两个“调和数列”的极限值及其推广 （李明中国医科大学数学教研室 ...
两个“调和数列”的极限值及其推广
(李明 中国医科大学数学教研室 110001)
(孙世宝 马鞍山市第二中学当涂分校 243100)
1 问题的提出
徐州师范大学数学系的王银祥先生在他的“对一篇文章的错误分析及相关数列的讨论”一文
中提出了两个特殊的无穷数列和，即 {a}{b}nn
1111111a:,，，？，,，，？，,？ n9909199900901999
11111111b:1，，？，,，，？，,，，？，,？ n29101199100101999
为叙述方便，王先生在文章中称和均为“调和数列”，并利用数列极限的单调有界{a}{b}nn
214lima,，b,.但原理和保序性定理巧妙地证明了这两个“调和数列”均有极限，且limnn,,n,,n1119文章没能定量地求出和的确切极限值.事实上,应用定积分这个强有力的数学工具,我们{a}{b}nn
可以轻松地解决这个遗留问题.
2 问题的求解
由定积分的定义和牛顿——莱布尼茨公式可得
111,,a,，，，(1)limlimn,,nnn,,11,,,,nn9109101101,,，,,,
，，111,,,，，，lim nn,,11nn,,11n,,91009101,，,，910101,，,,,，，，，
,,
,,1111 lim,，，，,,n,1n,1n,,01101,10,,99，，9，,,nn,,11n,1101010,,
,,
,,11111110n,1. dxm其中limln10,，，，,,,，，,,,0m,,m011,mx99，,,999，，，mmm,,
111,,b(2)limlim,，，，n,,nnn,,11nn,,,,10101101，,,,
，，111,,lim,，，， nn,,11nn,,11n,,100101，，109101，,,,,，，，，
,,
,,1111lim,，，，,,n,1n,1n,,101119101,,910,,,，，，,,nn,,11n,199109910,,9910,,,
,,
,,111111n,1. dxM其中limln10910,，，，,,,,，，,,,0M,,M1011111,M,,x，，，，MMM9999,,
1
3 问题的推广
和容易推广到更一般的形式，本文称这个更一显然，上文研究的两个“调和数列”{a}{b}nn般的形式为“广义调和数列”，并给出其定义如下:
,定义 设和是定义域和值域均为的单调增函数，且，则我们称f(n)g(n)1,f(n),g(n)N
111c通项的无穷数列为“广义调和数列”. {c},，，？，nnf(n)f(n)1g(n)，
n,1n，，，而根据这个定义，我们发现:对于“调和数列”{a}f(n),9,10g(n),10,1n
g(n)10n,1limln,ln恰好就是的极限值;对于“调和数列”，，{a}{b}f(n),10nnn,,f(n)9
gn()n，而恰好就是的极限值.于是，笔者对“广义调和数列”g(n),10,1{b}{c}limln,ln10nnn,,fn()
的极限值提出如下两个命题，并予以证实:
()gnlimln命题1:若(为正值常数)，则; ,climc,ccnn,,,,n()fn
g(n)limln命题2:若，则. ,，,limc,，,nn,,n,,f(n)
n11证明:由于(,为欧拉常数)，于是， ,，，nO,ln(),in,1ifn()gn()1111和. ,，，fnO,,，，gnO,ln()()ln()(),,ifnign()(),,i1i1gngnfn()()()1111()111gn,,,，,，，,cOO()ln()(),,,niiifnfnfnfngn()()()()(),,,ifnii()11于是， ?
gn()11,，,ln()()OOfnfngn()()()
由“广义调和数列”的定义易知:和. lim()fn,，,lim()gn,，,n,,n,,
gn()于是，对?式两边取极限得:.于是命题(1)和(2)成立. ,limlimlncn,,,,nnfn()
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