大学论文浅谈数学中的各种变换

浅谈数学中的各种变换  摘  要 本文主要针对数学中的各种变换，以积分为切口，不定积分为例，围绕积分运算里应用到的各种变换手段，总结常见解法，解法证明过程，适用范围，共计3种.“第一换元法”，“第二换元法”，“部分换元法”,还有简单叙述定积分的解法。 关键词：不定积分，定积分，换元积分法，复合函数 Abstract Mainly summarizes the theory of indefinite integrals that the proof of the common methods, and each method and scope of application, how to apple ,a total of three kinds, including the first conversion element method,  the second conversion element ,part of zhe conyersion element method, there is a brief description of the definite integral solution. Keywords: indefinite integral, definite integrals,change of integration,composite function . 目  录 长春师范大学本科毕业论文（ 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ）作者承诺保证书    I 摘  要    II Abstract    III 1  引言    1 1.1  本课题的来源及研究意义    1 1.1.1  本课题的来源    1 1.1.2  课题的研究意义    1 1.2  积分的概述    1 2 不定积分的换元法积分    2 2.1 第一换元法积分    2 2.1.1 证明方法依据-复合函数求导    2 2.1.2 证明过程    2 2.1.3 例    2 2.1.4 适用范围    2 2.2 第二换元法积分    3 2.2.1 证明方法依据－复合函数求导    3 2.2.2 证明方法    3 2.2.3 例    4 2.2.4 适用范围    5 2.3 部分换元法积分    5 2.3.1 证明方法依据－极值的充分条件定理    5 2.3.2 证明方法    6 2.3.3 例    7 2.3.4 适用范围    9 3 定积分的换元积分    10 2.5.1 定积分与不定积分的计算区别    10 2.5.2 例    11 2.5.4 适用范围    11 参考文献    14 1  引言 1.1  本课题的来源及研究意义 1.1.1  本课题的来源 本课题——学校命题 1.1.2  课题的研究意义 数学中各种变换非常多，这里主要提到积分中的变换。因为积分是大学高等数学里面重要计算基础工具，也能很好为理论数学概念作入门解释，同时是微分法的逆运算，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出他的导函数，那么与它相反的问题:由一个函数求一个未知函数，未知函数函数必须是一个函数的求导结果。在生活中，自然科学，经济发展，航天研究，军事武器，都离不开积分的应用。积分的计算用的知识面多、题型数量庞大、方法灵活注重技巧、一直是研究高等数学时的一大阻拦。特别是在计算某些特殊类型的积分，用初等数学的方法难于下手，因此，所以我们可利用高等数学中换元积分的变换思想来解决，尤其是在计算某些特殊类型积分时，换元使积分的计算过程大大简化。选取积分计算的换元积分，代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 高等数学中的各种变换存在是无可厚非和重要性的。 1.2 积分的概述 积分有悠久的发展史，古代就有了积分的思想，但作为一个学科，是波恩哈德·黎曼给出 学定义。波恩哈德·黎曼的定义引入极限的概念，例如设想曲边梯形系列矩形组合的极限。随后在十九世纪起，因为科技发展，物理学等各种发展需要，积分的实用性和生活性被大家广泛发现，使得积分开始推广，往更精细更严格的领域发展，有了对各种类型的函数的积分。 2 不定积分的换元积分 2.1 用复合函数求导法验证第一换元法 2.1.1 第一换元法 定理：设函数 在区间 上有定义， 在区间 上可导，且 ． 如果不定积分 在 上可存在，则不定积分 在 同样存在，且 .                    (1) 2.1.2 证明方法： 证明： 2.1.3 例 例1  分析：可令 ,则得 解 ： 例2  分析： ，被积函数分子分母乘以 。 解 ：                 2.1.4 注意问题 第一换元积分法经常在教学中称为凑方法，主要它使运算更简便，清晰，化繁为简，主旨在于寻找合适的，原积分的含有变量的函数，转变为新的变量。比如：① 中，可以 ，然后原式变为： 　② 中，可以令 ，然后原式变为： 。特别求导表达式 在转换中的变化需要另外求出。比如：① ；② ；③ 。我们平常多注意这些变换和演算练习，不定积分的第一换元就不会感到复杂和无从下手。 关于使用范围和限制条件，不管被积函数是不是某一函数的求导运算结果，都可使用第一换元积分法。 2.2 用复合函数求导法验证第二换元法 2.2.1 第二换元法 定理：设函数 在区间 内有定义， 在区间 上可导，且 ． 如果 在 上存在反函数 ， ,且不定积分 在 上也存在，则当不定积分 = 在 上存在时，在 上有 =                       （2） 2.2.2 证明方法 设 = .对于任何 ,有 = 所以存在常数 ，使得 对于任何 成立，从而 对于任何 成立。因此，对于任何 ，有 = 即 为 的原函数，（2）式成立。 2.2.3 例 例3  分析：第二换元积分法最关键是恰当的选择变换函数，要求 其单调性可导 ，且其反函数 存在。 解 1： 解 2： ， 2.2.4 适用范围 第二换元积分法刚刚与第一换元法相反：“化简为繁”。过程是选取一个合适变量，配成适当函数，代替被选变量。假定， 为选定变量，令 ， 是配成函数作为新变量存在。因为难以配成适当方便下一步计算的函数，这个的变化比第一积分法复杂。比如求 ，可以令 ，， 究竟是哪个更好呢。所以在这里总结一些常见和方便使用的变换，为大家在探究不定积分利用变换计算时提供便捷。 1 根式代换法：求 ，可以令 2 倒代换法：求 ，可以令 3 三角代换法：求 ，可以令 4 指数代换法：求 ，可以令 因为第二换元积分法是构建新函数作为变换量，变换量的定义域，在某区间内导数是否存在，这些都有变换，所以第二换元的应用严格些。必须被积函数是某函数求导的结果，即 存在，定理成立。否则不然。如果有人难以确定 ，可以换另外一种看法：若 ，且 ，则当不定积分 在 上存在时，不定积分 在 上也存在，且有 ＝ 2.3 由乘积积分法导出分部积分法 2.3.1 分部积分法 定理：若 与 可导，不定积分 存在，则 也存在，并且有 =               （3）  2.3.2 证明方法 证明      由： 或            对上边两式求不定积分，就可得到（3）式。 2.3.3 例 例4  求 解 ：设， ，由公式则有