间断系数的二阶椭圆型方程解的正则性

间断系数的二阶椭圆型方程解的正则性 数 学 物 理 学 报 Ξ 间断系数的二阶椭圆型方程解的正则性 兴梅 ( )复旦大学数学研究所 上海 200433 摘要: 该文研究的问题源自于生物学与物理学中具有间断介电系数的静电场Ζ 作者以拟微分算 子为主要工具讨论具间断系数的半线性二阶椭圆型方程解的存在性和正则性Ζ 关键词: 正则性; 拟微分算子; 间断系数Ζ() 主题分类: 3505; 3560; 3505 2000中图分类号: 175. 23; 175. 25 文献标识码: M R R J SO O A () 文章编号: 100323998 2005052685209 引言1 1 1923 年, 和已给出带电溶液中球型带电微粒的自由电能Λ 并由高斯定D eb ye H ück e l 理和散度法则得出电势所满足的的微分方程Λ 2模型如下图所示ΖBo ltzm an n D eb yeH ück e l 在原始模型中, 区域中介电系数为 , 而区域 中包含介电系数为的溶液, 设其8 1 Ε1 8 3 Ε3 中 含有自由电荷Ζ 为区域 周围一隔离层, 在 中无自由电荷, 但 = ?Ζ 且三个区8 2 8 1 8 2 Ε2 Ε3 Ε1 域 内电荷体密度函数分别为 () Θ1 = Θ1 x in 8 Θ= 0 in 8 , ()2 2 1. 1 1 , () Θ= - 2C sin h k u in 8 3 3 然而, 该理论可拓广至更复杂的带电微粒中, 如蛋白质中Ζ 1 1 ) ( ( ) , 有 上述问题的弱解形式为: ? ?0 0 u H 8, Π ΥH 8 (() ) ()Εx A u A Υ- 2ΠΘΥdx = 1. 2 8? () () 其中 如 1. 1式定义的电荷体密度函数Ζ 在分部意义下, 1. 2式等价于下面的边值问题: Θ0. 1ϖ ϖ ( ) 记 8 = 8?8?8 3 , u ?H 满足 1 2 8 0 2ΠΘ8 , in - Ε?u =1 1 , 1 () in 8 , - 1. 3 Ε2 ?u =2 2ΠΘ- Ε?u = in 8 ,3 3 ,2 5u 5u ()Ε| = Ε| # , 1. 4 in 1 1 2 1 2ΠΘ5n 5n ,2 ,3 5u 5u ()Ε = Ε # , ||in 1. 5 2 2 3 2 n 55n ,3 5u ( ) 这里 | i = 1, 2, 3理解为各自的迹Ζi 5n ( ) 讨论一般情况, 8 为若干子区域8i i= 1, 2, ?, l的并, 其边界58 i 均光滑Ζ 依赖于电势u ? ϖ1 () () 的电荷密度函数为, ?×Ζ 从而, 介电系数间断的静电势方程的弱解形式等f x u C 8i R 1 ( ) 价于: 求 ?0 使得 u H 8 1 ()(() () ) ()1. 6 Εx A u A Υ- f x , u Υdx = 0, Π Υ? H 8 .0 8? () 其中 > 0 在每个子区域 中均为常数Ζ 对于这种一般情况, 有如下定理 Εx 8 i n q 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ?, > , 且 , A 为 1. 6 式一弱解, ? 定 理 设 ? f x u x L 8 q f x u 0 u H 82 ? ϖ1 0, 1 ϖ? ϖ() () () ( ) ×Ζ则 ?且 ?= 1, ?, ΖC 8i R u C 8u C 8i il 假设 ? () ) )( Θ1 = Θ1 x ?C 1 1 H ? ϖ () (() ) = H 2 Θ82 ;Θ2 x ?C 2 ϖ ( 4 8;Χ- 1 ? ϖ () ( ) ( ) ( ) ( ) 在 中, = - | | , 0 ? ?, 1 ? <2 ? < 6 H 3 8 3 Θ3 Θx u u Θx C 83 Χn n - 2 ? ϖ ) () () () ( 或 = - , > 0, > 0, = 2, 其中 0??3 ΖΘ3 C Θx sin h k u k C n Θx C 8 在上述假设下有 ( ) ( () () 则 1. 6式存在一 ) 定 理 设 = 1, 2, 3为光滑有界区域Ζ 若 - 满足,B 8 i i H 1 H 3 1 0, 1 ? ϖϖ ()(() ) 弱解, 且 ?, ?, = 1, 2, 3Ζ 0 8 u C 8 u C 8 i iH () ( ()() ) 事实上, 当 = = 1, 2, 3时, 线性问题 1. 