平面向量教案

平面向量教案 第一节:向量的概念及运算 {复习目标} 1( 理解向量的意义和向量模的概念; 2( 掌握相等的向量、零向量、平行向量、单位向量等概念; 3( 掌握向量的加减运算及实数与向量的乘积的意义及运算法则。 [知识梳理]: 1( 向量的有关概念: 向量与标量:既有方向，又有大小的量叫做向量 ABa向量的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示:以点A为起点，点B为终点的向量记做 ，也可以记做 ABABAB向量的模: 向量的大小，即向量的长度，叫做向量的模，记作() |AB||AB|,0 相等向量:模(长度)相等且方向相同的向量叫做相等向量 ,a负向量:与a长度相等，方向相反的向量叫做a的负向量，记做 0零向量:始点与终点重合的向量称为零向量，记做， 零向量的方向不确定;零向量的负向量仍是零的向量。 单位向量:模为1的向量叫做单位向量， aaa对于任何一个给定的非零向量，与同方向的单位向量记做，则 a,a00|a|2( 向量的加减法: OAOAOBOCOB平行四边形法则:把以，为邻边地平行四边形OACB的对角线叫做和 OA，OB,OC两个向量的和，记做， OA,OB,BA三角形法则:，(减数的终点指向被减数的终点) 运算律:交换律、结合律 向量和与差的模的不等式: 3(实数与向量的乘积: kaa对任意，表示一个向量，叫做实数k与向量的积，且 k,R kaakaa? ?当k>0, 与的方向相同，当k<0, 与的方向相反， |ka|,|k|,|a| ka当k,0时，为零向量，向量的数乘运算满足交换律，结合律。 4(两个向量共线定理 ,,,,bb向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= ,a,,a 1 [例题选析] 1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a,b,则a,b(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 ,,,,,,(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则; a,bb,ca,c ,,,,,,(7)若，，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则 a//bb//ca//cAB,CD,BC,DA 2.已知向量,=3, =1,求-, (答案:同向2,2反向2,4) OAOB//OAOBOAOBOAOB, 03.已知平面内有三个非零向量OA,OB,,它们两两夹角都是120,且== OCOAOBOC 求证: OA+OB+= OC0 3.在平行四边形ABCD中,E,F依次是对角线AC上的两个三等分点,设ABADDFBEa=,=b, 试用a与b表示和. 0OAOB4.已知=a,=b,且=6, AOB=60 求:(1) , ab,ab，ab,， ab,(2)求abaa+与的夹角, 与的夹角 (用解三角形的方法处理) 0063(答案: ,6;30,60) ABaBCbACc225.已知正方形的边长为1, =,=,=,求abc，， (答案:) 2 备用与练习: 1. 下列四个等式中正确的个数为______个 ? ? 0,AB,0 ? AB,AC,BC AB，BA,0 20,AB,0 ? ? a,a,|a| 2.若，则a的单位向量是_____ a,12i,5j ABAD3. 在四边形ABCD中,如果=+,则四边形ABCD的形状为_____________ AC 34. 如果=1,=, =2,则=_____________ abab,ab， ==,则+与的夹角为__________ 5.两个非零向量abaabab, PAPBAB6.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足++=， PC, 下列结论正确的是:( ) (A)P在ABC内部 (B)P在ABC外部 ,,(C)P在AB边所在的直线上 (D)P是AC边的一个三等分点 , GA，GB，GC,07(已知G是?ABC的重心，求证: 8(如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C， 线段BC上有一点M满足BC=3BM, 线段CD上有一点N满足CD,3CN, 设 OA,a,OB,b,试用a,b表示OM,ON,MN 11111，，，，解:？BM,BC,BA,？BM,BA,OA,OB,a,b 36666 15142？OM,OB，BM,a，b . ？CN,CD,？ON,CD,OD 66333 11222，，，， ？ON,OD,OA，OB,a，b？MN,ON,OM,a,b33326 3 第二节:平面向量的坐标表示及分解定理 {复习目标} 1( 掌握位置向量的概念，掌握向量加减运算和实数与向量的乘积的坐标表示法; 2( 理解并掌握平面向量的分解定理; 3( 理解定比分点公式，并能够熟练应用; [知识梳理] 1(位置向量:在直角坐标平面内，以原点为始点，以P为终点的向量OP，叫做点P的位 置向量，任何向量都有唯一确定并与它相等的位置向量 2(向量的坐标表示及运算:设P(x,y),Q(x,y),则， PQ,(x,x)i，(y,y)j11222121 把有序实数对{x,x,y,y}，叫做向量的坐标PQ 2121 =(x,y), =(x,y), R 设ab,,1122 22,,xx,xy，则ab，=(x+x,y+y), ab,=(x-x,y-y) , ,a=() = a1212121212113( 平面向量的分解定理: a如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且e,e12 ,,,只有一对实数，使. a,,e，,e121122 我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基. e,e12 4( 定比分点公式及应用: ,PPPP设、是直线上的两点，点P是上不同于、的任意一点，则存在R，使,ll1212 ，叫做点P分有向线段所成的比，点P叫做的定比分点. PP,,PP,PPPP121212特点:(1)=0则P与P重合;(2) >0则P在线段上; ,,PP112(3) <-1则P在线段的延长线上;(4) -1<<0则P在线段的延长线上 ,,ppPP1221 例题选析: 1(平面内给定三个向量，回答下列问题: ，，，，，，a,3,2,b,,1,2,c,4,1 a,mb，nc(1)求满足的实数m,n; (5/9，8/9 ) (2)若，求实数k; (-16/13 ) ，，，，a，kc//2b,a ddd,c,5(3)若满足，且，求 (3，-1)(5，3) ，，，，d,c//a，b 4 ABaBCb,,,2. 在中，已知，G为的重心，用向量表示向量 AG,ABC,ABCa,b 3.已知P,P,P三点在同一直线上,P(-2,3)、P(0，1)若=2，求点P的坐标 PPPP1212122(答案:(-1，2) ) 4(设OA、OB不共线，点P在AB上，求证:。 OP,,OA，,OB且,，,,1,,、,,R 变一:设OA、OB不共线，，求证:A、B、P三点OP,,OA，,OB且,，,,1,,、,,R共线。 11说明:当时，，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。 ,,,,OP,(OA，OB)22 变二:设是不共线的向量,已知向量,AB,2e，ke,CB,e，3e,CD,2e,ee,e12121212 若A,B,D三点共线,求k的值 AB,,BD 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :使 AB,,BD解:, 使 BD,CD,CB,e,4e？2e，ke,,(e,4e)121212 得,,2,k,,4,,k,,8 t,R)5(若是两个不共线的非零向量(。 a,b 1(1) 若起点相同，为何值时，a,tb,(a，b)三向量的终点在一直线上, a,bt3 0a与ba,ba,tb(2) 若且夹角为60，那么为何值时，的值最小, t 备用题: 3ACOC,AC1(已知与反向且，求C点的坐标. AB,3i,7j,BC,i,3j,OC4 3a,2b2(已知:向量,的起点重合. 求证:这三个向量的终点共线。 a,b 5 第3-4节:向量的数量积极其应用 {复习目标} 1( 掌握向量的数量积的概念及运算; 2( 熟练掌握向量的夹角公式; 3( 掌握两个非零向量垂直和平行的充要条件。 [知识梳理] 1( 向量的数量积的定义: 2( 几何意义: 3( 向量数量积的运算律 a,b,b,a?交换律成立: ?对实数的结合律成立: ，，，，，，，，,a,b,,a,b,a,,b,,R?分配律成立: ，，，，a,b,c,a,c,b,c,c,a,b a,b,a,c特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能，，，，a,b,c,a,b,c a,bb,c,a0b得到(3)=0不能得到=或=0 2222?但是乘法公式成立: ; ，，，，a，b,a,b,a,b,a,b 22222，，; ,a,2a,b，ba,b,a,2a,b，b 4( 数量积的坐标表示: a,bab?若=(x,y),=(x,y)则=xx+yy 11221212 a//bab?若=(x,y),=(x,y)则(呢) a,b,xx，yy,011221212 xx，yy1212abcos,,若=(x,y),=(x,y)则 11222222x，yx，y11225( 主要应用: ab,,,,2(1)||= , (2)cosθ= aaa ab a,b,0,ab,,ab//(3) , (4) a,b,,|a||b| a,b,a,b? 6 [例题选析] 例1:判断下列各命题正确与否: (1)0,a,0; (2)0,a,0; )若，则b,c; (3a,0,a,b,a,c a,b,a,ca,0(4)若，则b,c当且仅当时成立; )对任意向量都成立; (5(a,b),c,a,(b,c)a,b,c 22a(6)对任意向量，有。 a,a a,ba、b满足a，b=7，a,b=3，求. 2(已知向量 ABaaAB3(已知=(3,4)，与平行，且=10，点A坐标为(,1,3)，求B点坐标. ,abab4(与夹角为，=5，=(x,,1)，且，求实数x. (a，b),(b,2a),,503 0dabc5(已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。 120c,2a,b,d,3b,a 100cos120a,b,1ab解:由题意，，且与的夹角为，所以，a,b,ab,,，1202 222？c,7，，同理可得？c,c,c,(2a,b),(2a,b),4a,4a,b，b,7 2217c,d,(2)(3)732d？d,13c 而a,b,b,a,a,b,b,a,,，设为与的夹,2 1791171791？,,,,arccoscos,,,角，则 ,1821822713 点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 6.一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从处出发航行到河的正对岸处，ABd,500m ,,,,|v|,10km/h|v|,4km/hv与v船的航行速度为，水流速度为. (1)试求的夹角(精1212 01确到),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到); (2)要使船到达对岸所用时间最0.1min ,,v与v少, 的夹角应为多少? 