大学物理刚体力学基础习题思考题[试题]

大学物理刚体力学基础习题思考题[试题] 大学物理刚体力学基础习题思考题 习题5 5-1(如图，一轻绳跨过两个质量为 、半径为 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 和 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为 ，将由两个定滑轮以及质量为 和 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解:受力分析如图，可建立方程: ?? ?? ?? ?? ， ?? 联立，解得: ， 。 5-2(如图所示，一均匀细杆长为 ，质量为 ，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开始时杆以角速度 绕过中心 且垂直与桌面的轴转动，试求:(1)作用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。 解:(1)设杆的线密度为: ，在杆上取一小质元 ，有微元摩擦力: ， 微元摩擦力矩: ， 考虑对称性，有摩擦力矩: ; (2)根据转动定律 ，有: ， ，? 。 或利用: ，考虑到 ， ， 有: 。 5-3(如图所示，一个质量为 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳 子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 、半径为 ,其转动惯量为 ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解:受力分析如图，可建立方程: ?? ?? ， ?? 联立，解得: ， ， 考虑到 ，? ，有: 。 5-4(轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 ，均匀分布在其边缘上，绳子 端有一质量为 的人抓住了绳端，而在绳的另一端 系了一质量为 的重物，如图。已知滑轮对 轴的转动惯量 ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 端重物上升的加速度, 解:选人、滑轮与重物为系统，设 为人相对绳的速度， 为重 物上升的速度，注意到 为匀速， ，系统对轴的角动量为: 而力矩为: ， 根据角动量定理 有: ，? 。 5-5(计算质量为 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解:设球的半径为 ，总重量为 ，体密度 ， 考虑均质球体内一个微元: ， 由定义:考虑微元到轴的距离为 ，有: 。 5-6(一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数 ，当 时弹簧无形变，细棒的质量 ，求在 的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ，才能转动到水平位置, 解:以图示下方的三角桩为轴，从 时， 考虑机械能守恒，那么: 时的机械能为: ， 时的机械能为: 有: 根据几何关系: ，得: 5-7(如图所示，一质量为 、半径为 的圆盘，可绕 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求: (1)盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率; (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解:(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点， 下降过程机械能守恒， 有: ，而 ? (2) ，方向向上。 5-8(如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为 和 的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为 和 (轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为 的小球，以水平速度 与杆下端小球 作对心碰撞，碰后以 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解:根据角动量守恒，有: 有: ? 5-9(一质量均匀分布的圆盘，质量为 ，半径为 ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为 的子弹以水平速度 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求:(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过 的竖直轴的转动惯量为 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解:(1)利用角动量守恒: 得: ; (2)选微分 ，其中:面密度 ， ?由 有: ， 知: 将 代入，即得: 。 5-10(有一质量为 、长为 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和 ，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。 (已知棒绕 点的转动惯量 ) 解:由碰撞时角动量守恒，考虑到 和 方向相反，以逆时针为正向，有: ，得: 又?细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得: ，利用 ，有: ，得: 。 5-11(如图所示，滑轮转动惯量为 ，半径为 ;物体的质量为 ，用一细绳与劲度系数 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求:(1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离;(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解:(1)设弹簧的形变量为 ，下落最大距离为 。 由机械能守恒: ，有: ; (2)当物体下落时，由机械能守恒: ， 考虑到 ，有: ， 欲求速度最大值，将上式两边对 求导，且令 ，有: ，将 代入，有: ， ?当 m时物体速度达最大值，有: ，代入数值可算出: 。 5-12(设电风扇的功率恒定不变为 ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比，比例系数的 ，并已知叶片转子的总转动惯量为 。(1)原来静止的电扇通电后 秒时刻的角速度;(2)电扇稳定转动时的转速为多大,(3)电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度, 解:(1)已知 ，而动力矩 ， 通电时根据转动定律有: 代入两边积分有: ，可求得: ; (2)见上式，当 时，电扇稳定转动时的转速: ; (3)断开电源时，电扇的转速为 ，只有 作用，那么: ，考虑到 ，有: ， 得: 。 5-13(如图所示，物体 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为 ，细绳的一端系住物体 ，另一端缠绕在半径为 的圆柱形转轮 上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 绕其转轴转动。试问:细绳刚绷紧的瞬时，物体 的速度多大,物体 运动后，细绳的张力多大, 解:(1) 在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒: ，其中 ， ， 可算出: ; (2)物体 运动后，由牛顿定律: ， 考虑到 ， 可求出: 。 5-14. 质量为 的小孩站在半径为 、转动惯量为 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度 为多少, 解:此过程角动量守恒: ，有: 。 5-15(以速度 作匀速运动的汽车上，有一质量为 ( 较小)，边长为 的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面 边翻转。试求:(1)汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度;(2)此时，货物箱 边所受的支反力。 解:(1)角动量守恒: ， 根据转动定律 ， ; (2)如图，支反力 ，而: ? 。 【注:如图，对于立方体绕 轴的转动惯量，有: 】 思考题 5-1(一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量 和 的物体 ( < )，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大, 解: (1) (2) (3) (4) 联立方程可得 、 ， 。 5-2(一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 以角速度 按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度 怎样变化, 答:增大 5-3(个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的: (A)机械能守恒，角动量守恒;(B)机械能守恒，角动量不守恒; (C)机械能不守恒，角动量守恒;(D)机械能不守恒，角动量不守 恒。 答:(C) 5-4(在边长为 的六边形顶点上，分别固定有质量都是 的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量:(1)设转轴?、?在质点所在的平面内，如图 所示;(2)设转轴?垂直于质点所在的平面，如图 所示。 答:以?为轴转动惯量 ; 以?为轴转动惯量 ; 以?为轴转动惯量 。 5-5(如图 所示，半径分别是 和 、转动惯量分别是 和 的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为 ，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。 试问这种情况角动量是否守恒,为什么,小圆柱的最终角速度多大, 答:角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由 ，有小圆柱的最终角速度为: 。 5-6(均质细棒的质量为 ，长为 ，开始时处于水平方位，静止于支点 上。一锤子沿竖直方向在 处撞击细棒，给棒的冲量为 。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。 答:撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。