牛吃草问题总结

牛吃草问题 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 牛吃草变形题分块 1. 从问题的角度分:草长，问时间 1.有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果 养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢,并且牧场上的草是不断生长的。 分析:设,头牛,天的吃草量为“,”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析 (这种方法叫列表分析) 27头牛 6天 27×6,162 :原有草量，6天生长的草量 23头牛 9天 23×9,207 :原有草量，9天生长的草量 从上易发现:9,6,3天生长的草量,207,162,45，即1天生长的草量,45?3 ,15; 那么原有草量:162,15×6,72或207,15×9,72。 21头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下6头牛需要72?6,12(天)可 将原有草吃完，即它可供21头牛吃12天。 2.一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40 分钟可以淘完;6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水 淘完? 分析:设,人淘,分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方 便分析 3人 40分钟 3×40=120:原有水+40分钟的进水 6人 16分钟 6×16=96 :原有水+16分钟的进水 从上易发现:24(=40-16)分钟的进水量=120-96=24，即:1分钟的进水量=1; 那么原有水量:120-40×1=80; 5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80?4=20 (分钟)将把水淘完。 2. 从条件的角度分:草减，问牛。 3.有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天.那么它 可供几头牛吃20天? 分析:设,头牛,天的吃草量为“,”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分析 12头牛 25天 12×25,300 :原有草量，25天生长的草量 24头牛 10天 24×10,240 :原有草量，10天生长的草量 从上易发现: 25,10,15天生长的草量,300,240,60，即1天生长的草量, 60?15,4; 那么原有草量:240,4×10,200; 20天里，共草场共提供草200，4×20,280，可以让280?20,14(头)牛吃20 天。 4.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少.已知 某块草地上的草可供40头牛吃5天，或可供30头牛吃6天.照此计算，可以供 多少头牛吃10天? 分析:设,头牛,天的吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分 析 40头牛 5天 40×5,200 :原有草量,5天自然减少的草量 30头牛 6天 30×6,180 :原有草量,6天自然减少的草量 从上容易发现:1天自然减少的草量,20;那么原有草量:200，5×20,300; 10天吃完需要牛的头数是:300?10,20,10(头)。 5.一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些水， 现在要派人将水淘出船外，如果派10个人需要4小时淘完;如果派8个人需要 6小时淘完.若要求用2小时淘完，需要派多少人? 分析:设1人1小时淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便 分析 10人 4小时 10×4,40 :原有水量，4小时进水量 8人 6小时 8×6,48 :原有水量，6小时进水量 从上易发现:2小时进水量,48,40,8，即1小时进水量,4;那么原有水量: 40,4×4,24;若2小时淘完，那么共需要淘出水:2×4，24,32 ,需要32?2,16 (人) 10.一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天， 或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头 牛与48只羊一起吃，可以吃多少天? 分析:设,头牛,天的吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分 析 16头牛 15天 16×15,240:原有草量，15天生长的草量 100只羊(25头牛) 6天 25×6,150:原有草量，6天生长的草量 从上易发现:1天生长的草量,10;那么原有草量:150,10×6,90; 8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下 的10头牛吃原有草90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。 11. 【附加选讲】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽;如 果让马和羊去吃，20天将草吃尽;如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛 和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几 天可以将这片牧草吃尽, 分析:设1头马1天吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 马和牛 15天 15天马和牛吃草量,原有草量，15天新长草量(,) 马和羊 20天 20天马和羊吃草量,原有草量，20天新长草量(,) 牛和羊(同马) 30天 30马(牛和羊)吃,原有草量，30天新长草量(,) 由(,)×,,(,)可得: 30天牛吃草量,原有草量牛每天吃草量,原有草 量?30; 由(3)分析知道:30天羊吃草量,30天新长草量，羊每天吃草量,每天新长草 量; 讲分析的结果带入(2)得:原有草量,20，带入(3)30天牛吃草量,20得牛 每天吃草量,2/3 这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃:20? (1，2/3),12(天)。 【巩固】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的 总量正好是牛吃草的总量.如果草地放牧牛和羊，可以吃45天;如果放牧牛和鹅， 可吃60天:如果放牧羊和鹅，可吃90天.