4、1. 5解的存在性已解决, 证明见Θi Θi x i 文2 ? ? ? ϖ() ( () ( ( ) ) ) Ζ 本文将在第三章中讨论该线性问题解 在边界上的正则性Ζ 实际上, 解 ?,3 Ζ 又由椭圆型方程解的正则性理论知, 当u Θ i ?C 8 i i= 1, 2, 3时, u ?C u8 i C i= 81,i 2,= 1, 2, 3Ζ从而广义解即为分片经典解Ζ在第四章中, 将应用22定理来讨论一 iD eG io rg iM o se r 般的间断系数的半线性二阶椭圆型方程解的正则性Ζ 在第五章中, 作为应用, 将解决两个半 线性问题解的存在性和正则性Ζ 2 先验估计 n () 本章在区域= × 0, 1 上进行讨论Ζ 为方便, 引入索伯列夫空间(, 并定义模 ) 8 R H k , s8 为 k 2 2 j k - j + s 2 n () ‖u ‖(= ‖D +y u y ‖().) k , sL R ? j = 0 1 2 2 ( ) () 1+ | Ν| , 为非负整数, 且?Ζ 易见 这里, 为一拟微分算子 - , 其象征为k sR + I ? Ρ + 2 k 2 = s n () ( ) () (与通常意义下的索伯列夫空间 一致Ζ 另外, 我们以| | 记‖‖() , ) s H k , 08 H 8 u u y H R Π ? 0, 1 Ζ y 现在, 看下面的边值问题 5u n () ) () (K , x , D = H u = f , x , y × 0, 1, +y x u ? R 5y ()2. 1 n() u | = g o r u | = g , x ? R .y = 0 0 y = 1 1 ? 1 n () ( () ) 其中 K y , x , Ν?C 0, 1 ,.S R 下面的引理引自文献 3 Ζ 为方便读者, 这里给出证明Ζ () 引理2. 1?0 - 1 , Π ?, 0 , 1 为二正常数Ζ 则对任意 ?(1, s) 假设|| R eΡK C ΝC ΝR C C u H ( s) ?0成立 2 2 2 2 2 1 1 () () | u + ‖u ‖ () ? C [ ‖H u ‖() + ‖u ‖ () + | u , Π s ? 0. 1 s+ 1, ss 0, s0, 00 s+ ||2 2 证 2s+ 1 2s+ 1 2s+ 1 2 n ) ) () ((2R e + u , H u L (R ) = 2R e + u , 5y u + 2R e + u , K u 2s+ 1 2s+ 1 2s+ 1 2s+ 1 () () () () = + u , 5u + 5u , + u + + u , K u + K u , + u y y 1 1 s+ s+ 3 2s+ 1 2s+ 1 2 2 () () () 5y + u , + u +K + u , u + + K u , u = 1 2s+ 1 2 s+ 3) ) ( )+ K + u , u + ru , u .2s+ 1 2 ( (= 5| + u | + K y 0 ? i 3 ( ) () () 此处以及后面的 均满足 ?0, 1 , Ζ 由假设 + = 2?2 - ||ri ri C O P S Ρ K K R eΡK C 0 Ν φ 2, 应用 不等式, 可得C 1 Gard in g 1 2 2 2 2s+ 1 s+ 2 ) () () ( 2R e + u , H u ? 5| + u | + C | u y | - C |′ u y | .y 0 s+ 1 0这里以及后面的, 均 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不依于′ 和 而变化的常数Ζ C C u y 1 2 2 2 s+ 2s+ 1 2 () () ) ( () ()C 5y + u y 0 +|| u y s+ 1 ? 2CR e + u , H u -|| 2. 2 C | u y | 0.() 将 2. 2式在0, 1 上关于 积分y 2 2 2 2 2 1 1() () ()‖u ‖ () + | u ? C [ ‖H u ‖ () + ‖u ‖() + | u . 