12 7 ,,解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以v与v12 ,,,22, |v|,v,v,100,16,9.2km/h12 ,,,,00,的夹角满足,,故的夹角;船垂直到达对岸所v与vv与v,,24,,114sin,,0.4112 d0.5t,,,0.543h,3.3min用的时间. ,|v|9.2 ,,,,,(2)设v与v的夹角为(如图)，v与v在竖直方向上的分速度的和为|v|,sin,，而,12121船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为，从而所 d,0.5km 0.50B t,用的时间为，显然，当时，最小，即船头 ,,90t10sin,v1始终向着对岸时，所用的时间最少，为 ,? 0.5. ,,0.05h,3mintA v102[思维点拔] 理解物理意义，用向量的知识解决. 备用题: 1. 已知在?ABC中，，则O为?ABC的( D ) OA,OB,OB,OC,OC,OA A(内心 B(外心 C(重心 D(垂心 分析:; OA,OB,OB,OC,OB(OC,OA),OB,AC,0,OB,AC 同理:OC,AB,OA,BC。故选(D) ,,,,,,,2.已知向量和的夹角为120:,且||=2,|=5,求(2-) bbbaaa,a 3(平面内有向量点X为直线OP上的一个动点。 OA,(1,7),OB,(5,1),OP,(2,1), XA,XBOX(1)当取最小值时，求的坐标; (2)当点X满足(1)的条件和结论时，求的值。 cos，AXB OP，OP，OP,0,OP,OP,OP,14(已知向量满足， OP,OP,OP123123123 ,PPP求证:是正三角形。 123 AB,BCBC,CACA,AB3,,5. 在?ABC中，若，则等于 cosA3216 8 :平面向量的应用: 附 向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份，它有着极其丰富的实际背景，用向量证明几何中有关平行、共线和垂直的命题，用向量计算角度和距离，用向量表示点的轨迹，以及用向量处理三角恒等变形，证明不等式，求解 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的最值，较之传统方法更为简捷。作为中学数学的一个新的知识“交汇点”，向量与三角函数、解析几何、数列、不等式的综合题成为各类考试中考查的一个新热点。 例1((2005年上海市高考数学试题)已知函数的图象与轴分别相f(x),kx，bx,y交于点A、B，(分别是与轴正半轴同方向的单位向量)，函数x,yAB,2i，2ji,j 2g(x),x,x,6。 g(x)，1x(1) 求的值;(2)当满足时，求函数的最小值。 k,bf(x),g(x) f(x) 分析:向量的方向向量实际上它是继直线的斜率、倾斜角以后的第三个表示直线方向的等重要概念。要学会并善于运用它来求解. b,bbk,1,2,,解:(1)由已知得 于是 A(,,0),B(0,b),则AB,{,b},？.k,,kkb,2,,b,2,2g(x)，1x,x,51得,2,x,4,(2)由 由于f(x),g(x),,x，2，,5,f(x)x，2x，2 g(x)，1g(x)，1，当且仅当x=,1时成立，?时的最小值是,3. x，2,0,则,,3f(x)f(x) 2、平面向量与不等式的交汇 例2((2005年浙江省高考试题)已知向量a?e，|e|,1，对任意t?R，恒有|a, te|?|a,e|，则( ) (A) a?e (B) a?(a,e) (C) e?(a,e) (D) (a，e)?(a,e) 解:对任意t?R，恒有|a,te|?|a,e|，故两边平方得: 2222atactaacttactac,,，,,,，,,，,,,221,2210即: 又上式对任意t?R，恒成立，即有: 22,,,,,,,,0421410恒成立.即=4(accc)(a)(a) ac,1故当时，上式成立，本题应选C。 例3((2005年江西省高考试题在?)OAB中，O为坐标原点 ,，则当?OAB的面积达最大值时，( D ) A(1,cos),B(sin,1),,(0,],,,,,2 9 ,,,, A( B( C( D( 6432 122222ababab,，？,，,，sincos1sin2|||||1cossin2,,,,,,，()，且()()(1+sin)=2+4 由三角形面积公解式: 111112222 Sabab||||sin2sin21,,,,，,()()(,,,sin2-2)，22424 ,,又 应选(D). ,？,,(，，，，故当时，最大0]sin2[01].S,,,22 3、向量与三角的交汇 向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点. 它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与解三角形的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面. m,(cos,sin),,例4((2005年山东省高考试题)(已知向量和 ,,82,,cos，mn，,,，且求的值. n,,,2sin,cos,,2,,,,,，，,,，，285,, 解: ? mn，,,，，cossin2,cossin,,,,，， 22,? = ,,mn，,,，，，cossin2(cossin),,,,，，21cos，，,,,4,, ,,,,,82,72,,由已知,得又 cos2cos()1，,，,,mn，,,cos，,,,,,,4285425,,,, ,,1659,,,,2？？ ,,,,,2，，，,,，,cos()28258288 ,,,,4,,,,？？ cos0，,,cos，,,,,,28285,,,, 评注:本题是以向量的模为背景，结合三角函数化简求值等有关知识进行考查。 ,例5((2005年天津市高考试题)在直角坐标系xOy中，已知点A (0，1)和点B (3，4)，若点C在?AOB的平分线上且| OC| = 2，则OC, __________。 OC,2cos,2sin,,解:设，则的终边在第2象限，即且， ,sin0,,cos0,,，， ，，14134,,,,,,又 ,,,，,,,arctanarctan,,,,,,223223,,,,，， 34441,,,,,22由 ，得 2cos1cosarctan1sinarctan1,,,,,,,,cos22cos1,,,,,,,,,23355,,,, 131922,,,,,,所以:， cos,sin,,,,sincos10101010 10 ,,22310310，,,得:. ,,，，OC2cos,2sin,,,,,,,,,,,,,551010,,,, 4、向量与解析几何的交汇 以解几为知识为载体，以向量为工具，以考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点. x例6((2005年全国卷?文科试题)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜 a,,(3,1)B两点，OA，OB与共线。 率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、 (?)求离心率(?)设M为椭圆上任意一点，且，证明OM,,OA，,OB (,,,,R)22,，,为定值。 c6,(I)略解:离心率e=. a3 2222222xyx，3y,3b.(II)证明:(1)知，所以椭圆可化为 a,3b，,122ab (x,y),,(x,y)，,(x,y),设，由已知得 OM,(x,y)1122 ,，,x,x,x,12222？(,x，,x)，3(,y，,y),3b. 在椭圆上， ？M(x,y)？,1212,，.y,x,x12, 2222222,(x，3y)，,(x，3y)，2,,(xx，3yy),3b.即? 11221212 22223c31acab,32222由(1)知 2x，x,,a,c,b,c.xxc,,121222222ab，8 392222xxyyxxxcxcxxxxccccc，,，,,,,，，,,，,33()()43()330.12121212121222 2222222222x，3y,3b,x，3y,3b又，代入?得 故为定值，定值为1. ,，,,，,,1.1122 例7((2005年福建省高考试题)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右 (3,0)顶点为 (1)求双曲线C的方程; l:y,kx，2OA,OB,2 (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点).求k的取值范围. 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于的不等式，通过k解不等式求出的范围，即:“求范围，找不等式”。或者将表示为另一个变量的函数，利kk 用求函数的值域求出的范围。 k 2x2,y,1.解:(?)略解:双曲线C的方程为 3 11 222x2(1,3k)x,62kx,9,0.(?)将 y,kx，2代入,y,1得3 2,1,3k,0,,由直线与双曲线交于不同的两点得即l,222,,,(62k)，36(1,3k),36(1,k),0., 122? k,且k,1.3 A(x,y),B(x,y)，则 设AABB 62k,9x，x,,xx,,由OA,OB,2得xx，yy,2, ABABABAB221,3k1,3k 2而 xx，yy,xx，(kx，2)(kx，2),(k，1)xx，2k(x，x)，2ABABABABABAB 2,kk，19623722 解得 ? ,k，，k，,,k,3.(1)22.222,k,kk,3131331 3312由?、?得 故k的取值范围为 (,1,,),(,1).,k,1.333 本题通过平面向量的数量积与解析几何的交汇知识点，形成一求解参数k的取值范围的综合题，它既考查了平面向量的概念和运算，也考查了解析几何中的有关直线与圆锥曲线的相关问题。. 5、平面向量与平面几何的交汇 平面向量与平面几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用. 例8((2005年湖南省高考试题)P是?ABC所在平面上一点，若 PA,PB,PB,PC,PC,PA，则P是?ABC的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 PA,PB,PB,PC,PC,PAPBPAPCPBCA()0;,,,解:由条件知: PCPBPAPCAB()0,,,PBCAPCAB,,，故，P为P是?ABC的垂心. 例9((2005年江苏省高考试题)在?ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM,2，OAOBOC()，则的最小值是 . ||,||202OAxOMxx,,,,,则，()解:如图，设 MBCOCOM为的中点，？，,OB2， ？，,,,:OAOCOAOMxx(OB)()222cos180 22,,,,,,,？,,242120212.xxxxx()()当时，取最小值 12