这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它 们吃多少天? 分析:设1头牛1天吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 牛和羊,,天,,天牛和羊吃草量,原有草量，,,天新长草量(,) 牛和鹅,,天,,天牛和鹅吃草量,原有草量，,,天新长草量(,) 鹅和羊(同牛),,天,,牛(鹅和羊)吃,原有草量，,,天新长草量(,) 由(,)×,,(,)可得:,,天羊吃草量,原有草量羊每天吃草量,原有草 量?,,; 由(3)分析知道:,,天鹅吃草量,,,天新长草量，鹅每天吃草量,每天新 长草量; 讲分析的结果带入(2)得:原有草量,,,，带入(3),,天羊吃草量,,, 得羊每天吃草量,2/3 这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃:, ,?(1，2/3),36(天)。 变形5:从问题的角度:(只问原草或只问新草) 12.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝， 4天可喝完;如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天, 分析:一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设 1人1天喝酒量为“1” 6人 4天 6×4,24:原有酒,4天自然减少的酒 4人 5天 4×5,20:原有酒,5天自然减少的酒 从上面看出:1天减少的酒为(24,20)?(5,4),4，可供4人喝一天。 13.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生话300年. 假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最 多能养活多少人? 分析:设1亿人1年消耗的资源为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便 分析 100亿人 100年 100×100,10000:原有资源，100年新增资源 80 亿人 300年 80×300,24000:原有资源，300年新增资源 从上容易发现:200年新增资源,24000,10000,14000，即1年新增资源,70; 为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活70?1,70(亿)人。 【巩固】两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃往井底.白天往下爬，两只 蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米.黑 夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的.结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到 达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底.那么，井深多少米? 分析:一只蜗牛:5×白天下爬距离20 ， 5×夜晚下滑距离,井深; 另一只蜗牛:6×白天下爬距离15 ， 6×夜晚下滑距离,井深; 所以 5×20 ， 5×夜晚下滑距离, 6×15 ， 6×夜晚下滑距离，即1个夜晚下滑距 离,10(分米)，进而可得井深,5×20 ， 5×10 ,150(分米)。 经典的“牛吃草”的变例 变形6:从题型的角度:行程问题。 14.快中慢三辆车同时从同一点出发，沿同一条路追赶前面的骑车人，现在知道 快车速度为60千米,小时，中车的速度为50千米,小时，慢车速度为35千米 ,小时,快车追上骑车人要4小时。中车追上骑车人要5小时，问:慢车追上骑 车人要几个小时, 分析:分析题知道车相当于“牛”，原来的追及路程相当于“原有草”，骑车人相当 于“新生草”， 设骑车人1小时走的路程为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 快车 60千米 4小时 60×4,240 :追及路程，4小时骑车人走的路程 中车 50千米 5小时 50×5,250 :追及路程，5小时骑车人走的路程 从上表看5,4,1(小时)骑车人走的路程为(250,240),10，追及路程为: 240,10×4,200 所以慢车追及骑车人需要:200?(35,10),8(小时)。 15.有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追乙车，5小时后 甲车追上乙车，如果甲车以现在速度的3倍追乙车，3小时后甲车追上乙车，那 么如果甲车以现在的速度去追乙车，问:几个小时后甲车追上乙车, 分析:分析题知道甲车相当于“牛”，甲追乙的追及路程相当于“原有草”，乙车相 当于“新生草”， 设甲的速度为“1”，摘录条件，讲其转化为如下的形式为 2倍的甲速 5小时 2×5,10:追及路程，5个小时乙走的路程 3倍的甲速 3小时 3×3, 9:追及路程，3个小时乙走的路程 从表上看乙5,3,2小时走的路程为10,9,1，乙的速度为1?2,0.5，追及路 程为:10,0.5×5,7.5 甲以现在的速度追乙的时间为:7.5?(1,0.5),15(小时)。 【附加选讲】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若 骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上;若骑摩托车，每小时行35千米， 1小时可以追上;若开汽车，每小时行45千米，多长时间可以追上小明, 分析:自行车:每小时15千米 3小时 15×3,3小时小明走的路程,追及距离 摩托车:每小时35千米 1小时 35×1,1小时小明走的路程,追及距离 所以15×3,3小时小明走的路程,35×1,1小时小明走的路程，即1小时小明走 的路程,5(千米)，那么追及距离,15×3,5×3,30(千米)。汽车去追的话需要: 30?(45,5),(小时),45(分钟)。 变形7:从题型的角度:多块草地 16.有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷(草地上的草一样厚而且 长得一样快(第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周(问: 第三块草地可供50头牛吃几周? 分析:设1头牛1周吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分 析 24头牛6周吃掉24×6,144份，说明: 1公亩牧场 6周提供144?4,36份草:1公顷原有草量， 6周1公顷新生草 36头牛12周吃掉36×12,432份，说明 1公亩牧场12周提供432?8,54份草:1公顷原有草量，12周1公顷新生草 每公亩牧场12,6,6周多提供54,36,18份草，说明1公亩牧场1周的草生长 量为18?6,3份， 1公顷原有草量,36,3×6,18。