2. 3 0, s+ 11 s+ 0, s0, 00 s+ ||2 2 由 2 2 2 () ()‖u ‖() = ‖D u ‖ () + ‖u ‖\ - 0, s + 1, 2. 4 1, sy 0, s 可得 2 2 2 2 2 2 1 1() () C ‖H u ‖ () + C ‖u ‖() + () () 0, s0, 0| u 1| s+ + ‖u ‖ 1, s? ‖D y u ‖ 0, s+| u 0| s+ .2 2 ()2. 5 () 由 1. 1式可知 2 2 2 2 ‖D u ‖ () = K u ‖ () ? C [ ‖H u ‖ () + ‖u ‖(. ) H u - ‖y 0, s0, s0, s0, s+ 1 () 再由 1. 3式可得 2 2 2 2 1 () ‖D u ‖ () ? C [′ ‖H u ‖ () + ‖u ‖ () + | u . y 0, s0, s0, 00| s+ 2 从而 2 2 2 2 2 1 1 () () ξ | u 1| + ‖u ‖ () ? C [ ‖H u ‖ () + ‖u ‖ () + | u 0| . s+ 1, ss 0, s0, 0s+ 2 2 + 定理 2. 1 如果引理 2. 1 的假设成立, 则Π t?Z , s?0 2 2 2 2 2 1 1 () () ( ) ( ) () | u 1| t+ s-+ ‖u ‖ t, s? C ts [ ‖H u ‖ t- 1, s+ ‖u ‖ 0, 0+ | u 0| t+ s-, 2 2 () 对一切 ?( ) 都成立Ζ u H t, s8 证 对 用归纳法, 当 = 1 时, 命题即为引理 2. 1Ζ 现假设下面的不等式对于某个?1t tm 成立 2 2 2 2 2 1 1 () () ()u ‖ () ? C [ ‖H u ‖() + ‖u ‖ () + ‖ 2. 6 m , sm - 1, s0, 0 u 0m + s-||| u 1|m + s-+ , 2 2 以 替代 , 得+ u u 2 2 2 2 2 1 1 () + () , ‖+u ‖() ? C [ ‖H + u ‖ () + ‖+ u ‖ () + + u + u | | m , sm - 1, s0, 01| t+ s-0|m + s-2 2 而 2 2 2 ‖H + u ‖() ? C [ ‖H u ‖ () + ‖u ‖() , m - 1, sm , sm , s 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 () () u + ‖+u ‖() ? C [ ‖H u ‖ () + ‖u ‖ () + ‖u ‖() + u . ||1|m + s+ m , sm , sm , s0, 10|m + s+ 2 2 ()2. 7 注意到 m + 1 2 2 2 2 sm + 1 m + s+ 1- j j 2 2() 2. 8 ‖u ‖ (= ) ‖D y +u ‖L =‖+ u ‖(, s) + ‖D y + u ‖L m + 1, sm ? j = 0 及 2 2 m + 1 sm s2 2 ‖D y + u ‖L = ‖D y r D y + u ‖L 2 ? ‖D u ‖() y m , s2 2 ? ‖K u ‖() + ‖H u ‖() m , sm , s2 2 ()C ‖u ‖ () , 2. 9 ? ‖H u ‖ () + m , s+ 1m , s ()()()() 由 2. 6、2. 7、2. 8、2. 9式, 可得 2 2 2 2 2 1 1 () () ‖u ‖ () ? C [ ‖H u ‖ () + ‖u ‖ () + m + 1, sm , s0, 0| u 1|m + s+ +| u 0|m + s+ .2 2 ξ 从而定理得证Ζ ? 1 ( ) ( ) 如果 ?0, 1 , , - ? - , Π ?, , 为二正||推论 2. 1K C O P S R eΡK C 0 ΝC 1 ΝR C 0 C 1 + 数, 则Π ?, ?0tZ s 2 2 2 2 2 1 1 () () ()( ) ( ) () 2. 