两个不等式的三角证法及其推广

两个不等式的三角证法及其推广 卢 剑 春 )( 812100 湟源县一中 , 青海 ( ) 中图分类号 :O122 . 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 200311 - 0035 - 02 3 3 33 在一些刊物上 , 常讨论下述不等式 : 设 a > 1 , b 3 3 βbγc3 3 cos 3 3 cos . 同理 ? ? , ? ? ?32 32 2 2 2 α β cosc- 1 cosa- 1 > 1 , c > 1 , 则 3 3 3 3 3 3 3 9 abcαabc3 3 cos ( )3 ? 1 + + . 于 是 ? + + 2 2 2 2 2 2 3 22 b- 1 c- 1 a- 1 γb- 1 c- 1 a- 1 cos 5 5 5 333 abc25 β γ α coscoscos9 3 ( )+ + ? 15 2 + + α ? , 当 且 仅 当 sec= 2 2 2 333 6 b- 1 c- 1 a- 1 αβ γ2 coscoscos 本文就这两个不等式给出统一的三角证法 , 并 βγsec= sec= 3 时 , 即 a = b = c = 3 时 , 等号成立 , 给以推广 . ( ) 故 1式成立 . 5 55 αβasec 1 cos 首先给出下面引理 . = = ? , 由 引 理 2 2235 b - 1 sec β- 1 sin β ?cos β cos απ θ, k 是正整数 , 则 引理 若 ? 0 , 2 知 2 k - 1 5 ( )2 k - 1 22 k - 118 a 22θθ. sin?cos?2 ( ) ββ引理中 k = 2. 故 ? sincos? 2 k + 12 ( ) 2 k + 1 b- 1 25 15 5 5 55 2 k + 1 βγbc25 15 cos 25 15 cos θsec= 当且仅当 时 , 等号成立 . . 同 理 ? ? , ?52 52 2 k - 1 18 18 α β cos c- 1 cosa- 1 证 由均值不等式得 : 5 5 5 5 αabc25 15 cos 2? ? . 于 是 ? + + 2 2 2 5( ) 2 k - 1sin θ2218 γb- 1 c- 1 a- 1 cos () ( θ θ)= + 2 k - 1 sin+ cos 2 555 β γ αcoscoscos 25 15 25 15 2 + +? . 当 且 仅 ( ) θ522 k - 1sin 5 2 2 2 18 αβ 6 γcos cos cos ( θθθ2 k + ?+ cos + cos + ?+ cos 2 ( ) 2 k - 1项 15 15 αβγ 当 sec= sec= sec= 时 , 即 a = b = c = 2 k + 1 2 3 3 ( )2 k - 1 22 k - 12 ) ( θθ) 1? sinc?os, 即 ( ) 时 , 等号成立 , 故 2式成立 . 4 2k +1 ( ) ( ) 2 2 不等式 1, 2的推广 . () 2k - 122k - 12 () ()(θθ)2k - 1?2k +1? sinc?os,整理得 : 推广 1 设 a > 1 , b > 1 , c > 1 , k 是正整数 ,4 2 k - 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k + 1 ( )( )2 k - 1 a b c 32 k + 1 22 k - 1 θθ . , 当 且 仅 当 则 + + ? sinc?os?2 2 2 2 2 k - 12 k + 12 ( ) ( ) b- 1 c- 1 a- 1 2 k - 1 2 k - 1 2 ( ) θ2 k - 1sin 2 k + 1 2 k + 1 2 θθ= cos 时 , 即 sec= a = b = c = 当且仅当 时 , 等号时等号成立 . 2 2 k - 1 2 k - 1 ( ) 推广 2 x > 1 i = 1 , 2 , ?, n , k 是正整数 , 设 i 成立 . 引理得证 . ( ) ( ) 1 用引理及均值不等式证明不等式 1, 2. n > 2 , 则 2 k + 1 2 k + 1 2 k + 1 x x x 12nn αβ由 a > 1 , b > 1 , c > 1 可设 a = sec, b = sec, c + + ? + ? 2 2 2 2 x - 1 x - 1 x - 1 3 2 3 1 3 π αa sec γβγ α= sec, 其中 ,,? 0 , , 则= 2 22 k + 12 βb- 1 sec- 1 ( ) 2 k + 1 .2 k - 1 3 ( ) 2 k - 1 β1 co s = ? , 由引理知 : 23ββ αsin?coscos + 1 2 k 3 时 等 号当且仅当 x = x = ? = x = i 2 n 2 a 22 k - 1 ββ ( ) ? sin?cos? 引 理 中 k = 1 . 故2 b- 1 3 3 成立 . 高考函数命题的变化与专题复习的新观念 刘 祥 民 ( )祁东县教研室 , 湖南 421600 ( ) 中图分类号 :O12 - 44 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 200311 - 0036 - 03 随着新一轮课程改革的不断向前推进 , 高考数 , 特别关 几年高考函数命题在对基础知识的考查中 学命题已从理论和实践上发生了深刻的变化 . 