纯滚动刚体加速度的三种解法
2 ( ) 因为 a= 0 , = 0 ,由 1式得 a= - w O′0′A 1 - 3 d t 缘上任一点的加速度 . 众多的教材及有关习题2 4 v 0 2 解答参考
书
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通常只给出一种解法 ,笔者用三种方 A , a 的大小为 a = w r = , 方 向 由 A 指 向 O′ A A r 法求解 ,所得结果正确.
分析
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、解法如下 . 点 .
2 v 0 同理得瞬心 C 的加速度 a= 方向由 C 指向c r 基点法1 O′点 .
() 2以瞬心 C 为基点据运动学原理 ,刚体上任一点加速度为 : θ 2 () 由 1式得 a = a- w CA , CA = 2 rcos . 由 A c w d 2 2 () 1 a = a+ ×r-′ r′w .A 基点 d t 图 2 知 , a 的方向是向心的 ,即由 A 指向 O′点 , aA A r为刚体′上 A 对基点的位矢 . 当车轮沿直线作 的大小由余弦定理得 ( ) 无滑滚动时 , C 为车轮的速度瞬心 见图 1. 则车轮
2 22 2 2 2 2 v2 θ θ v2 v θ 0 0 0 0 v v d 0d w 1 0= + - acos cos cos A的角速度 w = ,角加速度 a = == 0 . 下 r r 2 2 r r 2 d t r d t r 2 面分别以 O′和 C 点为基点求解. v 0= . r
直角坐标法2
以直线轨道的起始位置 O 为坐标原点 ,以直线
() 轨道为 x 轴 ,建立坐标系 O x y 见图 3,设在瞬时 t ,
A 点位于图示位置 . 因轮心 O′以匀速 v向右作直 0
v 0φ φ 线运动 ,有 O C = CA = v t = r,得= ,故 A 点t 0 r
的坐标为 :
? 收稿日期 :2002 - 09 - 23
() 作者简介 :廖湘萍 1970 - ,女 ,湖南安乡人 ,株洲师专讲师 ,主要从事理论力学和普通物理教学.
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τ vt d0 τ= w′×= w′n ,则 :φ φ x = OC - A D = r- r sin= vt - r sin , 0 dt r d vt ρ)τ( ρ ()0 a = w+ w w′n .2 A φ y = O′C - OD ′ = r - r cos= r - r cos , dt r τ 因连线 A C 始终垂直,故 w′也是 A C 转动的
() 角速度 . 下面运用 2式解题 :
θ θ ρ β. A C 连线由图 1 知 , A C = = 2 rcos ,= 2 2
w () 转动的角速度为 w′= ,由 2式得 2 v θ θ 0d d ) ( ρ) (θ2 rcos w= = - v sin , a=τ 0 d t d t r 2 2
2 v θ θ 0 2 ρ a= w w′= w rcos = cos . n 2 r 2
2 v v0θ 0 θsin ,故 所以 a= ,又因为 = - w = -τ r 2 r 将上式对时间 t 求一阶和二阶导数 ,得 : 2 v 0 vt 2 2 0 a+ a= a= τ . 由矢量分析知 a的方向n A A , v = v - vcos x 0 0 r r 由 A 指向 O′点 . v t 0 以上分析推算表明 :基点法 、直角坐标法和自然 v = v sin . y 0 r 坐标法三种方法求得的结果是一致的 . 2 v t v 0 0 a= sin ,x r r
2 v t v 参考文献 : 0 0 a= cos .y r r 1 周衍柏 . 理论力学教程 M . 北京 :高等教育出版 2 社 ,1985 . 196 . v 0 2 2 a+ a= a 的方向由矢量 , 由此得 a= x y A A r ( 2 哈尔滨工业大学理论力学教研组 . 理论力学 上 分析知由 A 指向 O′点 . ) 册M 北京 :高等教育出版社 ,1996 . 376 .
( )同 济 大 学 理 论 力 学 教 研 室 . 理 论 力 学 上 册 3 3 自然坐标法 M . 上海 :同济大学出版社 ,1987 . 430 .
4 洪铭熙 ,等 . 理论力学理论与题解 M . 济南 : 山 图 4 中 C 点为瞬心 ,点 A 为刚体上任意一点 , 东科学技术出版社 ,1982 . 112 . τw 为刚体角速度 , 和 n 分别为 A 点轨迹的切向和
ρ法向单位矢量 , 为 A 、C 两点连线长 . 以瞬心 C 为 )(责任编辑 :曾广慈 τρτ基点 , A 点的速度 v= v= w, A 点的加速度 a= A A
τ d vdd ( τ) ττ.v= + v 用 w′表转动的角速度 ,有 : dt d t dt
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