10 u 0 t+ s-+ ‖u ‖ t, s? C ts [ ‖H u ‖ t- 1, s+ ‖u ‖ 0, 0+ u 1 t+ s-. ||||2 2 对一切 ?( t, s) 都成立Ζ u H () () 由上面的讨论, 可知当 ?| | - , > 0时, 的正则性依赖于 和R eΡ K C 0 ΝC 1 C 0 C 1 u H u () () (() ) 0; 当- ? - , > 0时, 的正则性依赖于和 1Ζ||u R eΡK C 0 ΝC 1 C 0 C 1 u H u u 3 间断系数的线性泊松方程解的正则性 ϖ ? ϖ() () 本章考察线性情形Ζ 为方便, 假设 = ?, = ?, = 1, 2Ζ 线性问题8 81 8 2 Θi Θi x C 8i i 解Ζ 这里讨论该线性问题解在边界 = 上的正则性Ζ 本章中, 我们总的存在性见文献2 # 1 58 1 1 ( ) 假设 ?在散度及迹的意义下满足以下的方程和边界条件Ζ u H 8 0 Ε?u = - 2ΠΘ8 , in 1 1 ()3. 1 , 1 in 8 ,2 ? ?Ε?ϖu = - 2ΠΘϖ 2 ( ) ( ) 其中, 光滑, ??# 1 Θ1 C 8, Θ2 C 1 82 . 且有 ,2 u = 0, in 58 , ()3. 2 5u Ε= Ε# , in 1 2 1 5n 5n 5u , 由 = 光 滑, 对 任 意 ? , 当 其 邻 域 充 分 小 时, 存 在 一 光 滑 的 微 分 同 胚 :58 1 # 1 x 0 # 1 7 () ()?0. 使得|x 0 B 1 N 0 () # ? x ? { y 8 ? x |? {| y | ??i, j = 1 i= 1 () 3. 1′ n- 1 n ζ ζ ζ ζ ζi j i () )(L u= 5u+ a , x u+b5u=0. Θy <2 y y y 5i j i 2 ??i, j = 1 i= 1 ? n- 1 ) ( 乘以一个截断函数 ?, -在一个小区域< 上, , < u ΓC c R 1, 1 supp ΓB V B 1 Γ ζ ζ= 1 , 1Ζ 仍记 为 则Γu uζ 1 n- 1 ) ()() (1, 1 , 3. 5 ux , y ? H R × - 不失一般性, 我们仍可假设 ζ ζ 5u 5u ((()) ) Εx ,+ 0- Εx ,- 0= 0. 3. 6 1 2 5y 5y 2 n- 1 ζ() ( ) 此时, 原问题仍写为 3. 1的形′式, 且 Θ?L R × -1, 1 Ζ 于是, 可得下定理 1 s s 3. 1( ) 定理( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 为问题 3. 1 设? 3. 2 的解, ?, ?, ?0Ζ 0 u H 8Θ1 x H 8 1 Θ2 x H 8 2 s 3 s+ 2 s+ 2 () ( () ) 则 ?= 1, 2且 ?Ζ u H 8 i iu H # 1 n- 1 i j () () 证记, , = - , Ζ 则 A y x D x ?a y x 5i j i, j = 1 n- 1 i j ? 2 n- 1 () () ( () ) ΡA = a y , x ΝΝ? C -1, 1 , S R , i j ? i, j = 1 () 从而 3. 1中的第一个方程化为′ n ζ ζζ ζ ζ i () L u=u- A y , x , D u+b5iu= Θ1.5y y x ?i= 1 现将分解为如下形式L + - ζ ζζ ζ () ) (() ) () () ( A A y , x , D u= Θ- ry , x , D 5u- ry , x , D u. y , x , D x 5y -5y -x 1 0 x y 1 x 其中 n- 1 ij ? () () Ρ, x , Νa ΝΝ, 当 | Ν| ? 1 A y = ?i j ? i, j = 1 n- 1 n- 1 ζ ζ ( ) (( ) ( ) (( ) 且 , , ?() × 0, 1 , , , ?() × 0, 1 < ()r0 y x D x 5y uH 0, 0R r1 y x D x uH 1, - 1R H 0, 0n- 1 (() × 0, 1 ΖR n- 1 + - ζ () ) ( ) ) (( ) ( (( , , - , , ?