作为 注知识形成过程的考查 . ( ) ( ) 例 1 1999 年全国卷理 3 题若函数 y = f x 的 实践新一轮高考改革的高三教师来说 , 必须济身于 高考数学命题改革的前沿 , 捕捉高考命题的微妙变 ( ) ( ) ( ) 反函数是 y = g x , f a= b , ab ?0 , 则 g b等于 ( ) 化 , 并整合到自己的复习实践中去 , 才能引领学生稳 - 1 - 1 () () ( ) () ABCDa . a . b. b . 操高考数学的胜券 , 促进中学数学教学的良性循环 . 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 本题以反函数定义的过程为背景来 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 为此 , 笔者以近几年高考函数 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 为例 , 结合《考试 试题 , 主要考查学生阅读 、转换 、表达数学符号语言 说明》和新课程的教学理念 , 分析出高考函数命题的 的能力及逻辑思维的能力 . 考生只要掌握了反函数 变化特点 , 并由此得出新一轮高考函数专题复习的 新观念 . 定义的过程 , 并获得了函数与其反函数对应法则间 1 函数命题的变化特点分析 ( ) 的互逆关系 , 由函数 y = f x 及在对应法则 f 的作 1 . 1 对函数基础知识的考查由重结果向重形成过 - 1 ( ) 用下 a ?b 等价于其反函数 y = f x 在对应法则 程转移 - 1 高考对函数基础知识的考查为什么要由重结果 () f 作用下 b ?a , 于是选 A. ( ) 例 2 2002 年上海高 考 理 12 题已 知 函 数 y = 向重形成过程转移 ? 主是基于两方面的原因 : 其一 - 1 ( ) ( ) () 分析 本题是以函数与其反函数及其图象关系 f x 定义域为 D , 值域为 A 有反函数 y = f x, 是新一轮高考数学命题的原则所决定的 , 从 1998 年 探索的过程为背景来设计试题的 , 考生只有参与了 ( ) ( ) ( ) 则方程 f x = 0 有根 x = a , 且 f x > x x ?D 的 开始 , 高考数学命题已从知识立意转向能力立意 , 并 函数与其反函数及其图象关系的探索过程 , 并获得 充要条件是 . 且力度不断加大 , 而能力是在知识形成的过程中发 了相应的转换技能 , 才会有如下的正确解法 : 展起来的 ; 其 二 是 课 改 的 性 质 所 决 定 的 , 今 年 有 10 ( ) ( ) ( 将方程 f x = 0 有解 x = a , 且 f x > x x ? 省市进入课改后的高考 , 明年将有 90 %以上的省市 ) ( ) D等价转换为函数 y = f x 的图象在直线 y = x 上 进入课改后的高考 , 运用新课程教学的重要理念之 2 k + 12 k + 12 k + 1 下面给出推广 1 的证明 , 推广 2 可仿推广 1 证 ( ) γ2 k + 1 1 cosc( ) ( ) ? ? 方且过点 a , 0, 再依据函数 y = f ,x 与其反函数 2 k - 12 k + 1 2 明 , 留给读者自己完成 . 2 ( ) β2 k - 1 cosa- 1 一是 要 求 学 生 主 动 地 参 与 数 学 活 动 , 通 过 观 察 、类 α证 由 a > 1 , b > 1 , c > 1 可 设 a = sec, b = 2 k + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k + 1 1 ()αabc2k + 1cos ? . 故 + +比 、实验 、抽象 、概括 、推理等发现对象的特征与其它 ? π2 k - 1 2 k + 12 2 2 2 γ ()βγβγα2k - 1ssec, c = sec, 其中 ,,? 0 , , 则 co b- 1 c- 1 a- 1 2 2 k + 1k + 12 k + 1 2 k + 1 对象的联系与区别 , 并从中获得一些经验 . 因此 , 近 2 k + 1 2 k + 12 k + 1 βγα() 1 coscos2 cos2k + 1 αβasec1 cos+ + ? = = , 2 k + 12 k + 12 k + 1? 2 k - 1 2 222 k - 12 k + 1 2 ()α β γ2k - 1 coscoscos βββb- 1 sec- 1 sin?cosαcos 2 k + 1由引理知 : ( ) 3 2 k + 1 α β γ . 当 且 仅 当 sec= sec= sec=2 k - 1 2 k - 1 2 k + 1 2 ( ) 2 k - 1 ( )2 k - 1 a 22 k - 1ββ . 故 ? sin?cos?2 2 k + 1 2 ( ) 2 k + 1b- 1 2 k + 1 2 k + 1 时 , 即 a = b = c = 时 , 等号成立 . 2 k + 12 k + 1 2 k + 12 k - 1 2 k - 1 ( ) β1 2 k + 1 bcos . 同 理 ? ?2 k - 12 2 k + 12 ( ) 2 k - 1 αc- 1 cos 收稿日期 :2003 - 01 - 06 ( ) 作者简介 :刘祥民 1956 - , 男 , 湖南祁东人 , 湖南祁东县教研室特级教师 .