第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
练习(P77)
1、略.
2、,. 这两个向量的长度相等,但它们不等.
3、,,,.
4、(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.
习题2.1 A组(P77)
1、(2).
3、与相等的向量有:;与相等的向量有:;
与相等的向量有:.
4、与相等的向量有:;与相等的向量有:;
与相等的向量有:
5、.
6、(1)×;(2)√;(3)√;(4)×.
习题2.1 B组(P78)
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对,与反向的也有6对;与同向的共有3对,与反向的也有6对;模为的向量共有4对;模为2的向量有
2对
2.2平面向量的线性运算
练习(P84)
1、图略.
2、图略.
3、(1);(2).
4、(1);(2);(3);(4).
练习(P87)
1、图略.
2、,,,,.
3、图略.
练习(P90)
1、图略.
2、,.
说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向.
3、(1);(2);(3);(4).
4、(1)共线;(2)共线.
5、(1);(2);(3).
6、图略.
习题2.2 A组(P91)
1、(1)向东走20 km;(2)向东走5 km;(3)向东北走km;
(4)向西南走km;(5)向西北走km;(6)向东南走km.
2、飞机飞行的路程为700 km;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解:如右图所示:表示船速,表示河水
的流速,以、为邻边作□,则
表示船实际航行的速度.
在Rt△ABC中,,,
所以
因为,由计算器得
所以,实际航行的速度是,船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).
5、略
6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、(1)略;(2)当时,
9、(1);(2);(3);(4).
10、,,.
11、如图所示,,,
,.
12、,,,,
,,.
13、
证明
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:在中,分别是的中点,
所以且,
即;
同理,,
所以.
习题2.2 B组(P92)
1、丙地在甲地的北偏东45°方向,距甲地1400 km.
2、不一定相等,可以验证在不共线时它们不相等.
3、证明:因为,而,,
所以.
4、(1)四边形为平行四边形,证略
(2)四边形为梯形.
证明:∵,
∴且
∴四边形为梯形.
(3)四边形为菱形.
证明:∵,
∴且
∴四边形为平行四边形
又
∴四边形为菱形.
5、(1)通过作图可以发现四边形为平行四边形.
证明:因为,
而
所以
所以,即∥.
因此,四边形为平行四边形.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
练习(P100)
1、(1),;(2),;
(3),;(4),.
2、,.
3、(1),;(2),;
(3),;(4),
4、∥. 证明:,,所以.所以∥.
5、(1);(2);(3).
6、或
7、解:设,由点在线段的延长线上,且,得
,
∴∴
∴,所以点的坐标为.
习题2.3 A组(P101)
1、(1);(2);(3).
说明:解题时可设,利用向量坐标的定义解题.
2、
3、解法一:,
而,. 所以点的坐标为.
解法二:设,则,
由可得,,解得点的坐标为.
4、解:,.
,,.
,所以,点的坐标为;
,所以,点的坐标为;
,所以,点的坐标为.
5、由向量共线得,所以,解得.
6、,,,所以与共线.
7、,所以点的坐标为;
,所以点的坐标为;故
习题2.3 B组(P101)
1、,.
当时,,所以;
当时,,所以;
当时,,所以;
当时,,所以.
2、(1)因为,,所以,所以、、三点共线;
(2)因为,,所以,所以、、三点共线;
(3)因为,,所以,所以、、三点共线.
3、证明:假设,则由,得.
所以是共线向量,与已知是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误,. 同理. 综上.
4、(1). (2)对于任意向量,都是唯一确定的,
所以向量的坐标表示的规定合理.
2.4平面向量的数量积
练习(P106)
1、.
2、当时,为钝角三角形;当时,为直角三角形.
3、投影分别为,0,. 图略
练习(P107)
1、,,.
2、,,,.
3、,,,.
习题2.4 A组(P108)
1、,,.
2、与的夹角为120°,.
3、,.
4、证法一:设与的夹角为.
(1)当时,等式显然成立;
(2)当时,与,与的夹角都为,
所以
所以;
(3)当时,与,与的夹角都为,
则
所以;
综上所述,等式成立.
证法二:设,,
那么
所以;
5、(1)直角三角形,为直角.
证明:∵,
∴
∴,为直角,为直角三角形
(2)直角三角形,为直角
证明:∵,
∴
∴,为直角,为直角三角形
(3)直角三角形,为直角
证明:∵,
∴
∴,为直角,为直角三角形
6、.
7、.
,于是可得,
,所以.
8、,.
9、证明:∵,,
∴,
∴为顶点的四边形是矩形.
10、解:设,
则,解得,或.
于是或.
11、解:设与垂直的单位向量,
则,解得或.
于是或.
习题2.4 B组(P108)
1、证法一:
证法二:设,,.
先证
,
由得,即
而,所以
再证
由得,
浙公网安备 33021202002483