() × 0, 1 Ζ 令 = -于 是, 5y - y x D x 5y y x D x uH 0, 0R w 5y A A - + ζζζζ() ) (() )() () , , , 则 - , , = - , , - , , = Ζ 由第二A y x D x u5y A y x D x w Θ1 r0 y x D x 5y ur1 y x D x uf 章中讨论及 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的磨光技术, 可知 2 2 2 2 2 1 1() () ‖w ‖() + |w 0| ? C ‖f ‖() + C ‖w ‖ () + C |w 1| . 1, 00, 00, 02 2 1 n- 1 n- 1 2 () (() ) () ()又1= 0, 从而 ?() × 0, 1且0?. 即w w H 1, 0R w H R 1 - ζn- 1 2 ( ()() ) () 3. 7 A 5y -y , x , D u| ? H R .x y = 0 当 < 0 时, 令 1 = - > 0Ζ 按照如 > 0 时的做法, 可得 y y y y 1 ζn- 1 - 2 (() ) () - y , x , D u ? H R ,|5y A 1 x y = 0 1 1 1 - ζn- 1 2 (() () ) () 3. 8 即 - 5y -A y , x , D u | ? H R ,x y = 0 () () × 3. 7+ × 3. 8, 若令 = 0, 可得 Ε1 Ε2 y 1 ζ - - n- 2 () (() - ΕA - ΕA ux , 0? H R 12 3 1 - ζ n- 1 ).2 () () () 当 1 + 2 ?0 时, 由0, , x 是一阶拟微分算子, 可得, 0?Ζ又由磨光技巧ΕΕA x D ux HR ζ2 n- 1 ζ2 n- 1 ( () ) ( () ) 及定理 1. 1 可得 ?0, 1×, ?- 1, 0×ΖuH R uH R s ϖζ() () 重复上面做法, 可得 ?, = 1, 2, ?0 时Θx H 8i is 3 ζ s+ n- 1 ζ s+ 2 n - 1 2 (() ( () ) ) ux , 0? H R , u? H 0, 1× R ,ζ s+ 2 n- 1 ( () ) u ? H - 1, 0× R , Π s ? 0. 3 s+ 2 s+ 2 () ( () ξ ) 再拉回到 即得 ?= 1, 2, ?Π ?0. 定理得证Ζ 8 i u H 8 i iu H # 1 s 4 半线性问题解的正则性 在文章最初提到的蛋白质问题中, 3 依赖于 , 是一半线性问题Ζ 本章中我们就讨论一 Θu 般的间断系数半线性二阶椭圆型方程解的正则性Ζ l n ϖϖ( ) ( ) 假设区域 = ?< , ?= Ø ?, 边界 = = 1, ?, 光滑, 中电荷密88i R 8 i 8 j ij 58 i # i il8 i= 11 1 ϖ() ( ) ( ) ( ) 度函数为 , ?\ + ? ×Ζ 设 ?为方程 1. 6 的解 f x u C 8i R u H 0 8 1 ()(() () ) Π Υ? H 0, Εx A u A Υ-f x , u Υdx = 0 8 .8? n q 1 ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 式的一个弱解, 且 , ?, > , , 定理假设 ?为 1. 6 0 f x u x L 8 q f x u A u H 8 2 ? 1 0, 1 ? ϖϖϖ() () () ( ) ?×??= 1, ?, C 8i R Ζ 则 u C 8且 u C 8i ilΖ n q Αϖ(() ) () () 证由f x , u x ?L 8 , q> 以及D e2G io rg i2M o se r 定理, 可得u ?C 8对某个Α 2? 1 ϖ ?() 0, 1Ζ 又因为, () () , ?