1天10公顷新生草,3× 10,30;10公顷原有草,18×10,180; 50头牛中，若有30头牛去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要180?20=9 周可以把原有草量吃完，即这块草地可供50头牛吃9周。 17.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长, 这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一 块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天, 分析:设,头牛,天的吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便 分析 18头牛 16天 18×16,288 :原有草量，16天自然增加的草量 27头牛 8天 27× 8,216 :原有草量， 8天自然增加的草量 从上看出:2000平方米的牧场上16,8,8天生长草量,288,216,72，即1天 生长草量,72?8,9; 那么2000平方米的牧场上原有草量:288,16×9,144或216,8×9,144。 则6000平方米的牧场1天生长草量,9×(6000?2000),27;原有草量:144 ×(6000?2000),432. 6天里，共草场共提供草432，27×6,594，可以让594?6,99(头)牛吃6天。 18.【拓展】可以在十二讲的【例5】的基础上拓展为:有一块1200平方米的牧 场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头 牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块 牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天, 分析:设,头牛,天的吃草量为“,”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便 分析 10头牛 20天 10×20,200 :原有草量，20天生长的草量 15头牛 10天 15×10,150 :原有草量，10天生长的草量 从上易发现:1200平方米牧场上20,10,10天生长草量,200,150,50，即1 天生长草量,50?10,5; 那么1200平方米牧场上原有草量:200,5×20,100或150,5×10,100。 则3600平方米的牧场1天生长草量,5×(3600?1200),15;原有草量:100 ×(3600?1200),300. 75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300?60,5(天) 可将原有草吃完，即它可供25头牛吃5天。 变形8:排队问题 19.画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来 的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队;如果开5个入场 口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。 分析:入场口为“牛”， 开门前原有的观众为原有“原有草量”，每分钟来的 观众为“草的增长速度” 设每一个入场口每分钟通过“1”份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便 分析 3个入场口 9分钟 3×9,27 :原有人，9分钟来的人 5个入场口 5分钟 5×5,25 :原有人，5分钟来的人 从上易发现:4分钟来的人,27,25,2，即1分钟来的人,0.5;那么原有的人: 27,9×0.5,22.5; 这些人来到画展，用时间22.5?0.5=45(分)。第一个观众到达的时间为9点 ,45分=8点15分。 说明:从表面是看这个问题与牛吃草问题相离很远，可谓风马牛不相及，但仔细 体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似“草长的速度”;入场口类似“牛”， 问题就变成牛顿问题了。解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是 否掌握了方法的实质。 变形9:电梯问题和工程问题。 20.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼.已知男 孩每分钟走20级阶梯，女孩每分钟走15级阶梯，结果男孩用了5分钟到达楼上， 女孩用了6分钟到达楼上.问:该扶梯共有多少级? 分析:男孩: 每分钟20级 5分钟 20×5，5分钟扶梯自动运行的台阶数,扶梯 台阶数 女孩: 每分钟15级 6分钟 15×6，6分钟扶梯自动运行的台阶数,扶梯台阶数 所以20×5，5分钟扶梯自动运行的台阶数,15×6，6分钟扶梯自动运行的台阶 数，即1分钟扶梯自动运行的台阶数,100,90,10，那么 扶梯台阶数,100，5 ×10,150(阶)。 解答牛吃草问题的常用步骤: (1)求出两个总量; (2)总量的差?时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数; (3)每天长草量×天数=新长出来的草; (4)草的总量=新长出来的草+原有的草; (5)原有的草?吃原有草的牛=能吃多少天(或原有的草?能吃多少天一吃原有草的 牛)。 方程法解牛吃草问题: 一般设出原有量、单位时间的增加量、单位时间消耗量来解题。 要点提示: 牛吃草问题的核心等式: 牛吃草总量=草场原有草量+新长草量 这两种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行的比较， 是获得解题思路的捷径。这种比较主要有两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时 间差”。 具体的关系为: 牛的头数×吃的天数=草场原有的草量+每天长草量×吃的天数 由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来: (1)每天长草量 (2)草场原有草量 【例】两个运动员逆着自动扶梯行驶的方向行走，A每秒可走5级阶梯，B每秒可走4级阶 梯。从扶梯的一端走到另一端，A用时200秒，B用时比A多两倍，那么该扶梯共多少级阶 梯,( ) A(300 B(400 C(500 D(600 【答案】A 【解题关键点】根据题意，运动员走阶梯的速度×行走的时间=扶梯的具体数+扶梯行走的速 度×行走的时间。这是牛吃草问题的扩展，扶梯的阶数是“原有的草量”，运动员走阶梯的 速度就是“牛的头数”，扶梯行走的速度就是“草的增长速度”。可以直接应用牛吃草问题的 公式，扶梯每秒下降的级数是[4×200×(2+1)-5×200]?[200×(2+1)-200]=3.5级，扶梯 的级数为(5-3.5)×200=300级。