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05 第五节二阶线性微分方程解的结构

05 第五节二阶线性微分方程解的结构第五节二阶线性微分方程解的结构分布图示 ★ 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的定理 ★ 定理1 ★ 函数的线性相关和线性无关 ★ 定理2 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-5 内容要点：一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是， (6.1) 其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当时, 方程(6.1)成为...

第五节二阶线性微分方程解的结构分布图示 ★ 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的定理 ★ 定理1 ★ 函数的线性相关和线性无关 ★ 定理2 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-5 内容要点：一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是， (6.1) 其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当时, 方程(6.1)成为， (6.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程. 定理1 如果函数与是方程(6.2)的两个解, 则 (6.3) 也是方程(6.2)的解，其中是任意常数. 定理2 如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则就是方程(6.2)的通解，其中是任意常数. 定理3 设是方程(6.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则 (6.4) 就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解. 定理4 设与分别是方程与的特解，则是方程 (6.5) 的特解. 定理5 设是方程 (6.6) 的解，其中为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程与的解. 例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解: (1) 求此方程的通解; (2) 写出此微分方程; (3) 求此微分方程满足的特解. 解 (1) 由题设知, 是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为，其中 (2) 因 ① 所以 ② 从这两个式子中消去即所求方程为 (3) 在①, ②代入初始条件得从而所求特解为课堂练习 1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的? 2.给出n阶线性微分方程的n个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?

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