×, 所以f x u C 8i R 2 2 (() ) (() ) (() ) ‖D f , u () = ‖f , u , u u ‖() x x x ‖L 8 x x x + f u x x 5x L 8 i i 2 2 (() ) (() ) ? C ‖f x , u x ‖() + C ‖f x , u x 5u ‖()x L 8 u x L 8 i i 2 2 (() ) (() ) () () ? C ‖f x x , u x ‖L 8 + C f u x , u x ? ‖5x u ‖L 8 ||i i 2 1 3 (() ) ( ) (() ) ( ) ( ) 从而 , , ?? D x f x u x ?L 8 i , f x u x ?H 8 i Ζ 由定理 3. 1, 可得 u H 8 i 且 u 5 2 () H 58 i Ζ注意到 2 2 2 2 2 (() ) () ‖D f x , u x ‖() = ‖f + f D u + f D \ - x u + f D u + f D u ‖() ,x L 8 x x x ux uxuu x ux L 8 i i ? 1 ? ϖϖ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 因为, , ?×, ?, 于 是 由 不 等 式, 可 得 , ?f x u C 8i R u L 8N iren b e rg f x u x 7 2 4 s 2 () () () () Ζ又由定理 3. 1, 可得?且?Ζ 由此依次下去可得, ?且 H 8 i u H 8 i u H 58 i u H 8 i u 1 ? 0, 1 s- ϖϖ2 () () ( ) () ξ , Π ?3Ζ 即 ?= 1, ?, Ζ 所以, ?Ζ?58 i su C 8i ilu C 8H 5 应用 3 ϖϖ ?Ζ ?本章将应用第四章得到的结论解决两个半线性问题解的正则性Ζ 假设 =8i u 8i= 1 1 () 满足 H 0 8 () - Ε1 ?u =ΠΘ1 x , 在 8 1 内,2 ()() - Ε?u =5. 1 2ΠΘx , 在 8 内,2 2 2 (() ) Ε?u = 2ΠΘx , u x , 在 8 - 3 3 3 ? 其中 , 光滑, ?, = 1, 2Ζ 且 内,# 1 # 2 Θi C i 5u 5u ()5. 2 在 # 上, 0, Ε -Ε =||1 1 1 2 2 5n 5n 5u 5u ()5. 3 在 # 上, 0, Ε -Ε =2 ||2 2 3 3 n 55n 5u 5u ( ) 其中, = 1, 2分别为 在 两侧法向导数在 上的迹Ζ | | + 1 iu # i # i i i 5n 5n 问题l|I 假设 Χ- 1 ()() () (5. 4 Θx , u = - Θx u | u | Χ? 3 ? 1 ϖ p ) 1,() ( ) ( ) ( ) 其中0?Θx ?C 8Ζ由u ?H 83 0 及索伯列夫嵌入定理, 可知若= 1, 2, ?, Π n Θ3 L 8 3 p3 n 223 2 n- 2 Χ () () () ?1Ζ 若 > 2, 则 ?= , ?Ζ n u L 8 L 8 Θ3 L 8 3 3 () () () 注意到, 当 + 1?2时, 满足条件 5. 2-5. 4的方程 5. 1是泛函 Χ 2 () 1 Θx Χ+ 1 () () () () | u | dx - 2ΠΘx u dx - 2ΠΘx u dx ,E u = Εx | A u | dx + 2Π1 2 + Χ8? 8? 8 ? 2 8? 13 1 2 1 ( ) ( ) 在上的 2方程Ζ 由 ?0 和不等式以及 , 不等式知H 0 8 E u le rL ag ran ge Θ x C au ch y Po in ca ré 有 2 2 1 1 () () E u ?Εx | A u | dx - C ? C ‖u ‖) - C .(1 H 8 18 ? 4 1 1 () () ( ) ( ) 所以 是强制的Ζ 在上是弱下半连续的Ζ 事实上, 假设 ?, _ E u E u H 8 um H 8 um u0 0 1 p 3 ( ) ( ) ?Ζ 则由嵌入定理知, ??, 若 ?3 则< 2; 若 = 2, 则为任意正数Ζ 即 H 8 um u L 8 n p n p 0 3 当 ?3, + 1< 2时; 或 = 2, + 1< + ?时, 成立 n Χn Χ ()Θ x Χ+ 1 Χ+ 1 ()( ) Θ) (| u | - u dx m - u dx - 1m || x u8? 