微积分之幂级数

注意：对于级数 ，当 收敛时， 绝对收敛. 例 证 绝对收敛：令 ，则 收敛 收敛 故 原级数绝对收敛. §7.5  幂级数 教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数. 重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和. 教学方法：启发式讲授 教学过程： 一、函数项级数的概念 1．【定义】设 是定义在区间 上的函数,则  称为定义在区间 上的(函数项)无穷级数. 2．收敛域 (1) 收敛点 —— 常数项级数 收敛； (2) 发散点 ——常数项级数 发散； (3) 收敛域 —— 函数项级数 的所有收敛点形成的集合 ； (4) 发散域 —— 的发散点的全体构成的集合 . 3．和函数 —— , . 若函数项级数 在收敛域内每一点都对应于 的一个函数值， 则称 为函数项级数 的和函数. 4．余项 —— , , . 注: ①只有在收敛域 上, 才有意义； ② ,  . 二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1．【定义】形如 的函数项级数称为 的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 为常数，称为幂级数的系 数.当 时, 称为 的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中 常数 （ ）称为幂级数的系数. 结论：对于级数 ，作代换 可以将一般幂级数化 为标准幂级数 ，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法. 的收敛域：此级数的全体收敛点的集合. 显然: (收敛域)，即幂级数总在 点处收敛. 例如: , 均为幂级数. 显然: 的收敛域 ,其发散域 . 且和函数 .此结论可当公式使用. 2.级数的收敛域 把级数 的各项取绝对值得正项级数 ， 记 ，则 ；于是由比值判别法知 （1）若 ，即 ， 绝对收敛. (2) 若 ，即 ， 发散. (3) 若 ，即 ，比值法失效， 敛散另行判定. （4）若 ，即 ，此时对任意 ， 收敛. 上述分析显示级数 在一个以原点为中心，从 到 的区间内 绝对收敛，区间 称为幂级数的收敛区间， 为收敛半径. 若级数 仅在点 收敛，则规定 ，级数的收敛域为 例如 级数 由于 ， ∴ 级数收敛域为 或 ；独点集. 若 对任意 都收敛，则 ，级数的收敛域为 . 当 时，要讨论级数在 处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一： 3.【阿贝尔定理】（补充）设 的收敛域为 ，则 （1）若 且 , 则对 , 收敛且绝对收敛. (2) 若 , 则 对 ,有 即级数 发散. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 : (1) 收敛， 由 收 的常数） ,因 , 从而 收敛, 正项级数 收敛 收敛 即对 , 收敛且绝对收敛. (2) ,假若有 满足 收敛 矛盾. 所以 ,有 发散，即 . 注意:(1) 若 , 则 (收敛域), ； (2) 若 , 则 (发散域). 4.【定理7.13】若幂级数 系数满足条件 或 （ 为常数或 ），则 (1) 当 时, 则 ； (2) 当 时, 则 . （3）当 时, 则 . 常用公式: ， . 例如: 幂级数 的收敛半径 , 时，级数发散，故其敛区 与敛域均为 . 例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 解 (1) 级数的通项为 . (2) 当 时, 级数为 收敛； 当 时, 级数为 发散. 故收敛区间（敛区）是 ，收敛域为 （敛域）. 例2（1） 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 解: , 故  收敛区间和收敛域均是 . （2） 求幂级数 的收敛半径. 解: . 练习：求幂级数 的收敛半径与收敛域. 提示： ，又 时级数发散.收敛域 . 例3 （1）求幂级数 的收敛半径与收敛域.（缺项级数） 提示： 当 时级数收敛；当 时级数发散. 当 时，原级数是 ，收敛的交错级数. 所以 收敛半径 ，收敛区间 ，收敛域 . 注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径. （2）求幂级数 的收敛域. 解： 由 时级数收敛，由由 时级数发散. 得  当 时， 收敛，当 时， 收敛， 所以  收敛域为  . 例4求幂级数 的收敛半径与收敛域. （中心不在原点的级数） 解 令 ,幂级数变形为 , 时级数绝对收敛， 时级数发散， ，当 时原级数为 收敛， 当 时， 发散，故 原级数收敛半径 ，收敛域为 . 注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换. 提问：（1）(02.3) 设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ,则幂级数 的收敛半径为（A） (A) 5          (B)             (C)           (D) 答案 , （2） (90.5) 求级数 的收敛域. 解 令 ，级数 ,由 知 , 因此当 即 时级数收敛. 当 时,原级数为 收敛,当 时,原级数为 收敛. 所以收敛域为 . （3） (92.3) 级数 的收敛域为 . 答 令 对于 ,由 , 于是收敛半径 ,则 ,即 内收敛. 当 和 时,原级数都为 发散,所以收敛域为 . 三、幂级数以及和函数的运算性质 1.设 的收敛半径分别为 1）加减法: , . 其中: . 2）乘法: , . 其中: , , . 3）除法: , . 其中: 待定, 而 由系列表达式 , 确定. 此处, , 但 . 2.幂级数 的和函数 在其收敛区间 内是连续. 3.幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可积，且 有逐项积分公式 , . (积分前后的收敛半径不变). 例: ,  .逐项积分时在 处无 意义. 4.幂级数 的和函数 在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 , . 说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变. 公式  收敛域为 例5  求幂级数 的和函数 ,并求 . 解：(1) .当 时, 级数为 收 敛；当 时, 级数为 发散. 故原级数收敛域是 . (2) 当 时, 有 . 于是 , 由于 且幂级数在其收敛域上连续, 取 代入和函数可得  . （2）求幂级数 的和函数 ， 并求级数 及级数 的和. 解 1） ，所以 . 当 时， 发散，当 时， 发散. 所以 级数敛域为 . 2）设 ，则 为所求和函数. 3）令 ，则有 ，所以 . 4）令 ，则有 ，所以 . 练习：（1）求幂级数 的和函数 ： (2) (99.3) . 因为 , 令 ，则有 ,所以答案为4. 例6 (00.6) 设 求 的和. 解  由 , 得 ,令 , 则其收敛半径 ,在 内 , 于是  , 令 ,则 , 从而  . 例7 (03.9) 求幂级数 的和函数 及其极值. 解  依题意 上式两边从0到 积分,得 , 由 得 .令 ,求得唯一驻 点 ,由于 可见 在 处取得极大值,且极大值为 . 例8(05.9) 求幂级数 在区间 内的和函数 . 解  设 , 则 , 由于 因此      又由于 所以  故 练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数: (1) 解 该级数为 ,由 ,知当 时幂级数绝对收敛. 当 时,幂级数 收敛;当 时,幂级数 收敛, 所以原幂级数的收敛域为 . 设 ,则当 时有 , 所以  . (2) 解 该幂级数为 ,由 , 知当 时幂级数绝对收敛. 当 时,幂级数 发散;当 时,幂级数 发散, 所以原幂级数的收敛区间为 . 设 ,则当 时,有 . 小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别. 2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后 的收敛区间不变. 3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取 的特值代入和函数即得所求. 4．对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级 数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间. 课后记：存在问题： 1.对缺项幂级数以及通项为 的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多. 2.求幂级数的和函数，不知从何下手.不能灵活运用幂级数的性质以及四 个常用公式灵活变形找 的表达式. 3.不能灵活运用和函数求常数项级数的和.