双曲线的第二定义
双曲线的第二定义
宁夏 贾云鹏
观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出，这就是双曲线的第二定义，此定义可以快速解决某些双曲线问题，下面对其作简单介绍:
一、双曲线的第二定义
2a 例1 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数Mxy()，Fc(0)，lx:,cc，求点的轨迹( M(0)ca,,a
,,MFc,, 解:设是点到直线的距离(根据题意，所求轨迹就是集合， MdlPM|,,,da,,,,
22()xcy,，c22222222由此得(化简，得( ()()caxayaca,,,,,2aax,c
22xy222设，就可化为，这是双曲线的
标准
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方程，所以点的轨M,,,,1(00)ab，cab,,22ab
迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线(如图)( 22ab，
由例1可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
c时，这个点的轨迹是双曲线(定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，ee,,(1)a
常数是双曲线的离心率( e
222xya 对于双曲线，相应于焦点的准线方程是，根据双曲线的对称性，Fc(0)，,,1x,22cab
2a,相应于焦点Fc(0),，的准线方程是，所以双曲线有两条准线( x,,c
二、第二定义的应用
1 例2 一动点到定直线的距离是它到定点的距离的，求这个动点的轨迹F(40)，x,32方程(
误:由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，所以动点的轨迹是双曲
线(
又，( ?F(40)，?c,4
2a22 准线，，即( ?ab,,124，?,3x,3c
22xy 故双曲线方程为( ,,11214
析:错解中误认为曲线中心为原点(仅由焦点(即定点)和准线(定直线)方程F(40)，
2a，不能得出及( ,3x,3c,4c
正:由题设知离心率， e,2
又定点与定直线是双曲线相应的右焦点与右准线， F(40)，x,3
2a24 所以，，解得( c,,1ca,2ac,,，c33
8,,, 所以双曲线中心为( O，0,,3,,
224(38)3xy,2 又，故双曲线方程为( b,,,1344
评注:在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，
同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程(
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