8? Χ+ 13 1 ) )(() (u dx ? 0 当 m ? ?. - Θx u-2 m 8 ? 2 1 1 3 ( ) 又由模的弱下半连续性, 易得 的弱下半连续性Ζ 因此, 中存在 的极小元 Ζ H E 0 8 E u H 3 () 并且 即为 1. 6式一个弱解Ζu 问题? () 实际上, 在蛋白质问题中, 条件 5. 4被下面的条件所取代 () () () () ()ΘΘinh u > 5. 5 0, k > 0, 且 n = 2 3 u = - C x sk , Θx ? 0, C 为讨论该半线性问题解的存在性, 我们需要介绍M o se r T ru d in ge r 不等式Ζ ) (引理 5. 1 不等式M o se r T ru d in ge r n - 1 1, n () 1 n- 1() () (设为一紧黎曼流形Ζ若?, 则 ?‖‖] 和[ ||是一M n ΥH M n exp Υexp ΑΥΥH Α 1, n 个 ) 不依于 的充分小实数均可积Ζ 且存在常数, 都满和 使得对一切 ?ΥC Λ ΧΥH 足 Υn 2 2 ? C exp [ Λ‖A Υ‖+ Χ‖Υ‖edVL L M? n n] 1Υ1 且Υ?e?L 为紧映射H Ζ1 u q ( ) 假设问 题 的 解 ?0 , 由 引 理 5. 1 可 知 当 = 2 时, ?, Π ? 1Ζ 因 此, ? u H 8 n eL q q () ?, Π ?1Ζco sh k u L q () () () () 注意到, 满足条件 5. 25. 3和 5. 5的方程 5. 1是泛函 2 1 C () () () () E u =Εx | A u | dx + 2ΠΘx co sh k u dx8 ? 2 8? k 3 () () - 2ΠΘx u dx - 2ΠΘx u dx1 2 8? 8? 1 2 1 ( ) ( ) 在上的 2方程Ζ 则由 ?0 和不等式以及 不等式, H 0 8 E u le rL ag ran ge Θ x C au ch y Po in ca ré 得 2 2 1 1 () () E u ?Εx | A u | dx - C ? C ‖u ‖() - C ,1 H 8 1 8 ? 4 1 () (() ) 所以, 是强制的Ζ 假设 当??时, _ 在中Ζ 又由不等式, E u n u n u H 8 M o se r T ru d in ge r Υ1 1 1() () (() ) ?为紧映射Ζ 因此, 当 ??时, ?在中Ζ 进 ?可知ΥeL n co sh k u n co sh k u L 8 H () 而 是弱下半连续的Ζ E u 3 3 1 3 ()() 于是存在 ? () 使得 =u H 8 Ζ 并且 是问题 一个弱解Ζ?0 E u in f E u u 1 () u ?H 8 0 由上述讨论可得 1 ( ) () () () () 引理 5. 2 对于满足条件 - 的 , , 问题 1. 6存在弱解 ?0 Ζ H 1 H 3 f x u u H 8 于是由定 理可得A 1 ( () () () ( ) ) 定理 设 = 1, 2, 3为光滑有界区域Ζ 若 - 满足, 则 1. 6存在一 B 8 i iH 1 H 3 H 0 80, 1 ϖ() 弱解, 且 ?u C 8 ? ϖ () u ? C 8 ,i = 1, 2, 3Ζ i 1 ( ) ( ) 证 由引理 5. 2 可得 1. 6式存在一 0 弱解Ζ 由索伯列夫嵌入定理可知, 当 = 2 H 8 n q ( ) ) 时, 问题l|I 中的 ?, Π ? 1, ?Ζ 另一方面, 在问题 中, 当 = 2 时, 由 ?Θ3 L 8 3 q n M o se rq () () ) 不等式, 可得 ?, Π ? 1, ?Ζ 于是, 定理可用于这两种情形,T ru d in ge r sin h k u L 8 3 qA 0, 1 ϖ? ϖ() () 得到 ??= 1, 2, 3Ζu C 8且 u C 8i , i3 2 ( ) () 已 知在问题l|I 中, 当 > 2 时, 有 ?Ζ 由已知条件 : 2 < < 6 时, 1 ?