高等代数
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2008-2009学年第一学期 试题名称:高等代数 课程号, 共 2 页 第 1 页 专业
年级
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应数与信息2008级 学号_________ 姓名___________考试日期,考生填写，_ _ 年____月 __日 分数 _________ 一. 判断题(每题2分，共12分).
1. 有理数域是最小的数域. ( )
k,k,？,kk,，k,？，k,,02(若存在常数，使得， 12m1122mm
,,,,？,,则向量组必定线性相关。 ( ) 12m
n3(设均为级矩阵，若不可逆，则也不可逆。 ( ) A,BAAB
4(两个可逆矩阵的和仍为可逆矩阵 ( ) 5(实对称矩阵 是负定矩阵的充要条件是正定矩阵的。 ( ) A,A
6(任一非零的多项式一定能分解成两个次数较低的多项式的乘积。 ( ) 二、选择题 (每题3分，共15分 )
**n1(设级方阵的伴随矩阵为，且，则( ) AA,A,a,0A
1n,1naaa(A) (B) (C) (D) a
,,,,,,,,,,2(设向量组线性无关，向量组线性相关，则( ) 123234
,,,,,,,,,,(A)能由线性表示 (B)能由线性表示 2342314
,,,,(C) 未必能由线性表示 (D)以上都不对 234
,,,,,,3(已知是方程组的两个不同解，是其导出组的基础解系，则AX,0AX,B1212
的一般解是( ) AX,B
,,,,，,1212()()(A) (B) k，k，，k，k,，,,,,,,112121121222
,,,,,,1212()()(C) (D) k，k，，k，k,，,,,,,,112121121222
m，n4(设是矩阵，的导出组是，则下列结论正确的是( ) AX,0AAX,B
(A)若仅有零解，则有唯一解; AX,0AX,B
(B)若有非零解，则有无穷多解; AX,0AX,B
(C)若有无穷多解，则仅有零解; AX,0AX,B
(D)若有无穷多解，则有非零解; AX,0AX,B
123,,,,Q,24t，为三级非零矩阵，且满足，则 5(已知PQ,0P,,
,,369,,
(A) 时，秩 (B) 时，秩 (P),1(P),2t,6t,6
(C) 时，秩 (D) 时，秩 (P),1(P),2t,6t,6
1111
abcd三、(10分)计算行列式.D, 2222abcd
4444abcd
432fxxxxx()61274,,，,,四、(10分) 将表成的方幂. x,1
(f(x),g(x)),1五、(10分).设， i,j,1,2ij
证明:(f(x)g(x),f(x)g(x)),(f(x),f(x))(g(x),g(x)). 11221212
ax，x，x,a,3,123,ax，ax，x,,2六、(10分)设线性方程组，讨论的值，使(1)方程组有唯一解;(2),123
,x，x，ax,,2123,
方程组无解;(3)方程组有无穷多组解，并求其一般解。
,,,,,,(1,2,3,4),,,(2,3,1,1),,,(1,6,4,2),,,(2,,1,0,3)七、(13分)求向量组的秩及其一1234个极大无关组，并用它们表示其余向量。
八、(10分) 设n级方阵，满足，,. ABABAB
220,,,,A,213(1) 证明是可逆矩阵。(2)已知,求矩阵. A,EB,,
,,010,,
222f(x,x,x),x，2x，3x，2xx,2xx，2txx九(10分)已知二次型. 123123121323
(1) 为何值时,f是正定的. t
(2)取=1,试用非退化线性替换化二次型为
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
形,并写出所用的线性替换. t
命题教师或命 院系负责 授课教师 题负责人 人 年 月 日 签 字 签 字 注,请命题人标明每道考题的考分值。
中国海洋大学 2008-2009学年 第1学期 期末考试
数学科学 学院 《高等代数》试题(A卷)答案 一、 1.?2(× 3(?4(× 5(? 6(×
二、1.C 2(B 3(B 4(D 5(C
三、解:
1111
abcdD,= (b,a)(c,a)(d,a)(c,b)(d,b)(d,c)(a，b，c，d)2222abcd
4444abcd
43243fxxxxx()61274,,，,,(x,1),2(x,1)，3(x,1),4四、=.
(f(x),f(x))(g(x),g(x))五、证明:因 f(x)g(x),f(x)g(x)12121122
(f(x),f(x))(g(x),g(x))f(x)g(x),f(x)g(x)故为的公因式。设为k(x)12121122
f(x)g(x),f(x)g(x)k(x),k(x)k(x)的任一公因式，可令使。kf(x),k(x)g(x)1122121121
(f(x),g(x)),1(k(x),g(x)),1由，可得。又，故k(x)k(x)f(x)g(x)12121222
。同理，那么，，进k(x)f(x)k(x)g(x)k(x)(f(x),f(x))k(x)(g(x),g(x))1222112212而
. k(x)(f(x),f(x))(g(x),g(x))1212
a11a,300,(a,1)(a，2)3(a,1),,,,,,,,1a1,2,0a,1a,10六、解: ,,,,
,,,,11a,211a,2,,,,(1)且，方程组有唯一解;(2)时，方程组无解;(3)时，a,1a,,2a,,2a,1
,1,12x,,,,,,,,1,,,,,,,,,1，0,0xkk方程组有无穷多组解，。 ,,,,,,,,212
,,,,,,,,010x3,,,,,,,,
12121001,,,,,,,,236,10101,,,,(,,,),,,,,,七、解:， 1234,,,,3140001,1,,,,,,,,41230000,,,,(,,,,,,,),,,,,,,,，,,,秩=，一个极大无关组， 312341234123八、(1) 证明:(A,E)(B,E),E，所以 是可逆矩阵 A,E
326226,,,,,,,,,,,1()213209,,,,,,,BAEAA (2). ,,,,
,,,,214213,,,,,,,,
,1,2,t,,1，2时，二次型是正定的。 九解:(1) 当f
x1,13y,,,,,,11,,,,,,222f(x,x,x),y，y,2yx,01,2y(2) 非退化线性替换 ， ,,,,,,22123123
,,,,,,x001y33,,,,,,
浙公网安备 33021202002483