解斜三角形的应用例题讲解

解斜三角形的应用例题讲解 例1(如图07，在四边形ABCD中，AC平分?DAB，?B = 60?，AC = 7，AD = 6， 153，求AB的长度( ,S,ADC2 解:在?ADC中， 1? ， S,AD,ACsin,,ADC2 1153即 ，6，7sin,， ,22 53? sin,( ,14 53sin，BAC,又AC平分?DAB， ? ( 14 在?ABC中，B = 60?，依正弦定理有 BCAC753， ? ( ,BC,,,5sin，BACsinBsin60:14 222依余弦定理，有: AC,BC，AB,2BC,AB,cosB 1222即 7525 ,，AB,，AB，2 2AB,5AB,24 = 0 解得AB = 8，AB=,3((舍去) ? AB的长为8( 说明:余弦定理可看作已知三个量求第四个量的方程( 例2(在?ABC中，已知a,23，b = 6，A = 30?(求B、C和c边以及S( ? abbsinA6sin30:3sinB,,,,解:由正弦定理，得 ， a2sinAsinB23得B = 60? 或B = 120? ( ，，，，C,180:,A，B,180:,30:，60:,90:(1)当B = 60? 时，，则此时三角形为直 a2311c,,,43角三角形，，; S,ab,，23，6,63,1sin30:22 2 ，，，，C,180:,A，B,180:,30:，120:,30:(2)当B = 120? 时，，则此时三角形为 111等腰三角形，，( c,a,23S,absinC,，23，6sin30:,63，,33,222说明:也可先用余弦定理求第三边c( 1003(已知一个等腰三角形的底边长为20，面积是，求各角( 例33 解法一:设在?ABC中，AB = AC，BC = 20(作AD?BC，交BC于D( 1110031003由 ,,,，20，,，解得 ( AD,SBCADAD,2233 AD3又 ，而B为三角形内角，? B = 30? ( tanB,,BD3 ? C = B = 30?，A = 180?,( B + C ) = 180?,60? = 120? ( 解法二:设AB = AC = x ( 111003? ,,,sin,，20,sin,， SABBCBxB,223 1003即 xsinB, ? 3 2 22由余弦定理得 AC= AB+BC,2AB?BC?cosB ( 22 即 x = x+ 400,2?x?20cosB ( 得 x cosB = 10( ? 3???，得 ( ? B = 30? ( tanB,3 ? C = B = 30?，A = 180?,( B + C ) = 180?,60? = 120? ( 说明:等腰三角形的问题往往转化为直角三角形问题来解决，但由于等腰三角形有两腰 相等，所以也可用余弦定理求解( 例4(求周长为l的直角三角形内切圆半径的最大值( 分析:具备两个独立条件(其中至少有一个的条件为已知边)的直角三角形是可解的， 而本例中仅有一个条件，故三角形是变动的(变动的原因是解或边不固定(据此引入变量， 建立r的函数关系式( 解:设两直角边为a、b，斜边为c，一锐角为θ，则由: l = a + b + c = c ( sinθ + cosθ + 1)， l,? ( csin,，cos,，1 ,,sin，cos,1，，a，b,ccsin，ccos,cl,,,r,,而 ，，2sin,，cos,，122 ,，t,1，2令 sin θ + cos θ = t ，则 12,,? ( r,1,,,2t，1,, 3,,,故当时，即 时，( r,,2lt,2,,,,max24,, 说明:利用等面积法或切线长定理，可知直角三角形内切圆半径 aba，b，c， r,,a，b，c2 此结论常在解题中应用( 例5(在?ABC中，已知b = a sinC，c = a sinB，试判断?ABC的形状, 分析:已知条件中有两个既含边又含角的等式，因此将其统一为一边一角的式子，是解 题的关键( 解:应用正弦定理，将已知两个等式化为 2Rb = ac，2Rc = ab，其中2R是?ABC外接圆直径( 22? 2Rab = 2Rac， ? 2Ra ? 0， ? b = c ( 已知的两个等式又可化为 sinB = sinA sinC，sinC = sinA sinB， 2? sinB = sinA sinB ( 2? 0 < B < π ， ? sinB ? 0，得sinA = 1 ( ,? 0 < A < π ， ? sinA = 1，得( A,2 所以 ?ABC为等腰直角三角形( ,例6(在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a + c = 2b，，求 A,C,3 sinB的值( ,2B,,A，C,,B，A,,，,,,,32解:? ? ,,,,BAC,,.,,C,,.3,,32, 又 a + c = 2b，由正弦定理得 2R sinA + 2R sinC = 4R sinB ，即 sinA + sinC = 2sinB ( 2BB,,,,,,sin,，sin,,2sinB? ， ,,,,3232,,,, BBBB,,,,(， 2sin,cos,2sinB3cos,4sincos,,226222,, BB,? 0 < B < π ， ? ， ? ， 0,,cos,0222 313BBB32cos1sin1? ，,,,,, sin,2216424 1339? sinB,2sinB,cos, ( 28 3333a，b,c2例7(在?ABC中，且，试判断?ABC的形状( ,csinAsinB,a，b，c4 333a，b,c2解:? ， ,ca，b，c 333223? ， a，b,c,ac，bc,c 2223322 ，( a + b ) ( a,ab + b ) = c ( a + b )， ?a，b,ac，bc 222? a + b?0，? a,ab + b = c ( 1222由余弦定理 c = a + b,2abcosC，得， cosC,2 ? C = 60?，A + B = 120? ( 3又 ? ， sinAsinB,4 13cosA,B,cosA，B,? , ,,，，，，24 31? ( ，，cosA,B,,,122 ? A,B = 0，即A = B， ? ?ABC为正三角形( 例8(某观测站C在城A的南20?西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40? 东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后， 到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城, 解:根据题意得图02， 其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米， ?CAB=60?