵的等价关系有以下性质: AA~1) 反身性:; AB~BA~2) 对称性:若，则; BC~AC~AB~3) 传递性:若，，则。 二 初等方阵 E定义11 单位阵经过一次初等变换得到的方阵统称为初等方阵。 初等方阵有下列三种: 1) 对换阵 ij,E例如对调单位阵中第两行，得初等方阵 1,, ,,？,, ,,1 ,,01()？？？,i,, ,,？？1,,Eij(,),？？？,, ,,？？1,, 10()？？？,j,, ,,1,, ,,？ ,,,,1,, 其中未写出的元素均为零。 2)倍乘阵 k,0iE例如以常数乘中第行，得 1,, ,,？,, ,,1 ,,Eik(()),ki,(),, ,,1,,？,, ,,1,, 3) 倍加阵 jkiE例如以数乘中第行加到第行上，得 1,, ,,？,, ,,1()？ki, ,,Ejki((),),？？,, ,,1(),j,,？,, ,,1,, 显然，这些初等方阵也都是可逆的，并且其逆阵也是初等方阵: ,1,1,11EijEij(,)(,),EikEi(())(()),EjkiEjki((),)((),).,,k;; AA 实际验证后可知，用初等方阵左乘或右乘矩阵，分别相当于对作相应的行或列初 rr,cc,EijA(,),AEij,(,)EikA(()),ijijA等变换，即:(或)，相当于对作(或); krkcAEik,(())EjkiA((),),AEjki,((),)iiAA(或)相当于对作(或);(或相当于对rkr，ckc，ijji作(或)。 A 总之，对矩阵作任何一次初等变换，都相当于用相应的一个初等方阵左乘或右乘矩A阵，这就把矩阵的初等变换转化为矩阵的乘法，它对以后我们的研究将带来许多方便。 三 用初等变换法求矩阵的逆阵 由初等变换的定义可得 AE~定理3 任何非奇异方阵经过有限次初等变换可以化为单位阵，即。 A,0AA证 设为非奇异阵，则有，从而由行列式的性质知，中不能有两行(列)对应元素成比例，也不能有某行(列)的元素全为零。由于对矩阵作初等变换相当于用初等方阵左乘或右乘该矩阵，而初等方阵的行列式不等于零，故经初等变换后的方阵仍有上述非 a,011A奇异方阵的性质。不妨设方阵中的(否则，可经对换两行或两列作到这一点)，于 a(1),11是可经另外两种初等变换使之化为1，且使新的方阵中该元素下面与右面的元素全为零。依此类推，可经有限次初等变换把矩阵除主对角线外的元素全化为零，而主对角线上 ain(1,2,,),？ii的元素全为1，即此方阵为单位阵。 PPP,,,？APPP,？12l12lA推论 设为非奇异方阵，则存在有限个初等方阵，使。 AAE~证 由定理3，对任何非奇异方阵，有。再由矩阵等价的对称性，也就有 PPP,,,？12lEA~EA。那么，设把变为的初等变换对应的初等方阵为，即有:PPPPEPPA？？,1211rrrl,，，亦即 APPP,？.12l (1.16) 从这个推论出发，可以得到另一种求逆阵的方法。 ,,,111A,0APPP,？PPP,,,？12ll12当时，由推论有，在此式两边依次左乘以得: ,,,,1111PPPPAE？,.ll,121 (1.17) ,,,,,,111111APPP,？APPPPPPPE,,()？？12llll12121, 另一方面，由于，故得，即 ,,,,,11111PPPPEA？,.lj,121 (1.18) ,1AEEA公式(1.17)和(1.18) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明:同一组初等变换可把变为，把变为。那么，(1.17)(1.18)两式可以合并为 ,,,,,11111PPPPAEEA？？？()(),ll,121。 (1.19) ()AE？nn，2AEE 式(1.19)表明，对矩阵进行初等行变换，当把变为时，就变,1A为。这种用矩阵的初等变换求逆阵的方法，常常比前面介绍的伴随矩阵法要简便一些， 特别是当矩阵的阶数较高时是这样。 1100,, ,,1200,,A,,,,3723 ,,,,,12512A.,,例4 设试用初等行变换求 11001000？11001000？,,,, ,,,,rrrr,,,32？,12000100？,,,,,,,rr,2,,,,4104233010？,37230010？ ,,,,,,,,25120001？03122001？,,,,,解: 10002100？,10002100？,,,,, ,,,,rrrr,,4rr,12,323401001100？,01001100？,,,,,,,,,,rr,3,,,,4200121301？,00231410？, ,,,,,,,,00231410？,00121301？,,,,, 10002100？,10002100？,,,,, ,,,,rr,2(1),，r43401001100？,01001100？,,,,,,,,,,,,,00121301？,00121301？, ,,,,,,,,00011212？,,00011212,,,？,,,, 10002100？,,, ,,rr,23401001100？,,,,,,,,00101123？,, ,,,,00011212？,,,, 2100,,, ,,,1100,1,,？,A.,,,,1123 ,,,,1212,,,, 例19 设 1212,,,,, ,,4121,,B,,,,2541, ,,,,1111,, ,1B是否可逆,若可逆，求其逆阵。 解法1 12111000,,,？12121000,,,？,,,, ,,,,rrrr,,4,22？09694100？,,,,,,,,rr,,,,,4125410010,？09632010？,,,,,,,,,11110001？03231001？,,,,, 12121000,,,？,, ,,1rr,09694100？,423,,,,,,,09632010？, ,,11,,000001？,33,, B其左半部第四行元素已经全为零了，故它显然不可能变成单位阵，从而知此矩阵不 可逆。 解法2 由于12121323,,,,,, cccc,,21,31,,,32341214323,,,B,,,,,cc,,,,,,,3230,4125412323,, 323,11111000 B故不可逆。 021,,123,,,,AB,,,213,,,,,234,,,,,,,,334,,XAB,.X 例20 设 ，求，使 ,1A,,10nn,2AXAB,XBA,解 可由知，可逆。于是，由得到。同时，将矩 ,1()~().ABEAB？？,1()AB？AB,AEB阵经初等行变换把变成的同时，显然把变成即因 ,1,1,,,,,XAB()()AB,,,,XAB,AXB,X由可得，从而，而可用初等行变换求得，故也 可由此解出。具体过程如下: 02312,？13431,？,,,,rr,13,,,,,,()21323AB？？,,,,,,02312？,,,,rr,23,,,,13431,？21323,,？,,,, 3113431,？102？,,,,,122r，rr,22312,,,,31,,,02312？,,,,011？22,,,,37rrrr,，12,32,,,,071145,,,？00114？,,,,, 10024？,,,1rr,132,,,,,,01017,？3,,rr，232,,00114？,,, 24,,, ,,,X,,17,211,,,,,,X,.,,,,,14,474,,,,于是 所以 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.5 1. 写出经过初等列变换得到的三种初等方阵。 2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵; 1111,, ,,325,,,,1111,,,,,,213,,,,131111,,,,,,,,,,,,,,,4011111,,24,,,,,,(1); (2); (3) 。 423,, ,,A,221123,,,,B,,,,,311,,,321,,XAB,.,,X3. 设矩阵，，求矩阵，使 ,1nnA,APP,,4. 设是阶方阵，是阶对角方阵，且，证明: kk,1APP,,.