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浅谈正项级数收敛性的几种判定方法摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，正项级数的收敛性更是级数理论的核心问题。正项级数收敛性的判别方法很多，但是用起来需要有一定的技巧。本论文从四个方面（1）、比较原则；（2）、达朗贝尔判别法，或称为比式判别法；（3）、柯西判别法，或称为根式判别法；（4）、积分判别法归纳了正项级数收敛性。关键词：正项级数、收敛、判别法、判断引言关于正项级数收敛性的问题，本文首先分析题目的要求，然后再来选择最合适的判别方法来判断正项级数的收敛性。下面用（1）比较原则，（2）比式判别法，（3）根式判别法，（4）积分判别法四种判别方法对正项级数的收敛性进行判别。（1）比较原则比较原则是一种常用的极限形式，也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性。比较原则：设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切 > 都有（i）若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散。推论设，（1）（）是两个正项级数，若，（3）则（ⅰ）当时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散；（ⅱ）当且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛；（ⅲ）当且级数（2）发散时，级数（1）也发散。例1、考察的收敛性。解由于当时，有 = 因为正项级数收敛，通过比较原则可得级数也收敛。以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。现在继续用比较原则来判断一个正项级数的发散性。例2、判定正项级数的敛散性。解：因为而级数 = … +…是去掉首项的调和级数，因而是发散的，根据比较收敛法知所给级数发散。例3、判定正项级数 = 的敛散性。解：正项级数 = 是发散的，因为的根据推论以及调和级数发散，所以级数也发散。比较判别法是一种有用的判别法，在使用时必须先要对所考虑的级数的敛散性有一个大致的估计，然后找一个敛散性已知的合适级数与之相比较。但就绝大多数情况而言，这两个步骤具有相当的难度，甚至根本无法做到。看来，理想的判别方法还是应该着眼于对级数自身元素的分析，下面我们介绍几种这样的判别法。（2）达朗贝尔判别法，或称为比式判别法比式判别法也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。通过正项级数的后项与前项的比值来判断收敛性。比式判别法适合与有公因式且存在或等于无穷大的情形。设为正项级数，且存在某正整数及常数。（i）若对一切，成立不等式则级数收敛。（ii）若对一切，成立不等式则级数发散。推论（比式判别法的极限形式）设为正项级数，且，则（ⅰ）当时，级数收敛；（ⅱ）当或时，级数发散；（注）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。例1、判定级数的敛散性。解由于于是有由比式收敛法知，所给级数收敛。例2、用比式判别法判断正项级数的敛散性。解：因为 = 根据推论，正项级数发散。例3、判定正项级数的敛散性。解因为 = = 根据推论，正项级数发散。（3）柯西判别法，或称根式判别法柯西判别法也是一种判断正项级数敛散性的方法，较之于达朗贝尔判别法，它用起来更有效。柯西判别法适合中含有表达式的次幂，且或等于的情形。设是正项级数（i）如果存在自然数N和一个常数r (0,1 )使得 a时，该级数发散；当b

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