< n u L 8 H 3 n Χ 4 n q 0, 1 ? ϖϖ () () () () , 可得 Θ3 x , u ?L 8 3 , q> Ζ 再由定理A 即得u ?C 8且 u ?C 8i , i= 1, 2, 3Ζn - 2 2 ξ 参 考 文 献 1 D ebye P , H ück e l E. Zu r th eo re de r e lek t ro ly te. P h y sik Z, 1923, 24: 185 , , . 2. 2 L i T a t ianT an Yo ng jiP eng Yue junM a th em a t ica l m o de l and m e tho d fo r spo n taneo u s po ten t ia l w e lllo gg ing , 1994, 5: 123- 139E u rop ean J A pp l M a th . . : , 1981M ich ae l ET ay lo r P seudo d iffe ren t ia l O p e ra to r sP r ince to nP r ince to n U n ive r sity P re ss 3 β 24 . . : , 1976L a r H orm ande rL inea r P a r t ia l D iffe ren t ia l O p e ra to r sB e r linSp r inge rV e r lag , . . : , 20005 L in F angh uaH an Q ingE llip t ic P a r t ia l D iffe ren t ia l E qua t io n sN ew Yo rkP ro v idence R I . . : 2, 1998T h ie r ry A ub inSom e N o n linea r P ro b lem s in R iem ann ian Geom e t ryB e r linSp r inge rV e r lag 6 . . : 2, 20007 M ich ae l S t ruw eV a r ia t io na l M e tho d sN ew Yo rkSp r inge rV e r lag Regula r ity of So lut ion s to Secon d O rder E ll ip t ic Equa t ion s w ith D iscon t in uous Coef f ic ien ts X in g M e i ( ), , 200433I nstitu te of M a th em a ticsF u d an U n iv ersity S h ang h a i A bstra c t: T h e m a th em a t ica l p ro b lem d iscu ssed in th e p ap e r is de r ived f rom th e e lec t r ic f ie ld . w ith d isco n t in uo u s d ie lec t r ic co n stan t s a r isin g in b io lo gy an d p h y sic sT h e au tho r w ill 2stu dy th e ex isten ce an d regu la r ity o f so lu t io n s to sem ilin ea r seco n d o rde r e llip t ic equ a t io n s . w ith d isco n t in uo u s co eff ic ien t sT h e p seu do d iffe ren t ia l op e ra to r is a b a sic too l in th e .p re sen t p ap e r : ; ; .Key word sR egu la r ityP seu do d iffe ren t ia l op e ra to rD isco n t in uo u s co eff ic ien t s () 2000: 3505; 3560; 3505M R Subjec t C la ss if ica t ionR J S