( 设?ACD = α ，?CDB = β ( 在?CDB中，由余弦定理得: 2222222120311CD，BD,BC，,， cos,,,,,2221207,CD,BD，， 432( sin1cos,,,,,7 ，， sin,,sin180:,，CAD,，CDA ，， ,sin180:,60:,180:，, 4311353,sin,60:,sincos60:,cossin60:,，，，,( ，，,,,727214 CD21532153在?ACD中，由正弦定理得:( AD,,sin,,,，,15,Asinsin60:14143 2此人还得走15千米到达A城( 说明:运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知 元素，然后解三角形求之( 例9(如图03，三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰三角形，AB = AC = a ，侧棱长均为 2a，问BC为何值时，三棱锥P-ABC的体积V最大，最大值是多少, 分析:因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影O是?ABC的外 心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值( 解:作PO?底面ABC，垂足为O( 由PA = PB = PC = 2a，知O为?ABC的外心( ? AB = AC = a ， ? O落在底面ABC的高AD上( 设?ABC = θ，连结BO， 则BO为?ABC外接圆的半径( a记BO = R，由正弦定理，有 ， R,2sin, 2,116sin,122PO,PB,BO,a 22sin, ? BD = a cosθ，AD = a sin 12( S,BC,AD,asin,cos,,ABC2 2,1116sin,12,,V,,asincos,a 232sin, 1322 ，，，，,a16sin,,11,sin,6 2117225,,3216sin ,a,,,，,,63264,, 51723?当时，( V,asin,,max3216 32此时，( BC,2BD,2acos,,2a1,sin,,a4 1例10(在面积为1的?PMN中，，tanN=,2，建立适当的坐标系，求出以tanM,2 M、N为焦点且过点P的椭圆方程( 分析:如图04，易见椭圆中焦距2c = | MN |，长轴 2a = | PM | + | PN |，故要求椭圆方程，只需解?PMN ( 21cosM,sinM,解:?，， 55 12cosN,,sinN,，( 55 3sinP,sinM，N,sinM,cosN，cosM,sinN,? ( ，，5 11222S|PM||PN|sinP2RsinMsinNsinPR又 ( ,,,,,,,PMN225 122据题意，， R,125 52R,2c,|MN|,2R,sinP,3? ，从而依正弦定理，有 ( 3 ，，2a,|PM|，|PN|,2RsinM，sinN,15 ( 224xy，,1如图建立坐标，可得椭圆方程为( 153 在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时(常用的公式有: A，BC,，，,,sinA，B,sinC(1)在?ABC中，A + B + C = π，，， 222 A，BCA，BC，，cosA，B,,cosCsin,,costan,cot，， ( 2222(2)正余弦定理及其变式: 2 22 如a = 2R sinA ，b+ c,a=2b c cosA ( 射影定理:a = b cosC + c cosB ( (3)三角形面积公式: abc1 (其中，r为三角形内切圆S,PP,aP,bP,c,Pr,，，，，，，P,(a，b，c),4R2 半径)( 22例11(已知?ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，求cosA + cosC的取值范围( 解:由已知得 A + B + C = π，A + C = 2B， 2,,? ， ( B,A，C,33 1cos21cos2，A，C22coscos A，C,，22 1 ，，,1，cos2A，cos2C2 1( ，，，，，，,1，cosA，CcosA,C,1,cosA,C2 222,,,? ，得 ，， 00A，C,,A,,C,333 221,,? ，( ，，,,A,C,,,cosA,C,1332 115? ,1,cosA,C, ( ，，224 15，,22所以 cos，A + cosC的取值范围是( ,,24，, 22例12(在?ABC中，已知 A?B = 1?2，求证 a + a c = b( 证法一:由B = 2A，得 sinB = sin2A，即 sinB = 2 sinA cosA， sinB? ( cosA,2sinA b由正弦定理，;又由余弦定理有: cosA,2a 222bcab，,2 232，即ab+ ac,a,bc = 0 ,2bc2a 222因此，b ( a,c ),a ( a,c ) = 0，即 2，，，，,,a,cb,aa，c,0( 222若 a ? c，有 b,a ( a + c ) = 0，则 a + ac = b ( 若 a = c，则A = C，A?B?C = 1?2?1， 2 2? B = 90º，则此时?ABC为等腰直角三角形，仍有 b= a + ac ( 证法二:由B = 2A，得C = π, ( A + B ) = π,3A ( 由正弦定理，得 222 a，ac,4RsinA，2RsinA,2RsinC 22，，,,,4RsinA，sinA,sin,,3A 2，，,4RsinAsinA，sin3A 2 ,4RsinA,2sin2AcosA 22 ,4Rsin2A 222( ,4RsinB,b 说明:有关三角形中边角关系的证明，要用正余弦定理，转化为边或角关系解决( 例13(已知?O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有 22，，，，2RsinA,sinC,2a,bsinB 成立，求?ABC面积S的最大值( 解:由已知条件得 222，，，，，，2RsinA,sinB,2RsinB2a,b( 222即有 ， a,c,2ab,b 2222a，b,ccos又 C,,22ab ,? ( c,4 1222? S,absinC,ab,,4RsinAsinB244 22,,，，，， ,,RcosA，B,cosA,B2 ，，222,R，cosA,B ( ，，,,22,,，， 2，12S,R所以当A = B时，( max2 说明:三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理(在求值时，要利用三角函数的 有关性质(